C.R., T. XXII, p. 235 (9 février

Dans un précédent Mémoire, j'ai montré comment on pouvait résoudre les équations symboliques linéaires auxquelles on se trouve conduit dans la théorie des permutations. Les recherches que J'ai aujourd’hui l'honneur de présenter à l’Académie se rapportent à la résolution des équations symboliques non linéaires. Je vais donner en peu de mots une idée de ces recherches. Les résultats qu'elles

m'ont fournis seront exposés plus en détail dans les Exercices d’Analyse et de Physique mathématique.

Considérons x variables

To Li, Da, Led Ln-19

chaque indice pouvant être augmenté ou diminué d’un multiple quelconque de 2; et nommons P une substitution cireulaire qui renferme toutes ces variables, de sorte qu’on ait

Fu (To Lis Las cs Ton) Tn-1)

ou, en exprimant la substitution P à l'aide des indices qui affectent

les diverses variables,

On pourra satisfaire à l'équation symbolique linéaire (2) ; DCR Ta

en prenant pour S une substitution qui laisse immobile la variable +, et même, si 2 est pair ou de la forme

(3) à ere À A

la variable x;. D'ailleurs, cette substitution S, déterminée par la formule symbolique

‘p-1 + Ce (4) S=(p }

sera une substitution du second ordre.

Ce n’est pas tout : le nombre 2 étant supposé pair et de la forme 26, on pourra résoudre de diverses manières l'équation symbolique

(5) Me S,

dans laquelle la substitution S renferme 2(1— 1) indices, et même la résoudre en prenant pour R une substitution de l'ordre 2(1—1), qui

vérifie l'équation

.(6) PRENP ou RAT à

PUR ut ÉES Pi. Ji Reed r ee 2 R —1 en groupes, dont chacun soit composé de quatre indices de la forme d'u LES

; 1l suffira,

qui se réduiront à deux, si, # étant pair, on prend / — pour résoudre simultanément les équations (5) et (6), de poser (8) R=i(x,G,y,...,1—y,1—6,i— x, — ax, —6,—7y,..., l+y,i+6,i+ a),

a, 6, y, ... étant des indices pris dans les divers groupes. La valeur de R étant ainsi déterminée, nommons # l'indice qui succède à l’indice À en vertu de la substitution R, et posons généralement

(9) Ra PCFRPA,

On tirera des formules (6), (9)

(10) Ra Rise 1,

et, par suite,

(11) Méeaects Mist.

Donc R;., et R;, seront des substitutions du second ordre. Ajoutons que, si l’on pose pour abréger

(12) ; MNT ER on aura

(13) Rio P RP, Ris PR Fr

et, par suite, (14) R;o—=(ai+a)(a+6,i+2a)(a+y,ita+6é)...,

(15) Riya=(—ai—a)(—a+6,i)(—a+y,i—a+6)....

Donc, si l’on nomme toujours 2, # deux indices dont le second succède au premier en vertu de la substitution R, les divers facteurs circulaires de R;, seront de la forme (a + #,i + à + A). Il est aisé d’en conclure qu'aucun facteur de R; , ne sera en même temps facteur de la substitution R°", c’est-à-dire de la forme

(l el l), à moins que les indices k, 4 et & ne vérifient la condition

(16) h+k+2a+i=0o (mod. »). D'autre part, le produit VU de deux substitutions U, V ne peut cesser de renfermer l’une des variables 2, Æ, dont la seconde succède à la première en vertu de la substitution U, que dans le cas où V fait succéder réciproquement 2 à #. Donc, si «, 6, y, ... sont choisis de manière que la condition (16) ne soit jamais vérifiée, 1l suflira de poser (17) Q=RiRT ou, ce qui revient au même, (18) Q=RETR; pour que la substitution Q déplace les » — r indices Cd SU CSS M, on 2.

Si l’on applique, en particulier, ces principes aux fonctions dont

M. Hermite s’est occupé, c’est-à-dire à celles qui renferment six,

huit ou douze variables, ou plutôt aux substitutions qui peuvent déplacer les variables

Los lis FAR .….. Tn-9s Th:

dans ces mêmes fonctions, on obtiendra les résultats suivants.

Si à la substitution P de l’ordre 7 — 21, déterminée par la formule (1), on joint une substitution Q de l'ordre 7 — 1 et une substitution R de l’ordre nr — 2, les dérivées de