ET DES SUITES INFINIES

L'ouvrage, dont on donne ici la traduction, a été commencé en 1664, et achevé en 1671 a. Newton, encore peu connu dans ce temps, voulait le faire imprimer à la suite d'une introduction à l'algèbre d'un certain Kinckhuysen, qu'il avait corrigée et augmentée : on ne voit pas pourquoi ce livre ne fut pas imprimé ; on voit seulement que dans la même année Newton changea d'avis, et prit le dessein de le publier avec son Optique, dont il avait déjà composé la plus grande partie ; mais les objections et les chicanes qu'on lui fit sur ses principes et sur ses expériences d'optique, le chagrinèrent et l'empêchèrent de donner au public ces deux ouvrages. Yoici ce qu'il en dit lui-même : Et subortœ statim [per diversorum Epistolas objectionibus refertas) crebrœ intcrpellationes me prorsus à concilio deterruerunt et effeccrunt ut me arguèrent imprudentiœ quod umbram caplando , eatenus perdideram quietem meam, rem prorsus substantialem. Il semble même qu'il ait entièrement oublié son ouvrage jusqu'en 1704, qu'il en a tiré son Traité des quadratures . Plusieurs années après, M. Pemberton6 obtint son consentement pour faire imprimer l'ouvrage entier : on ne sait encore pourquoi cela a manqué; enfin l'auteur est mort avant que le livre ait paru, et encore il n'a paru que traduit. Newton l'a composé en latin; M. Colson, entre les mains de qui le manuscrit a été remis, n'a pas voulu le donner en original, il l'a traduit, et en 1736 il l'a fait imprimer en anglais afin, dit-il, que les Anglais ses compatriotes pussent jouir des travaux du grand Newton avant les autres nations. Il ajoute une raison qui

a. Voyez le Com. Epistolicum, pag. 101, 102, etc. Newloni Princip. 3a. éd. pag. 246

b. Voyez A Wiew of sir Isaac Newton's Philosophy.

1 Cette Préface , publiée en 1740, et celle à la Statique des végétaux, publiée en 1735 (voyez la note de la page 1), furent les premiers écrits de Buffou. On sent, dans ces deux écrits, la force naissante d'un esprit vigoureux qui s'essaie. J'ai cru devoir réunir aux œuvres de Buifon ces deux Préfaces, souvenir précieux de sa laborieuse jeunesse.

me paraît meilleure et plus naturelle : c'est qu'il avait envie de joindre un commentaire et des noies de sa main. Ces notes sont en anglais, et apparemment il a voulu éviter la peine de les mettre en latin.

Quoi qu'il en soit, c'est sur cette version anglaise que j'ai fait ma traduction : elle n'en sera pas plus mauvaise pour cela, car j'ai suivi en tout l'esprit de l'auteur encore plus que le sens littéral. Dans des matières de cette espèce, il suffit d'entendre les choses pour les bien rendre; d'ailleurs la géométrie, et surtout la géométrie de Newton, n'a qu'un style. Je n'ai pas traduit le commentaire de M. Colson; cependant j'en fais cas, et j'avoue qu'il contient plusieurs bonnes choses, mais il faut avouer aussi que ces bonnes choses se trouvent noyées dans une diffusion de calcul qui rebute; que d'ailleurs ce long commentaire n'est qu'un commencement de commentaire, et que l'auteur nous promet une suite bien complète au cas que ce commencement soit bien reçu. Ajoutez à tout cela que ces longues gloses sont suivies de deux grands chapitres qui n'ont aucun rapport avec l'ouvrage ou le commentaire : en voilà plus qu'il n'en faut pour justifier ma répugnance à le traduire.

On n'aura donc ici que Newton tout seul, mais Newton plus clair, plus liaitable et plus à la portée du commun des géomètres qu'il ne l'est dans aucun autre de ses ouvrages. En 1671, dans le temps que ce livre a été composé, il aurait eu besoin de commentaire ; mais la géométrie a fait de grands progrès depuis soixante-dix ans, et je ne crois pas que les géomètres soient arrêtés à la lecture de cet ouvrage, qui a toute la clarté et toute l'étendue nécessaires pour être facilement entendu, dont les principaux articles ont déjà été commentés", et qui d'ailleurs ne contient guère de choses entièrement nouvelles et dont on ne sache au moins les résultats, tant par les morceaux que Newton lui-même nous a donnés en 170i, 1711, etc., que par les différentes pièces et les traités que les autres géomètres ont publiés sur ces matières.

