XII

mées dans le Commercium epistolicum, et c'est dans ces lettres qu'on voit que Newton avait trouvé toutes ces choses, même avant que Brownker eût carré l'hyperbole, c'est-à-dire dès l'année 1664, ou 1665; c'est dans ces lettres que Ton voit aussi que Newton voulait faire imprimer, dès l'année 1671, l'ouvrage dont nous donnons ici la traduction.

De plus en 1672, Newton, dans une lettre écrite à Collins, lui envoie un exemple de sa méthode des tangentes, comme un corollaire, dit-il, d'une méthode générale, qu'aucune complication de calcul n'arrête, et qui s'étend non-seulement aux courbes géométriques, mais même aux courbes mécaniques, et qui, outre la solution complète de la question des tangentes, donne encore celle de plusieurs problèmes beaucoup plus difficiles, comme des courbures des courbes, de leurs aires, de leurs longueurs, de leurs centres de gravité : J'ai, dit-il, joint cette méthode à une autre qui donne la résolution des équations par des suites infinies, etc. On voit bien que ces deux méthodes sont la méthode directe et inverse des fluxions, et celle des suites infinies telles qu'elles sont dans ce Traité, fait en 1671. Tschirnhaus, au mois de mai 1675, Leibnitz, au mois de juin 1676, et Slusius, dès le 29 janvier 1673, avaient reçu des copies de cette lettre: c'était même à l'occasion de la méthode des tangentes de Slusius que Newton l'avait écrite; il loue beaucoup l'invention de Slusius, qui en effet avait trouvé sa méthode avant que d'avoir vu celle de Newton, et il l'avait envoyée, le 17 janvier 1673, à Oldembourg. Wallis, Mercator, Brownker, Grégory, Barrow, Slusius étaient alors les seuls qui eussent pénétré les mystères des nouveaux calculs; Leibnitz ne travaillait pas encore sur ces matières, car dans une de ses lettres à Oldembourg du 3 février 1672, il donne une manière de sommer des suites de nombres comme une invention qu'il estimait, et cette invention était une méthode que Mouton avait autrefois donnée; et, sur la remarque que Pell lui en fit faire, il dit qu'il va montrer qu'il n'est pas assez dénué de méditations qui lui soient propres pour être obligé d'en emprunter; il répète plusieurs fois qu'il va donner quelque chose qui empêchera qu'on ne le prenne pour un copiste, et cette grande chose est une propriété des nombres figurés qu'il dit avoir trouvée le premier, et qu'il est étonné que Pascal n'ait pas observée; mais il se trompe, comme le remarque le Corn, epist. Car Pascal, dans ce traité appelé le Triangle arithmétique imprimé à Paris en 1665, donne la prétendue découverte de Leibnitz dès la deuxième page dans la définition antépénultième : outre cette lettre de Leibnilz qui roule toute sur des bagatelles d'arithmétique, il y en a encore cinq autres dans le même goût, la première datée de Londres le 20 février, les autres de Paris, 30 mars, 26 avril, 24 mai, et 8 juin 1673. Jusque-là Leibnitz, dit le Commercium epistolicum, ne se mêlait que d'arithmétique, mais l'année suivante il se tourna du côté de la géométrie; et dans une lettre qu'il écrivit à Oldembourg le 15 juillet 1674, il dit qu'il a

des choses d'une grande importance, et surtout un théorème admirable par lequel l'aire d'un cercle ou d'un secteur peut être exprimée exactement par une suite de nombres rationnels; il ajoute qu'il a des méthodes analytiques générales et fort étendues, qu'il estime plus que les plus beaux théorèmes particuliers; dans une seconde lettre à Oldembourg datée du

