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u et étant réels, on pourra généralement, dans l’intérieur de l’aireS, tracer une ou plusieurs lignes droites ou courbes, dont l’une quelconque O0’ sera de telle nature qu’en chacun de ses points la fonction 6 sera nulle et la fonction w négative. Alors aussi on verra généralement la fonction v passer du négatif au positif, quand on passera d'un point R situé d’un côté de la courbe OP à un point R’ situé de l’autre côté. Supposons d’ailleurs les points R, R’ infiniment rapprochés de la ligne O0”, et nommons a une surface infiniment étroite qui renferme cette courbe dans son intérieur, le contour de l’aire a étant décrit par un point mobile qui passe avec un mouvement de rotation direct de la position R à la position R’. Enfin soit O celui des deux points O, O’ que le point mobile P rencontre avant d'arriver en R. Alors, en supposant l'arc s mesuré, non plus sur le contour de l'aire, mais sur la ligne O0’ et à partir du point O, on trouvera

(10) {a)}=27V—1 [l F(:)D,: ds, #0 < désignant la longueur entière de l’are 00”.

Cela posé, si la fonction /(:) ne devient infinie ou discontinue, entre les limites indiquées par le contour de l'aire S, que dans le voisinage de la ligne O0’ et des autres courbes de mème nature, ou bien encore dans le voisinage de certains points isolés P’, P”, ..., à chacun desquels corresponde un résidu déterminé de /(z), on tirera de la

formule (2), jointe aux équations (3) et (ro),

EUEI+X f FtDsas|,

la somme indiquée par le signe > étant relative aux diverses lignes de la nature de O0”.

Si l’un des points isolés P’, P”, ... se trouvait situé sur la ligne 00"

(11) (S)=2rvV—1

ou sur l’une des autres lignes de même nature, on obtiendrait encore la formule (11), en supposant le résidu correspondant à ce point réduit à sa valeur moyenne, et l'intégrale correspondante au même point réduite à sa valeur principale.

Si le produit z /(z) s'évanouit généralement quand z acquiert des valeurs infinies réelles ou imaginaires, et ne cesse alors de s’évanouir en restant fini que dans le voisinage de certaines valeurs particulières de l'argument de z, alors, en supposant que l'aire S s’étende indéfiniment dans tous les sens autour de l’origine, on trouvera (S) — 0, et la formule (11) donnera simplement

(12) EUE)+Ÿ Î F(:)D,s ds — 0.

Si, au lieu de fixer la valeur de /(z) à l’aide de l'équation (4), on supposait (13) JS) =F(2)[f(2)F,

la constante x étant un exposant rationnel ou 1rrationnel, réel ou imaginaire, alors, à la place des formules (10), (15) et (12), on obtiendrait les suivantes :

ç (14) (a) = 2 sinpr Vi f° F(a) 1 (28 D ds, (9: (81= 27 V—1 | d,(f(2)) + ne D) FU) [— fa,

(16) EU) + DRE S [FUI CN De sd = 0.

On doit remarquer, d’une manière spéciale, le cas où la fonction F(z) est du nombre de celles que l’on peut intégrer en termes finis. Alors les seconds membres des formules (ro), (11) et le premier membre de la formule (12) ne renferment plus d’intégrales. Si, d’ailleurs, la fonction F(z:) est du nombre de celles qui s’intègrent par logarithmes, alors, en passant des logarithmes aux nombres, on verra souvent paraitre, dans la formule (12), des produits composés d’un nombre infini de facteurs.

Nous reviendrons, dans un autre article, sur les diverses formules générales auxquelles nous venons de parvenir, et dont les applications peuvent être multipliées à l'infini. Nous examinerons en particulier les résultats qu’elles donnent quand on les applique à la recherche des propriétés des fonctions elliptiques. Pour l'instant, nous nous bornerons à citer deux ou trois exemples très simples, qui feront mieux comprendre l'usage de ces formules.

Si dans l'équation (16) on pose successivement

fa) = et f(2)—= —>

elle fournira les valeurs de deux intégrales eulériennes, et l’on trou-

APN TR e 1 Pas PA AH): sSinux 1—Z tangur

vera

l'intégrale définie devant être, dans le second cas, réduite à sa valeur principale.

Si dans la formule (11) on prend

0, a étant des quantités positives, alors, en nommant à la racine réelle

et positive de l’équation eme 0,

et désignant par À une constante positive inférieure à 2 on trouvera

fe hV—1)= fe + RV) 3,

T0 | Ta 2.0 ARE Sid EN Ag BUS 12 PEN EU D RS TER EEE PT = (E) Itang UT Ô (— 1) 1(: : Sp

la somme qu'indique le signe > s'étendant à toutes les valeurs

entières, positives et négatives de 2.

Au reste, les principes exposés dans ce Mémoire fournissent évidemment le moyen d'établir une multitude de formules générales, analogues à celles que nous avons obtenues, et de réduire la détermination de l'intégrale (S) à l'évaluation d’intégrales singulières, quelle que soit la surface S, et quelle que soit la forme de la fonction /(z). En effet, la fonction /(z:) peut devenir discontinue dans le voisinage de certaines valeurs de z = x +7 V-- 1 correspondantes à certains points Q, R, ... de l’aire S, soit en devenant infinie, soit en changeant brusquement de valeur. Dans le premier cas, les points Q, R, ... sont nécessairement des points isolés P', P', .... Dans le second cas, ils sont contigus les uns aux autres, et situés sur une ou plusieurs lignes droites ou courbes O0’, dont les longueurs peuvent être finies. D'autre part, il est aisé de voir que la formule (2) peut être étendue au cas où quelques-unes de ces lignes rencontreraient les contours des surfaces À, B, C, ...; et, pour que cette formule subsiste quand on a # — f(:)D,z, il suffit que la fonction /(z) reste finie en chaque point de chaque contour. Cela posé, on pourra généralement partager l'aire S en éléments À, B, C, ... et a, b, ec, .., les uns finis, les autres infiniment petits, les éléments finis A, B, C, ..… étant choisis de telle manière que la fonction f(:) reste finie et continue en chaque point de chacun d’entre eux, et les éléments infiniment petits a, b, e, ... étant ou des surfaces qui s'étendent infiniment peu dans tous les sens autour des points isolés P’, P’, .., ou des surfaces infiniment étroites dont chacune renferme dans son intérieur une des courbes 00 ou une portion de l’une de

ces courbes. Ce partage étant opéré, la formule (2) donnera S—(a)+(b)+(c)+...,

puisque les intégrales correspondantes à des éléments finis A, B, C, .. de l’aire S s'évanouiront; et la détermination de l'intégrale (S) se trouvera réduite à la détermination des intégrales singulières (a), (b), (e), ... dont les valeurs, quand elles seront finies sans être nulles, se déduiront de la formule (2) s’il s’agit d'éléments qui renferment les points isolés P', P”, ..., ou, dans le cas contraire, d’équations analogues aux formules (10), (14), ....

CALCUL INTÉGRAL. — Mémoire sur les intégrales imaginaires des équations différentielles, et sur les grands avantages que l’on peut retirer de la considération de ces intégrales, sou pour établir des formules nouvelles, soi pour éclaircir des difficultés qui n'avaient pas été jusqu'ici com-

plètement resolues.