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les sentiments, mais sur les raisons qui doivent les faire naître, et que tout homme sage ne doit estimer la valeur de ces sentiments de crainte ou d'espérance que par le degré de probabilité ; car, quand même la nature, pour le bonheur de l'homme, lui aurait donné plus de pente vers l'espérance que vers la crainte, il n'en est pas moins vrai que la probabilité ne soit la vraie mesure et de l'une et de l'autre. Ce n'est même que par l'application de cette mesure que l'on peut se détromper sur ses fausses espérances , ou se rassurer sur ses craintes mal fondées.
Avant de terminer cet article, je dois observer qu'il faut prendre garde de se tromper sur ce que j'ai dit des effets dont nous ne connaissons pas la cause, car j'entends seulement les effets dont les causes, quoique ignorées, doivent être supposées constantes, telles que celles des effets naturels : toute nouvelle découverte en physique constatée par treize ou quatorze expériences, qui toutes se confirment, a déjà un degré de certitude égal à celui de la certitude morale, et ce degré de certitude augmente du double à chaque nouvelle expérience; en sorte qu'en les multipliant l'on approche de plus en plus de la certitude physique. Mais il ne faut pas conclure de ce raisonnement que les effets du hasard suivent la même loi ; il est vrai qu'en un sens ces effets sont du nombre de ceux dont nous ignorons les causes immédiates; mais nous savons qu'en général ces causes, bien loin de pouvoir être supposées constantes, sont au contraire nécessairement variables et versatiles autant qu'il est possible. Ainsi, par la notion même du hasard, il est évident qu'il n'y a nulle liaison, nulle dépendance entre ses effets; que par conséquent le passé ne peut influer en rien sur l'avenir, et l'on se tromperait beaucoup et même du tout au tout, si l'on voulait inférer des événements antérieurs quelque raison pour ou contre les événements postérieurs. Qu'une carte, par exemple, ait gagné trois fois de suite, il n'en est pas moins probable qu'elle gagnera une quatrième fois, et l'on peut parier également qu'elle gagnera ou qu'elle perdra, quelque nombre de fois qu'elle ait gagné ou perdu, dès que les lois du jeu sont telles que les hasards y sont égaux1. Présumer ou croire le contraire, comme le font certains joueurs, c'est aller contre le principe même du hasard, ou ne pas se souvenir que par les conventions du jeu il est toujours également réparti.
X. — Dans les effets dont nous voyons les causes, une seule épreuve suffit pour opérer la certitude physique : par exemple, je vois que dans une horloge le poids fait tourner les roues et que les roues font aller le balancier; je suis certain dès lors, sans avoir besoin d'expériences réitérées, que
1. « La théorie des hasards consiste à réduire tous les événements du même genre à un cer- « tain nombre de cas également possibles, c'est-à-dire que nous soyons également indécis sur « leur existence, et à déterminer le nombre de cas favorables à l'événement dont on cherche la « probabilité. » (Laplace, Essai philosoph. sur ksprob.)
le balancier ira toujours de même tant que le poids fera tourner les roues; ceci est une conséquence nécessaire d'un arrangement que nous avons fait nous-mêmes en construisant la machine ; mais lorsque nous voyons un phénomène nouveau, un effet dans la nature encore inconnu , comme nous en ignorons les causes, et qu'elles peuvent être constantes ou variables, permanentes ou intermittentes , naturelles ou accidentelles , nous n'avon? d'autres moyens pour acquérir la certitude que l'expérience réitérée aussi souvent qu'il est nécessaire; ici rien ne dépend de nous, et nous ne connaissons qu'autant que nous expérimentons; nous ne sommes assurés que par l'effet même et par la répétition de l'effet. Dès qu'il sera arrivé treize ou quatorze fois de la même façon , nous avons déjà un degré de probabilité égal à la certitude morale qu'il arrivera de même une quinzième fois, et de ce point nous pouvons bientôt franchir un intervalle immense, et conclure par analogie que cet effet dépend des lois générales de la nature, qu'il est par conséquent aussi ancien que tous les autres effets, et qu'il y a certitude physique qu'il arrivera toujours comme il est toujours arrivé, et qu'il ne lui manquait que d'avoir été observé.