26 octobre même année, Leibnitz dit : Vous savez que mylord Brownker et M. Mercator ont donné une suite infinie de nombres rationnels égale à l'espace hyperbolique ; mais personne n'a pu encore le faire dans le cercle : le Corn, epist. remarque que quatre ans auparavant Gollins avait communiqué à tout le monde les suites infinies de Newton, et un an après, celle de Grégory, et que Leibnitz ne donna les siennes qu'après avoir vu celles-là ; tout cela est prouvé plus au long dans le Commercium epistolicum, où l'on voit clairement par les lettres de Leibnitz et les réponses à ces lettres, qu'il a eu connaissance de la théorie générale des suites avant que d'avoir donné sa suite pour le cercle, et que Newton lui-même la lui avait envoyée par la voie d'Ohlembourg. Il paraît même que Leibnitz, qui dans ce temps se disait auteur de ce théorème, n'en avait pas la démonstration, puisqu'il la demande à Ohlembourg par une lettre du 12 mai 1G76. Il paraît encore, par une lettre de Newton datée du 13 juin 1676, que dans ce temps il a communiqué directement à Leibnitz son binôme avec plusieurs exemples d'extractions de racines, plusieurs suites infinies pour le cercle, l'ellipse, l'hyperbole, la quadratrice, etc. Et par une autre lettre de Newton du 24 octobre

1676, il paraît qu'il a communiqué à Leibnitz : 1° tout le procédé des suites, et la façon dont il est arrivé à cette découverte ; 2° une manière de faire des logarithmes par les aires hyperboliques; 3° la quadrature des courbes en entier, avec plusieurs exemples; 4° son parallélogramme, autrement l'artifice dont il se sert pour la résolution des équations affectées; 5° le retour des suites. Jusque-là Leibnitz avait toujours reçu et n'avait rendu que les mêmes suites qu'on lui avait envoyées; il paraît même qu'il ignorait jusqu'alors le calcul infinitésimal parce qu'il dit, dans une lettre du

27 août 1676, que les problèmes de la méthode inverse des tangentes ne dépendent ni des équations, ni des quadratures. Enfin en 1677, dans une lettre à Oldembourg, il donne une métbode pour les tangentes par le calcul différentiel : cette méthode est la même que celle de Barrow publiée en 1670 , et le calcul est le même, à la notation près, que celui de Newton communiqué par Collins en 1669. Oldembourg mourut à la fin de l'année

1677, et sa mort termina ce commerce de lettres. Collins mourut en 1682, et la même année Leibnitz publia dans les Actes de Leipsick la quadrature du cercle et de l'hyperbole ; et, en 168 i, les éléments du calcul différentiel; et enfin Newton, en 1686, publia son livre des Principes.

Voilà en raccourci l'histoire de ce calcul : c'est au lecteur à juger de la part à celte découverte qu'on doit accorder à Leibnitz.

Cependant Newton, loin de se plaindre, semblait convenir que Leibnitz avait trouvé une méthode de calcul semblable à la sienne : bien des années s'écoulèrent sans qu'il se souciât de détromper le public; tout le monde savant , à l'exception de l'Angleterre, regardait Leibnitz comme l'inventeur; à peine le livre des Principes de Newton était-il connu, toutes les vues, tous les travaux des géomètres se tournèrent du côté du calcul différentiel, tous les éloges furent pour l'auteur prétendu de ce calcul ; enfin Leibnitz était en possession, et en possession non contestée, de tout ce que la géométrie avait produit de plus brillant depuis vingt siècles; mais cet éclat de gloire n'a pas duré; des partisans trop zélés et des disciples éblouis, en voulant élever leur maître, ont été cause de l'abaissement de sa réputation. En 1695, les ouvrages de Wallis parurent en deux gros volumes; les journalistes de Leipsick se plaignirent assez mal à propos de ce que ce géomètre n'avait pas parlé de Leibnitz, et de sa grande découverte autant qu'il aurait dû le faire: sur cela Wallis écrivit à Leibnitz qu'il était bien fâché de n'avoir pu parler de lui, mais qu'il n'avait aucune connaissance de ses découvertes , sinon de sa suite du cercle et de sa voûte carrable; qu'il n'avait jamais vu sa géométrie des Incomparables, ou son analyse des infinis, ni son calcul différentiel; que seulement il avait ouï dire que ce calcul était tout à fait semblable à la méthode des fluxions; Leibnitz lui répondit que son calcul était différent de celui de Newton, Wallis lui récrivit pour le prier de lui marquer la différence, maisLcibnilz ne répondit rien.