On sera bien aise de voir, en un seul petit volume, le calcul différentiel et le calcul intégral avec toutes leurs applications. On reconnaîtra , à la manière dont les sujets sont traités, la main du grand maître et le génie de l'inventeur, et on demeurera convaincu que Newton seul est l'auteur de ces merveilleux calculs, comme il l'est aussi de bien d'autres productions tout aussi merveilleuses.

Tout le monde sait que Leibnitza voulu partager la gloire de l'invention, et bien des gens lui donnent encore au moins le titre de second inventeur. Il a publié en 1684 les règles du calcul différentiel, et il a été comblé d'éloges par de très-grands géomètres qui, non contents de lui avoir rendu ces brillants hommages, travaillaient encore pour lui et ajoutaient à sa

a. Voyez les ouvrages de MM. Stirling, Maelauvin.

réputation en lui attribuant leurs propres découvertes. D'un autre côté Newton se soutenait par la masse de ses ouvrages, et semblait se reposer sur la supériorité qu'il se sentait: il se passa plusieurs années sans aucune plainte de sa part, sans qu'il revendiquât cette découverte; mais enfin il y eut procès, procès où les nations entières se sont intéressées, procès qui n'est pas encore terminé, ou du moins qui a été suivi jusqu'à ce jour de chicanes, et qui peut-être est la source de la plupart des querelles qu'on a faites au calcul infinitésimal. On ne sera pas fâché de voir ici une relation abrégée de celte époque littéraire, et par occasion les principaux faits de l'histoire de la géométrie et du calcul de l'infini.

Dès les premiers pas qu'on fait en géométrie, on trouve l'infini, et dès les temps les plus reculés les géomètres l'ont entrevu : la quadrature de la parabole et le traité de Numéro Arenœ d'Archimède prouvent que ce grand homme avait des idées de l'infini, et même des idées telles qu'on les doit avoir; on a étendu ces idées, on les a maniées de différentes façons, enfin on a trouvé l'art d'y appliquer le calcul ; mais le fond de la métaphysique de l'infini n'a point changé, et ce n'est que dans ces derniers temps que quelques géomètres nous ont donné sur l'infini des vues différentes de celles des anciens, et si éloignées de la nature des choses, qu'on les a méconnues jusque dans les ouvrages de ces grands hommes; et de là sont venues toutes les oppositions, toutes les contradictions qu'on a fait et qu'on fait encore souffrir au calcul infinitésimal; de là sont venues les disputes entre les géomètres sur la façon de prendre ce calcul, et sur les principes dont il dérive; on a été étonné des prodiges que ce calcul opérait, cet étonnement a été suivi de confusion; on a cru que l'infini produisait toutes ces merveilles; on s'est imaginé que la connaissance de cet infini avait été refusée à tous les siècles et réservée pour le nôtre; enfin on a bâti sur cela des systèmes qui n'ont servi qu'à embrouiller les faits et obscurcir les idées. Avant que d'aller plus loin, disons donc deux mots de la nature de cet infini, qui en éclairant les hommes semble les avoir éblouis.

Nous avons des idées nettes de la grandeur; nous voyons que les choses en général peuvent être augmentées ou diminuées, et l'idée d'une chose devenue plus grande ou plus petite est une idée qui nous est aussi présente et aussi familière que celle de la chose même; une chose quelconque nous étant donc présentée ou étant seulement imaginée, nous voyons qu'il est possible de l'augmenter ou de la diminuer; rien n'arrête, rien ne détruit celle possibilité, on peut toujours concevoir la moitié de la plus petite chose imaginable, et le double de la plus grande chose; on peut même concevoir qu'elle peut devenir cent fois, mille fois, cent mille fois plus petite ou plus grande ; et c'est cette possibilité d'augmentation ou de diminution sans bornes en quoi consiste la véritable idée qu'on doit avoir de l'infini : celte idée nous vient de l'idée du fini; une chosa finie est une chose qui a des

termes, des bornes; une chose infinie n'est que cette même chose finie à laquelle nous ôtons ces termes et ces bornes; ainsi l'idée de l'infini n'est qu'une idée de privation, et n'a point d'objet réel. Ce n'est pas ici le lieu de faire voir que l'espace, le temps, la durée, ne sont pas des infinis réels; il nous suffira de prouver qu'il n'y a point de nombre actuellement infini ou infiniment petit, ou plus grand ou plus petit qu'un infini, etc. l.