Dans les hasards que nous avons arrangés , balancés et calculés nousmêmes, on ne doit pas dire que nous ignorons les causes des effets : nous ignorons à la vérité la cause immédiate de chaque effet en particulier; mais nous voyons clairement la cause première et générale de tous les effets. J'ignore, par exemple, et je ne peux même imaginer en aucune façon, quelle est la différence des mouvements de la main pour passer ou ne pas passer dix avec trois dés, ce qui néanmoins est la cause immédiate de l'événement , mais je vois évidemment, par le nombre et la marque des dés qui sont ici les causes premières et générales, que les hasards sont absolument égaux, qu'il est indifférent de parier qu'on passera ou qu'on ne passera pas dix ; je vois, de plus, que ces mêmes événements, lorsqu'ils se succèdent, n'ont aucune liaison, puisqu'à chaque coup de dés le hasard est toujours le même, et néanmoins toujours nouveau; que le coup passé ne peut avoir aucune influence sur le coup à venir; que l'on peut toujours parier également pour ou contre, qu'enfin plus longtemps on jouera, plus le nombre des effets pour, et le nombre des effets contre, approcheront de l'égalité. En sorte que chaque expérience donne ici un produit tout opposé à celui des expériences sur les effets naturels, je veux dire la certitude de l'inconstance au lieu de celle de la constance des causes : dans ceux-ci chaque épreuve augmente au double la probabilité du retour de l'effet , c'est-à-dire la certitude de la constance de la cause; dans les effets du hasard chaque épreuve au contraire augmente la certitude de l'inconstance de la cause, en nous démontrant toujours de plus en plus qu'elle est absolument versatile et totalement indifférente à produire l'un ou l'autre de ces effets.
Lorsqu'un jeu de hasard est par sa nature parfaitement égal , le joueur n'a nulle raison pour se déterminer à tel ou tel parti ; car enfin , de l'égalité supposée de ce jeu , il résulte nécessairement qu'tf n'y a point de bonnes raisons pour préférer l'un ou l'autre parti ; et par conséquent si l'on délibérait, l'on ne pourrait être déterminé que par de mauvaises raisons : aussi la logique des joueurs m'a paru tout à fait vicieuse, et même les bons esprits qui se permettent de jouer tombent, en qualité de joueurs, dans des absurdités dont ils rougissent bientôt en qualité d'hommes raisonnables.
XI. — Au reste, tout cela suppose qu'après avoir balancé les hasards et les avoir rendus égaux , comme au jeu de passe-dix avec trois dés , ces mêmes dés qui sont les instruments du hasard soient aussi parfaits qu'il est possible, c'est-à-dire qu'ils soient exactement cubiques, que la matière en soit homogène , que les nombres y soient peints et non marqués en creux pour qu'ils ne pèsent pas plus sur une face que sur l'autre; mais comme il n'est pas donné à l'homme de rien faire de parfait , et qu'il n'y a point de dés travaillés avec cette rigoureuse précision, il est souvent possible de reconnaître par l'observation de quel côté l'imperfection des instruments du sort fait pencher le hasard. Il ne faut pour cela qu'observer attentivement et longtemps la suite des événements, les compter exactement , en comparer les nombres relatifs; et si de ces deux nombres l'un excède de beaucoup l'autre, on en pourra conclure avec grande raison que l'imperfection des instruments du sort détruit la parfaite égalité du hasard, et lui donne réellement une pente plus forte d'un côté que de l'autre. Par exemple, je suppose qu'avant de jouer au passe-dix, l'un des joueurs fût assez fin, ou pour mieux dire assez fripon pour avoir jeté d'avance mille fois les trois dés dont on doit, se servir, et avoir reconnu que dans ces mille épreuves il y en a eu six cents qui ont passé dix , il aura dès lors un trèsgrand avantage contre son adversaire en pariant de passer, puisque par l'expérience la probabilité de passer dix avec ces mêmes dés sera à la probabilité de ne pas passer dix : : 600 : 400 : : 3 : 2. Cette différence qui provient de l'imperfection des instruments peut donc être reconnue par l'observation , et c'est par cette raison que les joueurs changent souvent de dés et de cartes1 lorsque la fortune leur est contraire.
