C.R., T. XXII, p. 557 (21 septembre

ANALYSE

La position d'un point mobile P étant déterminée dans un plan à l’aide de coordonnées rectilignes, ou polaires, ou de toute autre nature, concevons que l'on trace dans ce plan une courbe fermée, et nommons s l’arc de cette courbe, mesuré positivement à partir d’une

(1): Voir la séance du 14 septembre 1846.

certaine origine et dans un sens déterminé. Soient, d’ailleurs, w, +», w, .… des variables qui changent de valeurs d'une manière continue avec la position du point mobile P, et, en faisant coïncider ce point avec l'extrémité de l’arc s, prenons

(1) k=Udu + Vde + Wdw +...;

U, V, W, .… désignent des fonctions de 4, v, w, ... tellement choisies, que la somme U du + Vds + Wdw +... soit une différentielle exacte. Enfin, désignons par S l’aire qu’enveloppe la courbe fermée, et par (S) la valeur qu’acquiert l'intégrale IL ds lorsque le point mobile P, ayant parcouru le contour entier de l'aire S, revient à sa position primitive. Si l’on fait varier la surface S, en modifiant par degrés insensibles la forme de la courbe qui l’enveloppe, alors, d’après ce qui a été dit dans la séance du 3 août, cette variation n’altérera pas la valeur de (S), tant que la fonction # restera finie et continue en chacun des points successivement occupés par la courbe variable. De plus, si, à l’aide de diverses lignes droites ou courbes tracées sur le plan donné, on partage l’aire S en plusieurs autres À, B, C, ..., en nommant (A), (B), (C), .… ce que devient (S) quand au contour de l'aire S on substitue le contour de l’aire À, ou B, ou C, ..., on aura

pourvu que la fonction # reste finie et continue en chaque point de chaque contour.

Observons encore que, si deux fonctions distinctes #, 4, offrent pour différence une troisième fonction qui demeure finie et continue pour chaque point de l'aire S, la valeur de (S) relative à cette troisième fonction s’évanouira; et qu’en conséquence les valeurs de (S) correspondantes aux deux fonctions #, 4, seront égales entre elles.

Les variables désignées par 4, #, w, ... dans la formule (1) peuvent être ou réelles ou imaginaires. Dans ce qui suit, nous considérerons spécialement le cas où, æ, y étant deux variables réelles propres à représenter les coordonnées rectangulaires du point mobile P, on

EXTRAIT Ne 342. | 137

suppose la variable imaginaire z liée à æ, y par la formule

(3) dr + y V— És et la fonction # liée à la variable 3 par la formule (4) k=s (2) D, Nous supposerons d’ailleurs que l'arc s se mesure positivement dans le sens suivant lequel il faut que le point P se meuve pour qu'il ait autour de la surface S, dans le plan des +, y, un mouvement de rotation direct.

Cela posé, si la fonction primitive de /(z) est connue, en sorte qu'on ait, par exemple,

(5) ts) ds = (3) + const.,

et si l’on nomme A la somme des accroissements instantanés qu'acquerra la fonction #(:), tandis que le point mobile P décrira le contour entier de l'aire $S, alors, en vertu d’une formule établie dans la séance du 10 juin 1844 [ page 1075, formule (3)] ('}, on aura

Pour montrer une application très simple de la formule (6), suppo-

sons que, £, n étant deux valeurs particulières de æ, etÜ—£+ny—1 la valeur correspondante de 3, on pose

Alors la fonction /(z) ne deviendra infinie que pour un seul point du plan des +, y, savoir, pour le point Q dont les coordonnées seront £, ». Alors aussi on pourra prendre

D'ailleurs le logarithme d’une expression imaginaire ne change brusquement de valeur que dans le cas où, la partie réelle de cette expres-

(1) OEuvres de Cauchy, S.Y, T. VIE, p. 228.

Œuvres de C. —S. I, t. X. 15

sion étant négative, le coefficient de ÿ— 1 change de signe, et, dans ce cas, l'accroissement instantané du logarithme est + 27— 1, le double signe devant être réduit au signe + ou au signe — suivant que le coefficient /--1 passe du négatif au positif, ou réciproquement. Cela posé, on tirera évidemment de la formule (6), dans le cas où (S) ne s'évanouira pas, c’est-à-dire dans le cas où l'aire S renfer-

mera le point Q,

(7) ; (SAR VTT.

Si la fonction /(z) ne devient discontinue qu'en devenant infinie, et pour certains points isolés P’, P”, P”, ... situés dans l’intérieur de l'aire S, si d’ailleurs à chacune des valeurs de z qui rendent /(=) ‘infinie correspond un résidu déterminé, alors, la différence entre les

deux fonctions

f(s), RUE

demeurant finie et continue pour chaque point de l’aireS, les valeurs de (S) correspondantes à ces deux fonctions seront égales, et, en supposant l’aire S décomposée en parties A, B, C, ... dont chacune renferme un seul des points P’, P”, P", ..., on tirera des formules (2)

et (7) (8) (S)=ary—1 EL (F(z)),

la somme qu'indique le signe £ s'étendant aux seules racines de

l'équation Fo 7 correspondront à des points situés dans l'intérieur de l'aire S. La formule (6) comprend, comme cas particuliers, celles que j'ai données dans le Tome I des Exercices de Mathematiques (') (pages 1o1 et 211), et que l’on en déduit : 1° en prenant pour $ l'aire d’un rectangle compris entre quatre droites parallèles aux axes des æ ct y; 2° en remplaçant les coordonnées rectangulaires

(1) Œuvres de Cauchy, S. U, T. VE, p. 133 et 264.

æ, y par des coordonnées polaires r, p, et en prenant pour S la différence entre deux secteurs circulaires, c'est-à-dire l'aire comprise entre deux arcs de cercle qui ont pour centre commun l'origine, et deux rayons menés aux extrémités du plus grand are.

Concevons maintenant que la fonction /(z) soit de la forme

la lettre l'indiquant un logarithme népérien. Alors, si l’on pose