LA
Alors l'équation (1) sera du quinzième degré, et ses quinze racines
seront de deux espèces. Trois d’entre elles, savoir, 0, + ÿ1 — c?, — V1 — c?, vérifieront la formule
à laquelle on parvient, en posant, dans l’une quelconque des équations (5), æ = y — :. Les douze autres racines de l’équation (1) vérifieront la formule
ar +(i+h4c+c)æ0—E(r set 6c'+c+fc)z!
+++ 3c+ 30 + 60°) | | MAO ct 30e 3004 fol?) xt + (1+2C+9c —c—2@8— c+ct+ ct) +r+c+ c'—=o.
Mais, en vertu des principes exposés dans la séance précédente, la formule (3) pourra être réduite à un système d’équations du troisième degré, et par suite les équations (5) pourront être résolues
algébriquement. Toutefois, la décomposition de l'équation (7) en plusieurs autres exigerait un calcul assez long, ef, sans recourir à ce calcul, ou même sans prendre la peine d'établir l'équation (7), on peut construire directement les équations plus simples, dont la résolution fournira les valeurs algébriques de x, y, z. En effet, nommons s l’inconnue d’une équation du troisième degré qui ait pour racines æ, y, 3. Cette équation sera de la forme
(8) Si— ps +qgs—rT—=0O,
les valeurs de p, q, r étant
(9) P=LTIFS Q=XY +xs+Ys, = OYs, Si d’ailleurs, dans l'équation (3), réduite à la forme
(10) (1+P + P?)wx — 0,
on pose successivement &—æ, &w=z3, © =—1+xy, on obtiendra, entre p, q et r, les trois équations
(pr=pt—(2+c)g : apr=g+cp—{(1+ac)g,
(11) | (p?—2qg+3c)r—=(1—c)p.
En éliminant successivement, de ces dernières, r et p°*, on obtiendra une équation du quatrième degré à laquelle devront satisfaire les valeurs
(12) qg=0, qg—=3i(i—c)
de la variable q, tirées de la formule (6) et de l'équation g — 3°, que fournit la supposition æ = y = :. Les deux autres valeurs de g seront données par la formule très simple
(13) g’+(i—c+c)g+(2+c+c— cf) —o.
Ajoutons que, la valeur de 7 étant calculée, on déterminera p, r à l’aide des formules
2 PME à 2 (14 ) p° DE {4 M , | des) p'— (2 + c)q , Réel ZA P
puis æ, y et, en résolvant par les méthodes connues l'équation (8).
Si l’on supposait c — 0, on tirerait des formules (5) EE 0;
et des quinze valeurs de +, fournies par cette dernière équation, trois, savoir, 0, +1, — 1, vérifieraient la formule (6), tandis que les douze autres seraient les douze valeurs de s, déterminées par l'équation (8) jointe au système des formules
g’+g+2=0o, p'={i(qg +3q), LA Ed
De ces douze valeurs de s, ainsi qu'on devait s’y attendre, six se confondent avec les racines primitives de l'équation binôme
Si l’on supposait c — r, la formule (7) deviendrait at?+ 6x +rihas+r4ai + 6x + 3x?+ 5 —o,
et les formules (13), (14) donneraient
g+g+3=0o, p=g+3èq, r—=p— “a ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur la résolution des équations symboliques
non linéaires.