1. « Supposons qu'au jeu de croix ou pile, croix soit arrivé plus souvent que pile : par cela « seul nous serons portés à croire que, dans la constitution de la pièce, il existe une cause cons- « tante qui le favorise. Ainsi dans la conduite de la vie, le bonheur constant est une preuve « d'habileté qui doit faire employer de préférence les personnes heureuses. Mais si par l'insta- « Lilité des circonstances nous sommes ramenés sans cesse à l'état d'une indécision absolue; « si, par exemple, on change de pièce à chaque coup au jeu de croix ou pile, le passé ne peut « répandre aucune lumière sur l'avenir, et il serait absurde d'en tenir compte. » (Laplace, Essai philosoph. sur les prob.)
Ainsi quelque obscures que soient les destinées, quelque impénétrable que nous paraisse l'avenir, nous pourrions néanmoins par des expériences réitérées devenir, dans quelques cas, aussi éclairés sur les événements futurs que le seraient des êtres ou plutôt des natures supérieures qui déduiraient immédiatement les effets de leurs causes ' . Et dans les choses même qui paraissent être de pur hasard , comme les jeux et les loteries , on peut encore connaître la pente du hasard. Par exemple , dans une loterie qui se tire tous les quinze jours, et dont on publie les numéros gagnants, si l'on observe ceux qui ont le plus souvent gagné pendant un an, deux ans, trois ans de suite, on peut en déduire avec raison que ces mêmes numéros gagneront encore plus souvent que les autres; car de quelque manière que l'on puisse varier le mouvement et la position des inslruments du sort, il est impossible de les rendre assez parfaits pour maintenir l'égalité absolue du hasard : il y a une certaine routine à faire, à placer, à mêler les billets, laquelle dans le sein même de la confusion produit un certain ordre, et fait que certains billets doivent sortir plus souvent que les autres; il en est de même de l'arrangement des cartes à jouer; elles ont une espèce de suite dont on peut saisir quelques termes à force d'observations; car en les assemblant chez l'ouvrier on suit une certaine routine, le joueur lui-même en les mêlant a sa routine; le tout se fait d'une certaine façon plus souvent que d'une autre , et dès lors l'observateur, attentif aux résultats recueillis en grand nombre, pariera toujours avec grand avantage qu'une telle carte, par exemple , suivra telle autre carte. Je dis que cet observateur aura un grand avantage, parce que les hasards devant être absolument égaux , la moindre inégalité, c'est-à-dire le moindre degré de probabilité de plus, a de trèsgrandes influences au jeu, qui n'est en lui-même qu'un pari multiplié et toujours répété. Si cette différence reconnue par l'expérience de la pente du hasard était seulement d'un centième, il est évident qu'en cent coups l'observateur gagnerait sa mise , c'est-à-dire la somme qu'il hasarde à chaque fois; en sorte qu'un joueur, muni de ces observations malhonnêtes, ne peut manquer de ruiner à la longue tous ses adversaires. Mais nous allons donner un puissant antidote contre le mal épidémique de la passion du jeu , et en même temps quelques préservatifs contre l'illusion de cet art dangereux.
