C. R., T. XXIV, p. 996 (7 juin

Des propositions diverses, relatives à la théorie des nombres, peuvent se déduire du théorème fondamental que renferme mon

Mémoire du 15 mars dernier, et qui s’y trouve énoncé dans les

termes suivants :

Tuéorème. — Supposons que, X élant une fonction entière de x à coef-

ficients entiers, l'équation AE O

soit trréductible; si une seule racine x de cette équation vérifie une autre

équation algébrique, et à coefficients entiers, p(æ)—0,

alors la fonction 5(x) sera divisible algébriquement par la fonction X. Donc, si, dans cette dernière, le coefficient de la plus haute puissance

de x se réduit à l'unité, on aura o(x) = (x), (x) désignant encore une fonction entière de x, à coefficients entiers.

Ce théorème conduit surtout à des résultats dignes de remarque,

dans le cas où les racines de l'équation ES 0 peuvent être exprimées par des fonctions entières Lis Las

d’une première racine æ. Alors, en effet, si l’on prend pour (x) le

produit de fonctions entières et semblables des diverses racines, et si les diverses fonctions sont à coefficients entiers, le produit 7(x), quand on prendra pour æ la racine en question, se trouvera réduit à un nombre entier Z, et par suite la différence

xtæi— 1

sera divisible algébriquement par X. Done, par suite, si l’on attribue à æ une valeur entière qui rende X divisible par Z, le produit y(x) sera lui-même divisible par Z.

Supposons maintenant que l’on désigne par y une fonction entière des diverses racines +, æ,, æ,, ..., et soient

Mars Vin:

les valeurs distinctes que peut prendre y en vertu d’échanges opérés entre les racines dont il s’agit. Alors les termes de la suite

rs V1 V2

seront les diverses racines d’une équation nouvelle, et rien n’empéchera de prendre pour y(æ) le produit de fonctions semblables des divers termes de cette nouvelle suite. Alors aussi on obtiendra encore des propositions analogues à celles que je viens d’énoncer.

Ces diverses propositions, et les conséquences qui s’en déduisent, comprennent, comme cas particuliers, ainsi qu'on le verra dans mon Mémoire, celles qui se rapportent à la théorie des polynômes radicaux, et spécialement celles que renferme un beau Mémoire de M. Kummer, présenté à l’Académie par notre confrère M. Liouville, dans une des précédentes séances.

Parmi les théorèmes auxquels je suis parvenu, et qui sont relatifs à la théorie des équations binômes, je citerai les suivants :

Soient z un nombre premier impair, / un nombre entier quelconque, et g, . deux facteurs entiers dont le produit soit égal à n— 1, en sorte qu’on ait

n—1—=gh.

OEuvres de C. — S.\,t. X. 33

Soient, de plus, o une racine primitive de l’équation

ee | 21,

r une racine primitive de l’équivalence

(2) aM= 1 (mod. 7),

et s une racine primitive de l’équivalence

(3) dal = 1] (mod. »).

Enfin, supposons qu'après avoir partagé les racines imaginaires de l'équation (1) en À périodes, dont chacune comprenne g racines

diverses, on nomme Pos x Pis rit Ph-1

les À sommes dont chacune est formée avec les racines comprises dans une même période, en sorte qu’on ait

(4) Gi ps' mn EE à at RAT pee it et posons (5) ALT (æ — ps) (æ sus te Ë Ce ER FR ee à

Si l’on représente par f(2) le polynôme radical et du degré x — 1, auquel on peut réduire une fonction entière des sommes

Pos ‘Pis +++s Ph-1 la différence f(x) — f(p)

sera divisible algébriquement par la fonction X,, et la différence f(æ) — f(p") par la fonction X;,.

De plus, si l’on représente par 7, ce que devient p, quand on remplace » par r dans le second membre de la formule (2), les divers termes de la suite