C. R., T. XXII, p. 529 (14 septembre

Pour que l’on puisse déterminer complètement les variables propres à vérifier un système d'équations différentielles, il ne suffit pas de connaître les intégrales générales de ce système : il est encore nécessaire que les constantes arbitraires comprises dans ces intégrales répondent aux données du problème que l’on veut résoudre. Le plus ordinairement, l’on connaît a priori les valeurs initiales des variables, c'està-dire un système de valeurs qu’elles peuvent acquérir simultanément, et il s’agit alors de passer de ce système de valeurs à un autre. Il importe donc de faire en sorte que les constantes arbitraires introduites dans les intégrales d'un système d'équations différentielles soient précisément les valeurs initiales des diverses variables. On peut aisément y parvenir quand, les variables étant séparées dans les équations différentielles, on intègre isolément chaque terme, ou

bien encore quand on considère des équations différentielles qui se ramènent, par un moyen quelconque, à d’autres équations dans lesquelles les variables sont séparées. J'ai cherché une méthode à l’aide de laquelle on pût résoudre généralement la même question pour les intégrales algébriques des équations différentielles du genre de celles dont je me suis occupé dans les séances précédentes, et j'ai reconnu qu’un emploi convenable de la formule d’interpolation de Lagrange permettait d'atteindre ce but. J'ai obtenu, de cette manière, divers résultats qui me paraissent mériter l'attention des géomètres, et qui seront développés dans mes Exercices d'Analyse. Je me bornerai, pour l'instant, à en donner une idée en peu de mots. |

Considérons, en particulier, les équations différentielles qui, renfermant des radicaux, peuvent s'intégrer algébriquement. Si l’on se sert de la méthode que j'indique pour introduire dans les intégrales les valeurs initiales des inconnues, on reconnaîtra que l’on peut choisir arbitrairement les racines de l’unité, employées comme facteurs dans les divers termes de chaque équation différentielle. Done, s’il s’agit de radicaux carrés, on pourra intégrer les équations différentielles, non seulement quand tous les termes seront précédés du signe +, mais encore quel que soit le signe de chaque terme. De plus, si au système des variables données on joint un second système de valeurs propres à représenter les valeurs des divers radicaux, la méthode proposée fournira, pour la détermination de toutes ces variables, un système d'équations non seulement algébriques, mais rationnelles.

Les principes que je viens d’énoncer s'appliquent avec succès à la recherche des propriétés des fonctions inverses de celles qu’ex-” priment les intégrales binômes. On sait que, à ces intégrales, quand elles renferment sous le signe / et en dénominateur les racines carrées de binômes du second degré, répondent des fonctions inverses qui sont précisément les fonctions trigonométriques appelées sinus et cosinus. On sait aussi que ces fonctions trigonométriques jouissent de plusieurs propriétés remarquables, et que, par exemple, les sinus

et cosinus de la somme de deux ares s'expriment rationnellement en fonction des sinus et cosinus de ces ares. Or des propriétés analogues à celles de ces deux lignes trigonométriques appartiennent aussi à ce qu'on pourrait appeler les sinus et cosinus des divers ordres, c’està-dire aux fonctions inverses de celles qu’expriment des intégrales binômes, dans lesquelles entrent, sous le signe f et en dénominateur, la racine cubique d’un binôme du second degré, ou la racine quatrième d'un binôme du troisième degré, ete. Ainsi, en particulier, si l’on considère le troisième ordre, le sinus et le cosinus de la somme de deux variables pourront être exprimés en fonctions rationnelles des sinus et cosinus de ces mêmes variables, à l’aide d’une formule très simple que l’on trouvera dans mon Mémoire.

ANALYSE

Soit donnée entre les variables æ, y une équation de la forme (1) a NIT + Cette équation, résolue par rapport à y, fournira diverses valeurs de y exprimé en fonction de æ. Soient (2) F=d(x), ,Y =) y —0n(x)

ces diverses valeurs, le nombre » pouvant devenir infini quand l’équation (1) sera transcendante, et mrommons 0(æ) l’une d’entre elles. On aura identiquement

(3) Tiv;9(æ)1= 0.

