C. R., T. XXIV, p. 757 (5 mai

Pour résoudre certains problèmes, il est quelquefois nécessaire de déterminer, non pas le maximum ou le minimum absolu d’une fonction de plusieurs variables indépendantes, mais la plus grande ou la plus petite valeur que cette fonction peut acquérir sous des conditions données. On doit spécialement remarquer le cas où ces conditions s’expriment par des inégalités, en sorte que d’autres fonctions des

mêmes variables soient assujetties à ne pas dépasser certaines limites. Comme je l’ai observé dans mes précédents Mémoires, c’est précisément à une question de ce genre qu’on se trouve conduit dans la théorie des polynômes radicaux. Jai cherché s’il ne serait pas possible d'obtenir une méthode générale qui pût être facilement appliquée à tous les problèmes de cette nature. Celle que je vais exposer dans ce Mémoire me parait digne de fixer un moment l'attention des géomètres. |

Je me bornerai, aujourd'hui, à établir les principes généraux sur lesquels je m'’appuie et les formules qui s’en déduisent; dans un autre article, je donnerai l'application de ces formules à la théorie des polynômes radicaux.

Soient

des fonctions données de z variables æ, y, z, ..., et proposons-nous de trouver la plus grande valeur ç que puisse acquérir la fonction s quand les variables æ, y, z, ... sont assujetties à vérifier les conditions

(1) u£o, p£o, æ£0, à és

dont le nombre est inférieur ou égal à 2. Les valeurs de æ, y, z, ..., qui correspondront à la valeur ç de s, pourront, ou ne vérifier aucune des équations

(2) HU 20 Pre à À Li Aer 1 À ts à

ou vérifier une ou plusieurs de ces mêmes équätions. Dans le premier cas, ç sera un maximum absolu de s, que l’on pourra déterminer, abstraction faite des conditions (1), sauf à s'assurer plus tard que ces conditions sont remplies. Dans le second cas, ç sera un maximum conditionnel de s. Voyons maintenant comment on pourra déterminer ces divers maxima, soit absolus, soit conditionnels.

Désignons, à l’aide de la caractéristique À, des accroissements infiniment petits, simultanément attribués aux variables et aux fonctions données. Lorsque æ, y, 3, ... auront acquis des valeurs correspon-

EXTRAIT N° 363. 287 dantes à un maximum absolu de s, on aura (3) As < 0, quels que soient les accroissements infiniment petits Ax, Ay, Az, .... La formule (3) suffira, comme on le sait, pour déterminer complète-

ment les valeurs de æ, y, z, .... On devra ensuite examiner si ces valeurs satisfont aux conditions

(4) uU TO, p TO, Œm <T O,

Cherchons maintenant les maxima conditionnels de s correspondants à des valeurs de +, y, #, ... qui vérifient une seule des équations (2), par exemple l'équation

Alors on aura ; / As <o (6) | pour toutes les valeurs de Ax, Ay, Az, ..

| qui vérifieront les conditions

| Au S 0.

D'ailleurs, ces dernières formules, jointes à l’équation (5), sufliront,

comme nous l’expliquerons tout à l'heure, pour déterminer complète-

ment les valeurs de æ, y, 3, .... On devra ensuite examiner si ces valeurs satisfont aux conditions (7) P< 0, #< O0,

Cherchons encore les maxima conditionnels de s correspondants à

des valeurs de +, y, z, ... qui vérifient deux des formules (2), par exemple les équations

(8) Lo À | ds Alors on aura As < 0 Ê

pour toutes les valeurs de Ax, Ay, As, ..

qui vérifieront les conditions

Au =©0, Av=£o.

D'ailleurs, ces dernières formules, jointes aux équations (8), suffiront, comme on le verra, pour déterminer complètement les valeurs de æ, y, 3, .... On devra ensuite examiner si ces valeurs de æ, y, :,... satisfont aux conditions

On obtiendra, de la même manière, les formules qui devront être vérifiées, lorsque s acquerra un maximum conditionnel correspondant à des valeurs de æ, y, z, ..., liées entre elles par trois, quatre, cinq, ..…. des équations (2). Il ne reste plus qu’à développer les formules (3), ou (6), ou (9), ..., en considérant d’une manière spéciale le cas que l’on rencontre le plus fréquemment, savoir, le cas où s, u, pv, w, sont des fonctions continues de æ, y, z, ....

Supposons d’abord que les valeurs des variables æ, y, z, ... correspondent à un maximum absolu de s. Alors ces variables étant indépendantes entre elles, si l’on nomme & une quantité infiniment petite, on pourra supposer

Az=1idz, Ay = 1dy, Az —1tdz, ‘hs et l’on aura As— tds + ds +...

