MERE

auront des dimensions très petites. Concevons, pour fixer les idées, que a, «’, a”, ... soient des racines simples de l'équation (9); alors m racines

FPS PIRE APORR de l'équation (7) seront développables en séries convergentes ordonnées suivant les puissances ascendantes de 4, et correspondront à m points divers

in px

respectivement situés sur ces diverses courbes. Ajoutons que T, venant

à croître, l’une quelconque de ces racines, la racine & par exemple, restera développable en série convergente, ordonnée suivant les puissances entières et ascendantes de £#, tant que la courbe de première espèce, qui correspond à cette racine, n’aura pas de points communs avec une ou plusieurs autres courbes de première ou de seconde espèce, ou, ce qui revient au même, tant que le module T n’atteindra pas une valeur pour laquelle équation (7) puisse acquérir des racines égales, par conséquent une valeur qui permette de satisfaire simultanément à l'équation (7) et à la suivante :

(10) IL'(3)+tw'(5) — 0.

Ainsi le développement de la racine & suivant les puissances ascendantes de £ restera convergent pour des valeurs croissantes du mo-

dule T de #, jusqu'au moment où cette racine, qui vérifie la formule (11) H(x)+itw(ax) —0,

et se réduit à a pour £{ — 0, vérifiera, en outre, du moins pour une

valeur convenablement choisie de l’argument de #4, la condition

(12) (a) +itw'(x) = 0.

D'autre part, comme on tirera de la formule (11)

I'(œ) + tæ/(a)

il est clair que, au moment dont il s’agit, on aura, pour une valeur convenable de l'argument de 4,

D,c ns: 718 Ô On doit seulement exclure lé cas'où l’on aurait D(a) —0, c'est-à-dire le cas où #, étant une racine connue des deux équations

deviendrait indépendant de #. Done, si l’on excepte ce cas, dont nous pouvons faire abstraction, la dérivée de la série qui représentera le développement de la racine & suivant les puissances ascendantes de 4 acquerra une somme infinie, du moins pour une valeur convenablement choisie de l'argument de #, à l'instant où la valeur croissante du module T atteindra la limite pour laquelle se vérifient les formules (11) et (12). Nommons & cette limite. Non seulement la série qui représente le développement de « sera convergente, avec sa dérivée, tant que l’on aura T<&,

mais, comme la série dérivée deviendra certainement divergente, au moins pour une valeur convenable de l’argument #, quand on suppo-

sera

on peut affirmer que, dans cette supposition, le module commun des deux séries sera l'unité. Donc les deux séries auront pour module le

T rapport + et deviendront divergentes quand ce rapport surpassera

l'unité, c’est-à-dire quand on aura T>E.

Jusqu'ici nous avons supposé que les constantes M 4; a,

étaient toutes des racines simples de l'équation (9). Mais, pour que les conclusions auxquelles nous sommes parvenus subsistent, il suffit évidemment que a soit une racine simple de l'équation (9). Cela posé, on pourra évidemment énoncer les propositions suivantes :

TuéorÈme L. — +, y étant deux variables réelles, nommons: I(z), w(:) , deux fonctions continues de la variable imagin are

3=2+Fy\V—:.

Supposons d'ailleurs que a soit une racine simple de l'équation

Enfin soit t'un paramètre variable. Pour de très petites valeurs de ce paramètre, l'équation IH(:)+tw(z)=o

offrira une racine simple « développable suivant les puissances entières et ascendantes de t en une série convergente dont a sera le premier terme, el le module de cette série sera le plus petit des modules de t, pour lesquels on

aura simultanément H(x)+tæ(x) —o, I'(a)+tw'(x) — 0.

TuéorèME IT. — Les mêmes choses étant posées que dans le théorème 1, considérons les variables x, y comme propres à représenter les coordonnées rectangulaires d’un point mobile. À chaque valeur de z correspondra une position déterminée de ce point, et, par suite, aux diverses racines a,

a’, a”, ... de l'équation

correspondront divers points PRE. TD PAR REC

suues dans le plan des æ, y. Si, d’ailleurs, en nommant T le module du paramètre 1, on construit le système des courbes représentées par l'équa- Lion

H(x+yy—:1) “o(x+yV 1).