En 1699, M. Eatio de Duilliers publia une dissertation sur la ligne de la plus courte descente, etc., et en parlant du calcul infinitésimal, il dit que Newton en est le premier et de plusieurs années le premier inventeur, que l'évidence de la chose l'oblige d'avouer ce fait , et qu'il laisse à ceux qui ont vu les lettres et les manuscrits de Newton à juger ce que Leibnitz , le second inventeur de ce calcul , a emprunté de Newton : à cela Leibnitz répondit, dans les Actes de Leipsick, qu'il n'avait aucune connaissance des découvertes de Newton , lorsqu'il publia son calcul différentiel en 1684. Cependant on a vu ci-dessus, par l'extrait des lettres de Collins et de Newton, qu'il avait eu copie de la méthode des suites, de celle des fluxions, et de tout ce que Newton avait fait en ce genre : aussi les journalistes de Leipsick refusèrent d'imprimer la réponse de M. Falio, qui sans doute contenait la preuve de tous ces faits; mais ces mêmes journalistes, lorsque parurent les traités de Newton sur le nombre des courbes du second genre et sur les quadratures, ces journalistes, dis-je, firent des extraits où ils rabaissèrent autant qu'ils purent la gloire de Newton ; ils dirent, à l'égard des courbes du second genre, que Tschirnhaus avait été plus loin que Newton, et à l'égard des quadratures ils publièrent que Leibnitz était l'inventeur du calcul différentiel, calcul nécessaire pour trouver les quadratures; qu'au lieu des différences de Leibnitz, Newton employait et avait toujours employé les

fluxions, comme Fabri avait autrefois substitué à la méthode de Cavalieri la progression des mouvements, etc. Keill, piqué de cette injuste comparaison et du peu de respect de ces journalistes pour Newton, imprima en 1708, dans les Transactions Philosophiques , une lettre où il dit, qu'il est clair que Newton est le premier inventeur de la méthode des fluxions, et cependant que Leibnitz, après avoir changé le nom et la notation de celte méthode des fluxions de Newton, l'a publiée comme la sienne dans les Actes de Leipsick. En 1711, Leibnitz se plaignit et cria à la calomnie contre Keill; il écrivit à M. Hans Sloane alors secrétaire , et maintenant président de la Société royale, pour demander justice à cette compagnie, exigeant en même temps un désavœu de Keill , et une reconnaissance qu'il n'avait emprunté de personne son calcul différentiel : Keill se défendit par les preuves et par Les lettres dont nous venons de donner les extraits, et soutint que Leibnitz n'était que le second inventeur, et que même il était très-vraisemblable, pour ne pas dire avéré, qu'il avait pris de Newton les principes et le fond de son calcul différentiel, et qu'il ne lui en appartenait en propre que la notation et le nom. Sur cela, Leibnitz répondit que Keill était un homme trop nouveau pour savoir ce qui s'était passé auparavant, et continua de demander justice à la Société royale; on nomma plusieurs commissaires de toutes les nations, on fouilla les archives, les lettres, les papiers manuscrits; et les commissaires firent leur rapport contre Leibnitz en faveur de Keill, ou plutôt de Newton; la Société royale fit imprimer ce rapport avec l'extrait de toutes les pièces du procès, sous le titre de Commercium epistolicum, et ne voulant pas juger, s'est contentée de laisser juger le public; c'est des pièces même du procès d'où nous avons tiré la plus grande partie des faits que nous avons cités: Leibnitz se plaignit verbalement à ses amis, cria beaucoup par lettres, mais il n'écrivit rien contre ce qui venait de se passer, rien du moins qu'on puisse citer; il ne parut qu'une feuille volante, sans nom d'auteur, datée du 7 juillet 1713, sous le titre de Jugement d'un Mathématicien du premier ordre, etc. Dans ce jugement, on convient que Newton a le premier trouvé les suites; mais on dit que dans ce temps où il a trouvé les suites, il n'avait pas encore même songé à son calcul des fluxions, parce que, dans toutes ses lettres citées dans le Corn, epist. non plus que dans son livre des Principes, on ne voit pas le moindre vestige des lettres ponctuées

