C. R., T. XXIF, p. 630 (11 avril
Une proposition digne de remarque, dans la théorie des permutations, est celle que j'ai donnée dans la séance du ro novembre dernier (page 1039) (‘), savoir, que le produit des ordres de deux systèmes de substitutions conjuguées divise exactement la différence entre le
(1) OEuvres de Cauchy, S. 1, T.IX, p. 403.
OEuvres de C. SEX 9
nombre des arrangemerits que l’on peut former avec les diverses variables et le nombre des solutions de l'équation linéaire symbolique dont les deux membres sont les produits d’une même substitution par les termes généraux des deux systèmes, l’un de ces termes étant pris pour multiplicande, et l’autre pour multiplicateur. Comme de cette proposition lon peut immédiatement déduire un grand nombre d’autres théorèmes, il m'a semblé qu'il serait utile de l’établir, s'il était possible, à l’aide d'une démonstration simple et directe. Tel me paraît être le double caractère de celle que je vais exposer en
peu de mots.
Tuéorème. — Formons avec n variables Ty Vs 3, “deux systèmes de substitutions conjuguées ; et soient
(1) : 1; ra ru RE | Pie
(2) 1; Q,, Q; SE 9 Qs-:
ces deux systèmes, le premier de l'ordre à, le second de l'ordre b. Soient d'ailleurs h, k deux nombres entiers quelconques ; nommons 1 le nombre
des substitutions R pour lesquelles se vérifient des équations symboliques
de la forme
(3) is Q:R,
el posons, pour äbréger , NÉE t.2:3. 1 hi
Les nombres N et 1 fourniront le même reste lorsqu'on les divisera par le
CA
produit ab.
Démonstration. — Si l’on pose
alors, parmi les substitutions que l’on pourra former avec les variables,
celles pour lesquelles ne se vérifieront jamais des équations semblables à la formule (3) seront en nombre égal à J, Nommons U l’une de ces
PT Eee
| Be ; L ; ‘ k 5e : dd NRA DT 0 LR 4 15 En à / = Enrturr- \ NIV DCI ' à + v , IVE wo! Î Y À ‘1,
dernières substitutions. Les divers termes du Tableau
| U, UP,, UP, US 2 À | DO QU, Q,UP,, Q,UP:, Ed Bt Lo) à Q,UP,;, (2) \ QU, QUP;, Q;UP;, de | 5 DE REP
Q:-U, Qs-: Lie Qi UP, “ren S Qs-: UP:
seront tous inégaux entre eux. Car, si l’on supposait
Q, U P, — Q: UP, on en conclurait
(6) UP, Px' = Qi! QrU ou, ce qui revient au même,