Soit d’ailleurs e une fonction entière de æ du degré m — 1, m étant un nombre entier quelconque. Cette fonction sera complètement déterminée si on l’assujettit à prendre les mêmes valeurs que la fonction (x), pour » valeurs particulières données de la variable x. En effet, soient

Es Ës RE En

ces mn valeurs particulières successivement attribuées à la variable x.

EXTRAIT N° 339. 127 Si l’on doit avoir, pour chacune d’elles, (4) ve — 0(x), la formule d’interpolation de Lagrange donnera

ÉnREy, L res CHR Ha À 1). . (Em — LEP

Br (æ—{Ës)...(æ —En)

un $ 9 5e .

(E1— É2)-.. (1 — Ëm) (Em)

Un: A Re

Il y a plus : la fonction # sera encore complètement déterminée si on l’assujettit à prendre, pour chacune des valeurs particulières

Es Ëss sers En attribuées à æ, la même valeur que l’une des fonctions 0(x), par exemple à vérifier | pour æ — Ë; la condition p = 0x),

pour æ — la condition nent PL EE À

(6) | ue none que | pour = Ë x la condition Fe 7 20 deux ou plusieurs des fonctions 8,(x), 9(x), Far On(x) pouvant devenir égales entre elles. En effet, les conditions (6) seront généralement vérifiées si l’on pose

(æ — Ë;). * (4 — Emi)

CE Eee En) EE) UE 4

ee = u m ts ” PDA Cm)

La valeur générale de e étant ainsi déterminée, l'équation (8) f(x, v)— 0,

résolue par rapport à la variable æ dont + est fonction, aura évidemment pour racines tous les termes de la suite

Es Ëas SL ENS

et par conséquent elle aura pour racines toutes celles de l'équation

(9) (æ— 6) (x —Ë:)...(7 — Em) = 0.

Soit maintenant w le rapport des fonctions qui constituent les premiers membres des équations (8) et (9), en sorte qu'on ait identi-

quement

Ge) . - Jimv)=u(z—h)(e—h)...(c—bn)

Si l’on nomme # une variable nouvelle liée à æ par une équation de la forme |

(11) ut+v—0(x),

on aura, en vertu des formules (3) et (11), (12) f{æ,ut+v)=o.

Donc alors la formule (12), résolue par rapport à æ, aura pour racines toutes celles qui vérifieront les r équations

(13) ut+v=0ute), ut+v—0(x), is ut+v—=0,(x).

I y a plus : la formule (12), résolue par rapport à +, aura encore pour racines toutes celles qui vérifieront la formule

car chacune de ces dernières racines réduira la formule (r2) à l'équation (8), dont le premier membre s’évanouira en vertu de la formule (10).

Concevons à présent que l’on désigne, pour abréger, par F(æ,t) le premier membre de la formule (12), et posons en conséquence

F(z,t)=f(z,ut++v), puis d(z,t)—D,F(zx,t), YW(xz,t)=D,F(x,t).

Soit d’ailleurs f(æ, y) une fonction donnée des variables æ, y, ..., et

nommons Lis Lay +5 ŒN

celles des racines de l'équation (12) qui ne vérifient pas l'équation (14). Enfin admettons que, en prenant pour æ une de ces

racines, on pose

(15) k=f(x,ut+v) et £ (16) ES À £D 2 dé

Si l’on représente par s la somme des valeurs de l'intégrale s corres-

pondantes aux valeurs PAR Los CRT] Ty

de æ, on aura (17) = f De ds,

et la valeur de s pourra être aisément déterminée dans un grand nombre d’hypothèses, par exemple lorsque f(x, y) sera une fonction entière des variables x, y, et £W(x,1) une fonction entière des variables æ, 4.