XII. — On sait en général que le jeu est une passion avide , dont l'habi-
1. « Nous devons envisager l'état présent de l'univers comme l'effet de son état antérieur, et « comme la cause de celui qui va suivre. Une intelligence qui, pour un instant donné, connai- « trait toutes les forces dont la nature est animée et la situation respective des êtres qui la com- « posent, si d'ailleurs elle était assez vaste pour soumettre ces données à l'analyse, embrassece rait dans la même formule les mouvements des plus grands corps de l'univers et ceux du plus « léger atome, rien ne serait incertain pour elle, et l'avenir, comme le passé, serait présent à ses o yeux. » (Laplace, Essai philosoph. sur les prob.)
lude est ruineuse , mais cette vérité n'a peut-être jamais été démontrée que par une triste expérience sur laquelle on n'a pas assez réfléchi pour se corriger par la conviction. Un joueur, dont la fortune exposée chaque jour aux coups du hasard, se mine peu à peu et se trouve enfin nécessairement détruite, n'attribue ses pertes qu'à ce même hasard qu'il accuse d'injustice; il regrette également et ce qu'il a perdu et ce qu'il n'a pas gagné; l'avidité et la fausse espérance lui faisaient des droits sur le bien d'autrui : aussi humilié de se trouver dans la nécessité qu'affligé de n'avoir plus moyen de satisfaire sa cupidité, dans son désespoir il s'en prend à son étoile malheureuse; il n'imagine pas que cette aveugle puissance, la fortune du jeu, marche à la vérité d'un pas indifférent et incertain, mais qu'à chaque démarche elle tend néanmoins à un but, et tire à un terme certain qui est la ruine de ceux qui la tentent; il ne voit pas que l'indifférence apparente qu'elle a pour le bien ou pour le mal produit avec le temps la nécessité du mal, qu'une longue suite de hasards est une chaîne fatale, dont le prolongement amène le malheur; il ne sent pas qu'indépendamment du dur impôt des cartes et du tribut encore plus dur qu'il a payé à la friponnerie de quelques adversaires , il a passé sa vie à faire des conventions ruineuses; qu'enfin le jeu par sa nature même est un contrat vicieux jusque dans son principe, un contrat nuisible à chaque contractant en particulier, et contraire au bien de toute société.
Ceci n'est point un discours de morale vague, ce sont des vérités précises de métaphysique que je soumets au calcul ou plutôt à la force de la raison ; des vérités que je prétends démontrer mathématiquement à tous ceux qui ont l'esprit assez net, et l'imagination assez forte pour combiner sans géométrie et calculer sans algèbre.
Je ne parlerai point de ces jeux inventés par l'artifice et supputés par l'avarice, où le hasard perd une partie de ses droits, où la fortune ne peut jamais balancer, parce qu'elle est invinciblement entraînée et toujours contrainte à pencher d'un côté, je veux dire tous ces jeux où les hasards inégalement répartis, offrent un gain aussi assuré que malhonnête à l'un, et ne laissent à l'autre qu'une perte sûre et honteuse , comme au Pharaon, où le banquier n'est qu'un fripon avoué, et le ponte une dupe, dont on est convenu de ne se pas moquer.
C'est au jeu en général, au jeu le plus égal, et par conséquent le plus honnête que je trouve une essence vicieuse : je comprends même sous le nom de jeu toutes les conventions, tous les paris où l'on met au hasard une partie de son bien pour obtenir une pareille partie du bien d'autrui ; et je dis qu'en général le jeu est un pacte mal entendu , un contrat désavantageux aux deux parties, dont l'effet est de rendre la perte toujours plus grande que le gain; et d'ôter au bien pour ajouter au mal. La démonstration en est aussi aisée qu'évidente.
XIII. — Prenons deux hommes de fortune égale, qui, par exemple, aient chacun cent mille livres de bien, et supposons que ces deux hommes jouent en un ou plusieurs coups de dés cinquante mille livres, c'est-à-dire la moitié de leur bien: il est certain que celui qui gagne, n'augmente son bien que d'un tiers, et que celui qui perd, diminue le sien de moitié; car chacun d'eux avait cent mille livres avant le jeu, mais après l'événement du jeu, l'un aura cent cinquante mille livres, c'est-à-dire un tiers de plus qu'il n'avait, et l'autre n'a plus que cinquante mille livres, c'est-à-dire moitié moins qu'il n'avait; donc la perte est d'une sixième partie plus grande que le gain, car il y a cette différence entre le tiers et la moitié; donc la convention est nuisible à tous deux , et par conséquent essentiellement vicieuse.