Le nombre n'est qu'un assemblage d'unités de même espèce; l'unité n'est point un nombre, l'unité désigne une seule chose en général; mais le premier nombre 2 marque non-seulement deux choses, mais encore deux choses semblables, deux choses de même espèce : il en est de même de tous les autres nombres; mais ces nombres ne sont que des représentations, et n'existent jamais indépendamment des choses qu'ils représentent ; les caractères qui les désignent ne leur donnent point de réalité, il leur faut un sujet, ou plutôt, un assemblage de sujets à représenter pour que leur existence soit possible; j'entends leur existence intelligible, car ils n'en peuvent avoir de réelle; or, un assemblage d'unités ou de sujets ne peut jamais être que fini, c'est-à-dire on pourra toujours assigner les parties dont il est composé, par conséquent le nombre ne peut être infini, quelque augmentation qu'on lui donne.

Mais, dira-t-on, le dernier terme de la suite naturelle 1, 2, 3, 4, etc., n'est-il pas infini? n'y a-t-il pas des derniers termes d'autres suites encore plus infinis que le dernier terme de la suite naturelle? Il paraît que les nombres doivent à la fin devenir infinis, puisqu'ils sont toujours susceptibles d'augmentation ; à cela je réponds que cette augmentation , dont ils sont susceptibles, prouve évidemment qu'ils ne peuvent être infinis; je dis de plus que dans ces suites il n'y a point de derniers termes, que même leur supposer un dernier terme, c'est détruire l'essence de la suite qui consiste dans la succession des termes qui peuvent être suivis d'autres termes, et ces autres termes encore d'autres, mais qui tous sont de même nature que les précédents, c'est-à-dire tous finis, tous composés d'unités: ainsi lorsqu'on suppose qu'une suite a un dernier terme, et que ce dernier terme est un nombre infini, on va contre la définition du nombre et contre la loi générale des suites.

La plupart de nos erreurs en métaphysique viennent de la réalité que nous donnons aux idées de privation; nous connaissons le uni, nous y voyons des propriétés réelles, nous l'en dépouillons, et en le considérant après ce dépouillement, nous ne le reconnaissons plus, et nous croyons avoir créé un être nouveau, tandis que nous n'avons fait que détruire quelque partie de celui qui nous était anciennement connu.

On ne doit donc considérer l'infini , soit en petit, soit en grand , que

1. RnfTon a reproduit plus tard, et dans plus d'une occasion, quelques-unes de ces idées sur {'infini. (Voyez notamment le t. Ier, p. 439 et suiv.)

iii PRÉFACE A LA MÉTHODE DES FLUXIONS.

comme une privation, un retranchement à l'idée du fini, dont on peut z. servir comme d'une supposition qui dans quelques cas peut aider à simplifier les idées, et doit généraliser leurs résultats dans la pratique des sciences : ainsi tout l'art se réduit à tirer parti de cette supposition, en tâchant de l'appliquer aux sujets que l'on considère. Tout le mérite est donc dans l'application , en un mot dans l'emploi qu'on en fait.

Avant que Descartes eût appliqué l'algèbre à la géométrie, les principes et la métaphysique de la géométrie étaient bien connus et bien certains; cependant cette application a beaucoup augmenté nos connaissances géométriques, et s'est étendue sur toutes les opérations de cette science; de même l'infini était connu, et la métaphysique de l'infini était familière aux anciens; mais l'application qu'on a faite de nos jours du calcul à cet infini, nous a mis au-dessus d'eux et nous a valu toutes les nouvelles découvertes.

Archimède, Apollonius, Yiviani , Grégoire de Saint-Yincent , ont connu l'infini; leurs méthodes d'approximation etd'exhaustion en sont tirées, et ils s'en sont servis pour carrer et rectifier quelques courbes; mais ces connaissances de l'infini, dénuées de calcul, n'ont produit que des méthodes particulières, souvent embarrassées et toujours confinées à quelques cas assez simples; la généralité était réservée au calcul, il embrasse tout, il donne tout : aussi la géométrie qui a précédé le calcul est-elle devenue moins nécessaire, et peut-être aussi a-t-elle été un peu trop négligée.