Cela posé, considérons spécialement le cas où l’on ne diminue pas le nombre des racines de l’équation (12) en y supposant { — 0. Dans ce cas, si l’on attribue à z une valeur peu différente de zéro, chaque racine de l’équation (12) aura pour valeur exacte ou approchée une racine correspondante de l’équation (8). Done, si on laisse de côté celles des racines de l'équation (12) qui vérifient l'équation (14), et qui sont indépendantes de #, les autres racines auront pour valeurs approchées les #2: racines de l’équation (9), de manière à se confondre avec ces dernières quand on posera £ — 0. Donc le nombre N de ces autres racines, qui seules pourront dépendre de 4, sera précisément égal à #2, et, dans l'hypothèse admise, la suite de ces racines renfermera seulement »# termes

Mir Lys

Nommons, en particulier, æ, celle qui acquerra la valeur £, pour une

valeur nulle de 4; nommons +, celle qui acquerra, pour {— 0, la

valeur £,, ...; enfirr, æ,, celle qui acquerra, pour £ — 0, la valeur £,. OEuvres de C. — S. 1, t. X. L:

Il sera généralement facile de savoir quelle est l'équation de la forme (18) ut+v—=û(x),

à laquelle satisfera la racine æ,. Car, en posant dans cette équation

t—o et, par suite, x — Li — Es

on en tirera e—0(æx), puis, eu égard à la première des formules (6),

Donc celle des équations (13) que l’on vérifiera, en prenant x — x,, sera celle dont le second membre se réduira, pour æ — &,, à 0,(x). Or, parmi les équations (13), une seule, savoir celle dont le second membre est 0,(æx), remplira ordinairement cette dernière condition, attendu que les valeurs de £,, £,, ..., €, peuvent être choisies arbitrairement, et sont généralement inégales entre elles. Cela posé, si l’on nomme Us Uss 3 Um; Has Vas, lus roi Vi

ce que deviennent w et # quand on y écrit successivement à la place de æ les divers termes de la suite

Ris RS FR is la racine æ, vérifiera l’équation ; ut+vi—=0(x), et l’on obtiendra de la même manière le système entier des formules uit + =bi(m), (20) ugt 7. = 0,(2),

Umt + Vm—= (ru) que l’on réduit à

(21) Ul+ = Yi, Ust + Vs Vos pi) Ut + Vm = Vins

en posant, pour abréger, (22) = (ri) Ya 0a(La)s “9 D ne Ci mn Va

D'autre part, dans l'hypothèse admise, s ne sera autre chose que la somme des valeurs de l’intégrale s correspondantes aux valeurs

Li, Las res Lm

de la variable x; et comme, en supposant # suffisamment rapproché

t he faveazf kde.

£ étant la valeur de x correspondante à : — o, il suffira de prendre

de zéro, on aura

(23) ki = (Ti Yi), Ka =Î(Ls, V2), Sr En = (Æms Yom)

pour réduire la valeur de s à la forme

(24) = f aer+ f du + fes dam.

Ainsi, dans l'hypothèse admise, c’est-à-dire lorsqu'on ne diminue pas le nombre des racines de l’équation (12), en réduisant 4 à zéro, la valeur de s peut être fournie, non seulement par l'équation (17), mais aussi par l'équation (24), les valeurs de æ,, æ,, ..., æ,, étant liées entre elles et à la variable £ par les formules (21). On a donc alors

$ kW(x, t (25) À f'nan+ f” kde) 4: a AN EUR [ER à

puis on en conclut, en différentiant les deux membres,

f KW, D à

(26) 7 pe hdi mes

Donc alors on satisfait, quelle que soit la fonction

KZ f(x, y),

aux équations différentielles de la forme (26), par les valeurs de L, : Pis: as ... ms

tirées des équations (21), ou, ce qui revient au même, de la formule

VIT MS Jar Ci KR Para 2 4

É. Ac en arm cart Je (27) U; LE) Un

et ces valeurs sont précisément celles qui se réduisent simultanément à 0, 26 D ee à Il y a plus : ces conclusions subsistent, quelle que soit celle des racines de l'équation (1) qui se trouve représentée par 0,(æ), ou par 0,(æ), ..., ou par 0,(æ), dans le second membre de chacune des formules (20).