Ce raisonnement n'est point captieux, il est vrai et exact; car quoique l'un des joueurs n'ait perdu précisément que ce que l'autre a gagné , cette égalité numérique de la somme n'empêche pas l'inégalité vraie de la perte et du gain; l'égalité n'est qu'apparente, et l'inégalité très-réelle. Le pacte que ces deux hommes font, en jouant la moitié de leur bien, est égal pour l'effet à un autre pacte que jamais personne ne s'est avisé de faire, qui serait de convenir de jeter dans la mer chacun la douzième partie de son bien. Car on peut leur démontrer, avant qu'ils hasardent cette moitié de leur bien, que la perte étant nécessairement d'un sixième plus grande que le gain, ce sixième doit être regardé comme une perle réelle, qui, pouvant tomber indilféremment ou sur l'un ou sur l'autre, doit par conséquent être également partagée.
Si deux hommes s'avisaient de jouer tout leur bien , quel serait l'effet de celte convention ? l'un ne ferait que doubler sa fortune , et l'autre réduirait la sienne à zéro ; or, quelle proportion y a-t-il ici entre la perte et le gain? la même qu'entre tout et rien; le gain de l'un n'est qu'égal à une somme assez modique, et la perte de l'autre est numériquement infinie, et moralement si grande, que le travail de toute sa vie ne suffirait peut-être pas pour regagner son bien.
La perle est donc infiniment plus grande que le gain lorsqu'on joue tout son bien ; elle est plus grande d'une sixième partie lorsqu'on joue la moitié de son bien, elle est plus grande d'une vingtième partie lorsqu'on joue le quart de son bien; en un mot, quelque petite portion de sa fortune qu'on hasarde au jeu, il y a toujours plus de perte que de gain: ainsi le pacle du jeu est un contrat vicieux, et qui tend à la ruine des deux contractants. Vérité nouvelle, mais très-utile, et que je désire qui soit connue de tous ceux qui, par cupidité ou par oisiveté, passent leur vie à tenter le hasard.
On a souvent demandé pourquoi l'on est plus sensible à la perte qu'au gain; on ne pouvait faire à cette question une réponse pleinement satisfaisante, tant qu'on ne s'est pas doulé de la vérité que je viens de présenter;
maintenant la réponse est aisée : on est plus sensible à la perte qu'au gain, parce qu'en effet, en les supposant numériquement égaux, la perte est néanmoins toujours et nécessairement plus grande que le gain ; le sentiment n'est en général qu'un raisonnement implicite moins clair, mais souvent plus fin et toujours plus sûr que le produit direct de la raison. On sentait bien que le gain ne nous faisait pas autant de plaisir que la perte nous causait de peine: ce sentiment n'est que le résultat implicite du raisonnement que je viens de présenter.
XIV. — L'argent ne doit pas être estimé par sa quantité numérique : si le métal, qui n'est que le signe des richesses, était la richesse même, c'està-dire si le bonheur ou les avantages qui résultent de la richesse étaient proportionnels à la quantité de l'argent , les hommes auraient raison de l'estimer numériquement et par sa quantité; mais il s'en faut bien que les avantages qu'on tire de l'argent soient en juste proportion avec sa quantité: un homme riche à cent mille écus de rente n'est pas dix fois plus heureux que l'homme qui n'a que dix mille écus; il y a plus, c'est que l'argent, dès qu'on passe de certaines bornes , n'a presque plus de valeur réelle et ne peut augmenter le bien de celui qui le possède ; un homme qui découvrirait une montagne d'or ne serait pas plus riche que celui qui n'en trouverait qu'une toise cube.
L'argent a deux valeurs toutes deux arbitraires, toutes deux de convention , dont l'une est la mesure des avantages du particulier et dont l'autre fait le tarif du bien de la société : la première de ces valeurs n'a jamais été estimée que d'une manière fort vague; la seconde est susceptible d'une estimation juste par la comparaison de la quantité d'argent avec le produit de la terre et du travail des hommes.
