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ces courbes seront de deux espèces, les unes s'étendant de plus en plus, et les autres se rétrécissant de plus en plus pour des valeurs croissantes du module de T. Alors aussi ces diverses courbes renfermeront les divers

points correspondants aux diverses racines de l'équation

IH(z)+tw(z) —=o,

les courbes étant de première espèce, pour de très petites valeurs de 1, quand elles correspondront à des racines développables en séries ordonnées suiwant les puissances entières et ascendantes de 1. Enfin, tant que l'équation H(z)+tw(z) =o

offrira une racine x ainsi développable en une série convergente dont à sera le premier terme, le point P correspondant à la racine à restera situé sur une courbe de première espèce qui, dans son intérieur, renfermera un seul des points À, A’, A”, ..., savoir le point À correspondant à la racine a de l'équation H(z) —0o; et le caractère particulier, le caractère disunctif de la racine &, sera précisément de correspondre à l’un des points situés sur celte courbe, tandis que les autres racines «', œ”, correspondront toutes à des points P', P”, ... extérieurs à la courbe dont il s'agit.

Supposons maintenant que la racine a soit réelle, et que les fonctions II(z), &(z) soient réelles elles-mêmes. Alors la racine « restera réelle, tant qu’elle restera développable en une série ordonnée suivant les puissances entières et ascendantes de z. Supposons encore que, cette condition étant remplie, on nomme

“Fees À les racines réelles de l’équation N(sz)+tæ(z) —=0, et

DR, les points correspondants à ces mêmes racines. Les points P, Q, R, ... et le point À, correspondants à la racine a, seront tous situés sur l’axe des æ; et les points Q, R, ... seront tous extérieurs à la courbe de première espèce qui passera par le point P, en renfermant le point A dans son intérieur. Done ceux des points Q, R, ... qui seront situés, par rapport au point À, du même côté que le point P, seront plus éloignés de A; et par suite, si l’on partage les racines

m6, y, OEuvres de C.— S.1,t.X. 16

en deux classes, formées, l’une avec les racines supérieures, l'autre avec les racines inférieures à la constante a, la racine x sera toujours, entre celles qui appartiendront à la méme classe qu'elle, la plus voisine de a.

Observons encore que les propositions ici énoncées s'étendent au cas même où les fonctions II(z), (=), et, par suite, la fonction H(z) +1w(z:), seraient continues, non pour des valeurs quelconques de z, mais seulement entre certaines limites marquées par un certain contour tracé dans le plan des x, y, pourvu que ce contour fût constamment extérieur à la courbe de première espèce qui renfermerait le point correspondant à la racine &.

Si maintenant on suppose la fonction II(z) réduite à un binôme de la forme « — z, le développement de la racine & sera précisément celui que donne la formule de Lagrange, et la dernière des propositions que nous venons d’énoncer coincidera évidemment avec le théorème de M. Chio.

Alors aussi, en vertu des principes ci-dessus établis, celle des racines de léquation

a—3+tw(z)—=0o qui s’évanouira, pour une valeur nulle de 4, restera développable en série convergente ordonnée suivant les puissances ascendantes de £, pour tout module de £ inférieur au plus petit de ceux qui permettront de vérifier simultanément cette équation et la suivante :

On se trouvera ainsi ramené à la condition de convergence qui se trouve énoncée dans le Mémoire de M. Chio, et qui, comme nous l'avons dit dans le Rapport, coïncide avec la condition exprimée à la page 279 (*) du Tome I des Exercices d'Analyse. I est vrai que, dans les Exercices, j'ai donné cette condition comme suffisante, sans ajouter qu'elle était nécessaire. Mais, de l'observation faite au bas de la page citée, savoir que D,z devient infinie quand 1 — {5'(z) s’éva-

(1) OEuvres de Cauchy, S. H, T. XI.

EXTRAIT N° 338. 123 nouit, il résulte, suivant le principe établi dans d’autres Mémoires (voir les Comptes rendus de 1844), que la série de Lagrange devient effectivement divergente dès que la condition énoncée cesse d’être remplie.

Je remarquerai en finissant que, si le module de T vient à croître, les courbes de première espèce se réuniront successivement les unes aux autres, et que leur nombre diminuera sans cesse jusqu'à ce qu'elles se réduisent à une seule. Alors aussi, après chaque réunion de deux ou de plusieurs courbes de même espèce en une seule, on pourra toujours développer en série convergente la somme des diverses racines qui correspondaient à divers points situés sur les courbes réunies, ou même la somme de fonctions semblables et continues de ces racines. Ajoutons que chacune des séries ainsi formées aura toujours pour module, comme il serait facile de le prouver, le rapport

& étant un module de £ pour lequel l'équation (3) puisse acquérir des racines égales, par conséquent un module qui permette de satisfaire simultanément à l'équation (7) et à l'équation (ro).

THÉORIE DES NOMBRES. — Rapport sur une Note.de M. »'Apnémar.