Lorsque la condition £ kY(x,t) 5 (F(æ, 0) se vérifie pour 2 valeurs essentiellement distinctes de la fonction #, la formule (26), réduite à

(28) k, dr; + Ke dt +... + Km d£m=0,

fournit un système de » équations différentielles, dont les intégrales générales sont données par la formule

(29) PIN. dm Ve

Ui : Ua Ur

dans laquelle les constantes arbitraires se trouvent précisément représentées par les valeurs initiales

Es, Es ré à En des m variables

Lis Lo ses Tme Lorsque la fonction f(x, y) est entière et du second degré en y, les résultats donnés par les formules précédentes s'accordent nécessairement avec ceux qu'ont obtenus MM. Jacobi et Richelot à l'égard

des intégrales abéliennes. Je citerai particulièrement à ce sujet un Mémoire que, depuis l'achèvement de mon travail, je viens de lire, dans une des dernières livraisons du Journal de M. Crelle, et dans lequel la formule d’interpolation est appliquée par M. Jacob: à l'intégration des équations d’Abel.

Dans un prochain article, j'appliquerai les formules que je viens d'établir à divers exemples, et, en particulier, aux fonctions inverses de celles que représentent les intégrales binômes, ou à ce qu'on peut

appeler les sinus et cosinus des divers ordres. P CALCUL INTÉGRAL. — Mémoire sur les intégrales dans lesquelles la foncuon

sous le signe À change brusquement de valeur. C.R., T. XXII, p. 537 (14 septembre 1846).

Les théorèmes que j'ai donnés, dans la séance du 3 août, pour les intégrales qui s'étendent à tous les points de la courbe enveloppe d’une aire tracée sur un plan ou sur une surface quelconque, offrent un des moyens les plus simples d'établir les formules générales qui servent à la détermination ou à la transformation des intégrales définies. On doit surtout remarquer le cas où la fonction différentielle placée sous le signe »f. peut être considérée comme la différentielle exacte d’une autre fonction qui dépend uniquement de la position d’un point P mobile sur la surface donnée, et où cette fonction différentielle ne cesse d’être finie et continue que pour certains points isolés de l’aire terminée par la courbe dont il s’agit. Alors, comme nous l’avons vu, l'intégrale proposée peut être remplacée par une somme d’intégrales singulières dont chacune se rapporte à la courbe enveloppe d’un élément de surface, dont les deux dimensions sont infiniment petites.

Lorsque la fonction sous le signe fs étant la différentielle exacte d'une autre fonction variable avec le point mobile P, change brusquement de valeur dans l'étendue de la surface que termine la courbe donnée, ce changement brusque a généralement lieu pour une série de points contigus les uns aux autres, et situés sur une ou plusieurs lignes dont les longueurs peuvent être finies. Alors on peut supposer chacune de ces lignes renfermée avec un élément de surface, dont une seule dimension soit infiniment petite, dans une courbe qui enveloppe cet élément, et l'intégrale proposée est la somme de plusieurs autres que l’on pourrait encore nommer singulières, chacune d'elles étant relative à un élément de surface infiniment petit. On verra, dans le présent Mémoire, le parti que l’on peut tirer de la considération de cette nouvelle espèce d’intégrales singulières, surtout dans le cas où la fonction sous le signe f se décompose en deux facteurs, dont l’un se réduit à un logarithme ou à une puissance fractionnaire. En effet, on parvient, de cette manière, non seulement à obtenir des démonstrations très simples des belles propriétés des intégrales eulériennes, mais encore à établir un grand nombre de formules nouvelles, et relatives soit aux fonctions elliptiques, soit à d’autres transcendantes d’un ordre encore plus élevé,

A l'occasion du Rapport de M. Cauchy sur le Mémoire de M. d'Adhémar, M. Brerox (de Champ) communique le théorème suivant :

La puissance m°"° d'un entier est non seulement la différence entre les carrés de deux entiers, mais encore la somme de plusieurs nombres impairs consécutifs.