Pour parvenir à donner quelques règles précises sur la valeur de l'argent, j'examinerai des cas particuliers dont l'esprit saisit aisément les combinaisons et qui, comme des exemples, nous conduiront par induction à l'estimation générale de la valeur de l'argent pour le pauvre, pour le riche, et même pour l'homme plus ou moins sage.
Pour l'homme qui dans son état, quel qu'il soit, n'a que le nécessaire , l'argent est d'une valeur infinie-, pour l'homme qui, dans son état, abonde en superflu , l'argent n'a presque plus de valeur. Mais, qu'est-ce que le nécessaire, qu'est-ce que le superflu ? J'entends par le nécessaire la dépense qu'on est obligé de faire pour vivre comme l'on a toujours vécu : avec ce nécessaire on peut avoir ses aises et môme des plaisirs; mais bientôt l'habitude en a l'ait des besoins. Ainsi dans la définition du superflu, je compterai pour rien les plaisirs auxquels nous sommes accoutumés, et je dis que le superflu est la dépense qui peut nous procurer des plaisirs nouveaux : la perle du nécessaire est une perte qui se fait ressentir infiniment, et lors-
qu'on hasarde une partie considérable de ce nécessaire , le risque ne peut être compensé par aucune espérance, quelque grande qu'on la suppose; au contraire, la perte du superflu a des effets bornés; et si dans le superflu même on est encore plus sensible à la perte qu'au gain, c'est parce qu'en effet la perte étant en général toujours plus grande que le gain, ce sentiment se trouve fondé sur ce principe , que le raisonnement n'avait pas développé, car les sentiments ordinaires sont fondés sur des notions communes ou sur des inductions faciles ; mais les sentiments délicats dépendent d'idées exquises et relevées, et ne sont en effet que les résultats de plusieurs combinaisons souvent trop fines pour être aperçues nettement et presque toujours trop compliquées pour être réduites à un raisonnement qui puisse les démontrer.
XV. — Les mathématiciens qui ont calculé les jeux de hasard, et dont les recherches en ce genre méritent des éloges, n'ont considéré l'argent que comme une quantité susceptible d'augmentation et de diminution sans autre valeur que celle du nombre; ils ont estimé par la quantité numérique de l'argent les rapports du gain et de la perte ; ils ont calculé le risque et l'espérance relativement à cette même quantité numérique. Nous considérons ici la valeur de l'argent dans un point de vue différent, et par nos principes nous donnerons la solution de quelques cas embarrassants pour le calcul ordinaire. Cette question , par exemple, du jeu de croix et pile, où l'on suppose que deux hommes (Pierre et Paul) jouent l'un contre l'autre, à ces conditions que Pierre jettera en l'air une pièce de monnaie autant de fois qu'il sera nécessaire pour qu'elle présente croix, et que si cela arrive du premier coup , Paul lui donnera un écu ; si cela n'arrive qu'au second coup, Paul lui donnera deux écus; si cela n'arrive qu'au troisième coup , il lui donnera quatre écus; si cela n'arrive qu'au quatrième coup, Paul donnera huit écus; si cela n'arrive qu'au cinquième coup, il donnera seize écus , et ainsi de suite en doublant toujours le nombre des écus : il est visible que par cette condition Pierre ne peut que gagner, et que son gain sera au moins un écu, peut-être deux écus, peut-être quatre écus, peut-être huit écus, peut-être seize écus, peut-être trente-deux écus, etc.; peut-être cinq cent douze écus, etc. ; peut-être seize mille trois cent quatre-vingt-quatre écus, etc. ; peut-être cinq cent vingt-quatre mille quatre cent quarante-huit écus, etc. ; peut-être même dix millions, cent millions, cent mille millions d'écus, peut-être enfin une infinité d'écus. Car il n'est pas impossible de jeter cinq fois, dix fois, quinze fois, vingt fois, mille fois, cent mille fois la pièce sans qu'elle présente croix. On demande donc combien Pierre doit donner à Paul pour l'indemniser, ou, ce qui revient au même , quelle est la somme équivalente à l'espérance de Pierre qui ne peut que gagner.