x , x, x, etc., dont il s'est servi ensuite, et qui ont paru pour la première fois dans le livre de Wallis, c'est-à-dire plusieurs années après le calcul différentiel de Leibnitz; et que par conséquent le calcul des fluxions était postérieur au calcul différentiel. Ce jugement porte aussi que Newton n'avait connu la méthode des secondes différences que longtemps après les autres. Tout cela n'avait pas besoin de réfutation et tombait de soi-même ; cependant on répondit que la notation ne faisait point la méthode, que Newton,

pour marquer les fluxions, se servait tantôt de lettres ponctuées x, y, z.elc. tantôt de lettres majuscules X, Y, Z, etc., tantôt d'autres lettres p, q, r, etc., tantôt de lignes; que Leibnilz, au contraire, n'avait jamais désigné les fluxions, et qu'il n'avait point de caractère pour cela; caries dx, dy, dz, etc., ne marquent que les différences, c'est-à-dire les moments que Newton marque par ox, oy, oz, etc., c'est-à-dire par le rectangle formé du moment o, et de la fluxion; que la méthode des secondes, troisièmes et quatrièmes différences est donnée en général dans la première proposition du traite': des quadratures communiqué à Leibnitz dès l'année 1675, que Wallis avait appliqué cette règle à des exemples de secondes différences en 1693, trois ans avant que Leibnitz eût publié la manière de différentier les différentielles, et qu'il était évident que Newton l'avait trouvée dès 1666, dans le même temps qu'il a trouvé le calcul des suites et des fluxions, etc.

Nous n'avons pris que les points principaux de cette petite histoire de la découverte du calcul infinitésimal, nous n'avons donné que le gros de la querelle entre Leibnitz et Newton; car il y eut des hostilités particulières, des défis, des problèmes proposés de la part de Leibnitz et de ses adhérents. Newton, sans s'émouvoir, résolut les problèmes et ne chercha point à se venger; la seule chose qu'on pourrait lui reprocher, c'est d'avoir laissé retrancher de la dernière édition de son livre des Principes, faite à Londres en 1726, l'article qui concernait Leibnitz; et il faut convenir que l'on a fort mal fait, même pour la gloire de l'auteur, qui dans cet article donne des louanges à Leibnilz, mais en même temps s'attribue la première invention de ce calcul. J'ai autrefois, dit-il , communiqué par lettres, au très-habile géomètre M. Leibnitz , ma méthode ; il m'a répondu qu'il avait une méthode semblable, et qui ne diffère presque point du tout de la mienne, etc. Pourquoi supprimer cet article, puisqu'on l'avait laissé subsister dans la seconde édition en 1713, c'est-à-dire dans le temps de la chaleur de la contestation? D'ailleurs, qu'en pouvait-on craindre après l'impression du Com. epist.? Nous observerons, en passant, que ce n'est pas la seule chose qu'on ait changée mal à propos dans cette édition de 1726, à laquelle Newton n'a survécu que quelques mois, et peut-être l'éditeur a eu plus de part que lui à ces changements.

Tandis que Leibnilz cherchait querelle1 à l'inventeur du calcul, d'autres géomètres cherchaient querelle au calcul même : Rolle, Ceva et quelques