Cela posé, la formule (1) donnera

ds + sÉs+...<o,

quel que soit le signe de 1, et, par conséquent,

(11) ds —0, eue 0,

quels que soient dx, dy, dz, .... Comme on aura d’ailleurs ds =D,s dx + D,s dy + Ds ds +...,

la première des formules (11) donnera

(12) Dit, D;,s=0, Dis 0,

EXTRAIT N° 363. 289 Si les valeurs de æ, y, z, ..., tirées de ces dernières équations, faisaient évanouir ds, il faudrait, comme l’on sait, recourir à la considération des différentielles de s, d’un ordre supérieur au second. Supposons, en second lieu, que les valeurs de æ, y, =, ... correspondent à un maximum conditionnel de s, pour lequel se vérifie la formule (5). Alors æ pourra être considéré comme fonction de y, 3, ...; et si, en désignant par & une quantité infiniment petite, on

pose Ày = 1tdy, Az —tds, Pre

on aura

Ar =idr+-x+...,

As =—1d$ + 3; Ps Hs L°

Au =idu + su +...

Alors aussi les formules (6) donneront, d’une part, .(13) , dr 0, so

pour toutes les valeurs de dx, dy, ds, ... propres à vérifier la condi-

tion (14) du == 0;

et, d'autre part,

(19) tds Lo

pour toutes les valeurs de dr, dy, dz, ... propres à vérifier la condition

(16) t du < 0.

Si l'on combine par voie d'addition la première des formules (13) avec la formule (14) multipliée par un facteur indéterminé À, on trouvera

(17) ds + À du —0o OEuvres de C.— S.I,t.X. 37

ou, ce qui revient au même, (Drs+ÀD;u) dx +(D,;s+2D,u)dy +...—=0o.

Or, en choisissant le facteur À de manière à faire disparaitre, dans la dernière formule, le coefficient de dx, on obtiendra une équation qui devra subsister, quels que soient dy, dz, .... On aura donc alors

(18) D,s + AD, u = 0, D,s+ÀD,u—o,

Ces dernières formules, jointes à l'équation (5), détermineront complètementæ, y, 3, ... et À. D'ailleurs, æ, y, 3, ..., À étant ainsi déterminés, l'équation (17) subsistera, non plus seulement pour les valeurs particulières de dx, dy, dz,..., qui vérifieront la condition (14), mais pour toutes les valeurs possibles de dx, dy, dz, .... Donc alors la formule (15) sera réduite à — Lu du<o;

et cette dernière condition, devant être vérifiée pour toutes les valeurs de dx, dy, dz, ... qui satisferont à l'équation (14), donnera

Ilest bon d'observer que, dans la seconde des formules (13), on peut, eu égard aux formules (14) et (19), supposer la valeur de ds déter-

minée par l'équation

+ { ds—(Dis+A1Diu)dz?+ (Dis +2 Diu) dy? +...

+2(D,D,s+2D,D,u)dx dy +....

Donc, non seulement on peut remplacer la seconde des formules (13)

par la suivante

(21) ds+Àdu<o,

que l’on en déduit immédiatement, eu égard à équation (14); mais, de plus, le premier membre de léquation (21) se réduit à une fonction homogène de dx, dy, dz, ..., savoir, à celle avec laquelle il coincide dans le cas où les variables æ, y, z, ... deviennent indépendantes

les unes des autres.

EXTRAIT N° 363. 291 Supposons, en troisième lieu, que les valeurs de æ, y, 3, ... correspondent à un minimum conditionnel de s pour lequel se vérifient les

formules (8). Alors æ, y pourront être considérés comme fonctions

de 3, .... Alors aussi les formules (9) donneront, d'une part,

(22) M0, ds <o

pour toutes les valeurs de dx, dy, ds, propres à vérifier les condi- Lions

(23) dé — "0, dv = 0,

et, d’autre part,

(24) tds Lo

pour toutes les valeurs de dx, dy, dz, ... propres à vérifier les conditions

(29) du < 0, t de < 0,

l’un des signes << pouvant être ici remplacé par le signe —. Cela

posé, en raisonnant comme ci-dessus, on déduira aisément des formules précédentes, non seulement l'équation

(26) ds + À du + pds — 0,

à laquelle on pourra satisfaire, quels que soient dx, dy, dz, ..., si l’on choisit convenablement les facteurs indéterminés À, &, mais

encore, en supposant les facteurs À, & choisis comme on vient de le

dire, (27) D,s+AD;u+pD;v —o, D,s+A1D,u+pD,e—o, Ke (28) * À <e, Hi D.

Ajoutons qu’à la seconde des formules (22) on pourra substituer la suivante (29) ds + d'u + pdv Lo,

dont le premier membre se réduira, en vertu des formules (23), à une fonction homogène de dx, dy, dz, ....

On obtiendra, de la même manière, les formules correspondantes à un maximum conditionnel de s pour lequel se vérifieront trois, quatre, cinq, ... des équations (2).

Le cas où s doit être un minimum peut être ramené à celui que nous venons de traiter, par la simple substitution de — s à s. Il est clair, en effet, que, si s devient un minimum, — $ deviendra un maximum, et réciproquement.

Lorsqu'on applique les principes ici établis au problème traité dans la séance du 19avril, on arrive aux conclusions déjà énoncées, que la condition (8) ou (9) de la page 28r est remplie pour toute valeur finie de A4 ou de À;. Mais on reconnaît en même temps que, pour obtenir la solution complète du problème, il est nécessaire de joindre à la considération des deux maxima A3, A, celle du maximum commun des trois factorielles O, 0;, 6;. C’est là, au reste, un point sur

lequel je me propose de revenir prochainement.

ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Mémoire sur les lLeux analytiques.