Les anciens géomètres ont considéré les courbes comme des polygones composés de côtés infiniment petits; ils ont inscrit et circonscrit autour des courbes des figures composées de parties finies et connues dont ils ont augmenté le nombre et diminué la grandeur à l'infini; et par là ils sont venus à bout de mesurer quelques courbes; Cavalieri et, vingt ans après, Fermai et Wallis ont été les premiers qui aient appliqué quelques idées de calcul à cette géométrie de l'infini; leurs méthodes de sommer sont des germes de calcul, et les premiers germes de cette espèce qui' se soient développés.

Cavalieri cependant n'avait pas pris la vraie roule; il avait des idées a qui réduites en calcul réel auraient fructifié, mais il n'en put tirer que des choses déjà connues : il considère la ligne comme une partie indivisible de la surface, la surface comme une partie indivisible du solide, et il cherche la mesure des surfaces et des solides par des sommes infinies de lignes et de surfaces; les résultats de sa méthode sont bons, sa méthode est même générale, et cependant avec cet avantage il ne va pas au delà des anciens: il ne donne rien de nouveau, et lui-même paraît borner le mérite de son ouvrage à l'accord parfait des conséquences de sa méthode avec les vérités de la géométrie ancienne.

a. Geum. Indivisibil. ; Bonon., 1035.

Fermât Releva bien au-dessus de Cavalieri ; il trouva moyen de calculer l'infini, eldonna une méthode excellente pour la résolution des plus grands et des moindres : cette méthode est la même, à la notation près, que celle dont on se sert encore aujourd'hui; enfin cette méthode était le calcul différentiel , si son auteur l'eût généralisée.

Mais Wallis prit un autre chemin; il appliqua réellement l'arithmétique aux idées de l'infini; il réduisit en suites infinies les fractions composées; il se servit même assez heureusement de ses suites arithmétiques pour la quadrature et la rectification des courbes; cependant il marchait en tâtonnant; et, faute d'un calcul assez puissant et assez général, il employait les combinaisons, les affections particulières et individuelles des nombres, etc. Brownker et Mercator profitèrent des vues de Wallis ; ils étendirent sa méthode, et on peut dire qu'ils furent les premiers qui osèrent s'avancer dans cette route et frayer la bonne voie : Brownker carra l'hyperbole par une suite infinie toute composée de termes finis et connus, et Mercator en donna la démonstration par la division infinie à la manière de Wallis; Jacques Grégory donna, presque aussitôt que Mercator, une démonstration de cette même quadrature de l'hyperbole, et c'est proprement là l'époque de la naissance des nouveaux calculs; il est même étonnant que ces géomètres ne se soient pas élevés jusqu'à la méthode générale des suites après avoir trouvé la suite particulière de l'hyperbole; il paraît qu'un moment de réflexion aurait au moins dû leur donner par une même méthode la quadrature de l'ellipse et du cercle; cependant ils ne l'ont pas trouvée, et même on ne voit pas qu'ils aient fait d'autre usage de celte théorie des suites infinies que celui de carrer l'hyperbole; mais il est vrai que Newton ne leur en donna pas le temps : au mois de juin 1669, toutes ces méthodes furent envoyées à Barrow comme des nouveautés brillantes; il les communiqua à Newton, pour qui elles n'eurent pas le même mérite; car il remit entre les mains de Barrow des papiers qui contenaient : 1° la méthode générale des suites qu'il avait trouvée quelques années auparavant, méthode par laquelle il fait sur toutes les courbes ce que les autres n'avaient fait que sur l'hyperbole; 2° la résolution numérique et littérale des équations affectées; 3° la méthode des fluxions; 4° la méthode inverse des tangentes, la quadrature, la rectification des courbes, et un mot sur la mesure des solides, sur l'invention des centres de gravité, etc., savoir que comme ces mesures se réduisent à celles des surfaces , il n'est pas nécessaire qu'il avertisse que sa méthode donne tout cela. Ainsi dès 1669, Newton avait trouvé les suites infinies, le calcul différentiel et le calcul intégral: tout cela fut envoyé par Barrow à Collins qui en tira copie et le communiqua à Brownker et à Oldembourg ; celui-ci l'envoya à Slusius; de plus Collins l'avait encore envoyé par lettres à Jacques Grégory, à Bertet, à Borelli , à Vernon, à Strode, et à plusieurs autres géomètres; ces lettres sont impii-