1. Le lecteur sera peut-être bien aise de trouver, à côté du jugement du jeune Buffon sur cette fameuse querelle, le jugement du vieux Fontenelle : « Nous avons fait l'histoire de cette « grande contestation dans l'éloge de M. Leibnitz; et, quoique ce fût l'éloge de M. Leibnitz, ■•' nous y avons si exactement gardé la neutralité d'historien que nous n'avons présentement <; rien à dire de nouveau pour M. Newton. Nous avons marqué expressément que M. Newton « était certainement inventeur, que sa gloire était en sûreté et qu'il n'était question que de ;< savoir si M. Leibnitz avait pris de lui cette idée. Toute l'Angleterre en est convaincue ,

autres prétendirent qu'il était erroné, et ne voulurent pas le recevoir; d'autres, comme Neuwentyt, ne voulurent admettre que les premières différences, et rejetèrent les secondes, troisièmes, etc. Tout cela venait du peu de lumière que Leibnilz avait répandu sur cette matière; il chancela luimême à la vue des difficultés qu'on lui fit, et il réduisit ses infinis à des incomparables, ce qui ruinait l'exactitude de la méthode. MM. Bernoulli, de l'Hôpital, Taylor et plusieurs autres géomètres éclaircireut ces difficultés, défendirent le calcul, et le firent triompher à force de le présenter.

On était tranquille depuis plusieurs années , lorsque dans le sein même de l'Angleterre, il s'est élevé un Docteur ennemi de la science qui a déclaré la guerre aux mathématiciens : ce Docteur monte en chaire pour apprendre aux fidèles que la géométrie est contraire à la religion; il leur dit d'être en garde contre les géomètres; ce sont, selon lui, des gens aveugles et indociles qui ne savent ni raisonner ni croire ; des visionnaires qui se refusent aux choses simples et qui donnent tête baissée dans les merveilles. Selon lui, le calcul de l'infini est un mystère plus grand que tous les mystères de la religion ; il les compare ensemble comme choses de même genre, et il nous dit en même temps que le calcul de l'infini est erroné, fautif, obscur, que les principes n'en sont pas certains, et que ce n'est que par hasard quand il mène au but.

Voilà un plan d'ouvrage bien bizarre, et un assortiment d'objets bien singulier; j'ai recherché, en lisant attentivement son livre, les motifs qui ont pu le pousser à faire cette insulte aux mathématiciens, et j'ai reconnu que ce n'est pas le zèle, mais la vanité qui a conduit sa plume : ce Docteur a l'esprit peu fait pour les mathématiques; car il entasse paralogismes sur paralogismes lorsqu'il veut réfuter les méthodes des géomètres; mais avec cet esprit si peu géomètre il ne laisse pas que d'avoir quelques vues métaphysiques, et une dialectique assez vive; il sent apparemment toute la valeur de ces talents, et il s'efforce de rendre méprisable tout ce qui n'est pas métaphysique : je lui avouerai que la métaphysique est la philosophie première, qu'elle est la vraie science intellectuelle; mais il faut en même temps qu'il m'accorde que c'est la science la plus trompeuse dans les applications qu'on en fait, et la plus difficile à suivre sans s'égarer; on peut dire que son ouvrage est un exemple de cette vérité, puisque avec sa métaphysique il commet des erreurs très-grossières et fait des raisonnements trèsfaux; je doute qu'il en convienne, mais au moins tout le monde conviendra

« quoique la Société royale ne l'ait pas prononcé dans son jugement, et l'ait tout au plus insi- « nué. M. Newton est constamment le premier inventeur, et de plusieurs années le premier. « M. Leibnitz, de son côté, est le premier qui ait publié ce calcul; et, s'il l'avait pris de « M. Newton , il ressemblait du moins au Prométhée de la fable , qui déroba le feu aux dieux « pour en faire part aux hommes. » (Éloge de Newton.) —Voyez encore, sur cette grande con test a lion : Montucla ( Hist. des mathém), et M. Biot [Journal de savants, cette année même, 1835).

pour lui, en lisant ses ouvrages a, que sa fausse métaphysique l'a conduit à une mauvaise morale, et qu'à force de bien penser de lui-même, il est venu à fort mal penser des autres hommes.

Ce qui a donné de la célébrité à ces écrits contre les mathématiques et les mathématiciens sont les réponses d'un savant qui sous le nom de Philalelhes Cantabrigiensis a réfuté * le Docteur de la manière du monde la plus solide et la plus brillante, dans deux disserlations c qui sont admirables par la force de raison et la finesse de raillerie qu'on y trouve partout : je ne sais pas comment le Docteur pense à présent, car il y a de quoi humilier la plus orgueilleuse métaphysique; il n'a pas répondu à la dernière dissertation qui pulvérisait son ouvrage; mais de ses cendres il est sorti un phénix, un homme unique, un homme au-dessus de Newton, ou du moins qui voudrait qu'on le crût tel, car il commence d par le censurer et par désapprouver sa manière trop brève de présenter les choses ; ensuite il donne des explications de sa façon, et ne craint pas de substituer ses notions incomplètes e aux démonstrations de ce grand homme. Il avoue que la géométrie de l'infini est une science certaine, fondée sur des principes d'une vérité sûre, mais enveloppée, et qui, selon lui, n'a jamais été bien connue; Newton n'a pas bien lu les anciens géomètres; son lemme de la méthode des fluxions est obscur et mal exprimé, sa démonstration est hypothétique; ainsi on avait très-grande raison de ne rien croire de tout cela; ainsi M. Berckey, le Docteur, n'avait point tort lorsqu'il disait que les mathématiciens croyaient les choses sans les entendre; notre auteur M. Robins est venu au monde exprès pour le démontrer, il fait voir que Newton n'a pas les idées nettes ni les expressions claires, et que toute la théorie des fluxions avait besoin d'un commentateur qui fût capable nonseulement de corriger les fautes de la parole, mais de réformer les défauts de la pensée : malheureusement, les mathématiciens ont été plus incrédules que jamais; il n'y a pas eu moyen de leur faire croire un seul mol de tout cela, de sorte que Philalelhes, comme défenseur de la vérité, s'est chargé de lui signifier qu'on n'en croyait rien, qu'on entendait fort bien Newton sans Robins, que les pensées et les expressions de ce grand philosophe sont justes et très-claires, et qu'elles n'ont besoin pour être comprises que d'être méditées et suivies; et, chemin faisant, il fait voir que ce sont les idées de M. Robins qui sont obscures, que ce sont ses phrases qui ne signifient rien, et que son style n'est intelligible que lorsqu'il se loue et qu'il blâme les autres; car il est singulier comme ce M. Robins traite les plus

a. The Analyst; London, 1734. A Defence of free-thinking in Mathematiks; Lond., 1735.

b. M. Colson Ta aussi réfuté dans la Préface de la Méthode des Fluxions ; Lond., 1736.

c. Geometry no freind to infiddity; Lond., 1734, The minute Mathemalician; Lond., 1733.

d. A Discourse concerning Nat. and certain! y of Fluxions, by M. Robins; Lond , 1735.

e. State of Leaming, 1735 et 173C.

grands hommes : il ne craint pas de se déshonorer en disant que M. Juiïn est un ignorant aussi hien que M. Smith, deux hommes dont le mérite supérieur est universellement reconnu: je me garderai bien de le juger luimême aussi sévèrement; ceux qui voudront le connaître n'ont qu'à parcourir ses écrits, ce sont des pièces d'une mauvaise critique, assez grossièrement écrite, à laquelle il vient de mettre le comble en attaquant sans aucune considération M. Euler a, et en insultant6 sans aucune raison le grand Bernoulli. Croit-il être le premier qui ait remarqué qu'il a échappé à M. Euler quelques négligences dans son grand ouvrage sur le mouvement? ce sont de petites fautes qu'on doit pardonner, en faveur du très-grand nombre de bonnes choses dont ce livre est rempli : qu'il nous donne quelque chose qui vaille le livre de M. Euler, après quoi nous oublierons ses erreurs, et nous lui pardonnerons ses odieuses critiques.

Nous n'ajouterons qu'un mot à celte préface, déjà trop longue, c'est que quiconque apprendra le calcul de l'infini dans ce traité de Newton, qui en est la vraie source, aura des idées claires de la chose, et fera fort peu de cas de toutes les objections qu'on a faites, ou qu'on pourrait faire contre cette sublime méthode.

a. Remarks on M. Euler's Treatise de Motu, Lond., 1738.

b. That inélégant; ibid. Comjwtist.

-oce4«<ô 7^>£sw>