Celte question m'a été proposée pour la première fois par feu M. Cramer, célèbre professeur de mathématiques à Genève, dans un voyage que je fis en celte ville en l'année 1730; il me dit qu'elle avait été proposée précédemment par M. Nicolas Bernoulli à M. de Monlmort, comme en effet on la trouve pages 402 et 407 de Y Analyse des Jeux de hasard, de cet auteur. Je rêvai quelque temps à cette question sans en trouver le nœud; je ne voyais pas qu'il fût possible d'accorder le calcul mathématique avec le bon sens, sans y faire entrer quelques considérations morales; et ayant fait part de mes idées à M. Cramer a, il me dit que j'avais raison, et qu'il avait aussi résolu celte question par une voie semblable; il me montra ensuite sa solution à peu près telle qu'on l'a imprimée depuis dans les Mémoires de l'Académie de Pétersbourg, en 1738, à la suite d'un Mémoire excellent de M. Daniel Bernoulli , sur la mesure du sort , où j'ai vu que la plupart des idées de M. Daniel Bernoulli s'accordent avec les miennes , ce qui m'a fait grand plaisir; car j'ai toujours, indépendamment de ses grands talents en géométrie, regardé et reconnu M. Daniel Bernoulli comme l'un des meilleurs esprits de ce siècle. Je trouvai aussi l'idée de M. Cramer trèsjuste et digne d'un homme qui nous a donné des preuves de son habileté dans toutes les sciences mathématiques, et à la mémoire duquel je rends cette justice, avec d'autant plus de plaisir que c'est au commerce et à l'amitié de ce savant que j'ai dû une partie des premières connaissances que j'ai acquises en ce genre. M. de Montmort donne la solution de ce problème par les règles ordinaires, et il dit que la somme équivalente à l'espérance
a. Voici ce que j'en laissai alors par écrit à M. Cramer, et dont j'ai conservé la copie originale: « M. de Montmort se contente de répondre à M. Nie. Bernoulli, que l'équivalent est égal à la <( somme de la suite \, ^, \, ~, etc., écus continuée à l'infini, c'est-à-dire = ? , et je ne crois pas « qu'en effet on puisse contester son calcul mathématique ; cependant, loin de donner un équi- « valent infini , il n'y a point d'homme de bon sens qui voulût donner vingt écus, ni même dix.
« La raison de cette contrariôié, entre le calcul mathématique et le bon sens, me semble « consister dans le peu de proportion qu'il y a entre l'argent et l'avantage qui en résulte. Un « mathématicien, dans son calcul, n'estime l'argent que par sa quantité, c'est-à-dire par sa « valeur numérique ; mais l'homme moral doit l'estimer autrement et uniquement par les avan- « tages ou le plaisir qu'il peut procurer ; il est certain qu'il doit se conduire dans cette vue, et « n'estimer l'argent qu'à proportion dus avantages qui en résultent, et non pas relativement « à la quantité qui, passé de certaines bornes, ne pourrait nullement augmenter son bonheur: «■ il ne serait, par exemple , guère plus heureux avec mille millions qu'il ne le serait avec cent, « ni avec cent mille millions plus qu'avec mille millions; ainsi, passé de certaines bornes, « il aurait très-grand tort de hasarder son argent. Si, par exemple, dix mille écus étaient « tout son bien, il aurait un tort infini de les hasarder, et plus ces dix mille écus seront un objet « par rapport à lui, plus il aura de tort; je crois donc que son tort serait infini, tant que ces « dix mille écus feront une paitie de son nécessaire, c'est-à-dire tant que ces dix mille écus « lui seront absolument nécessaires pour vivre comme il a été élevé et comme il a toujours « vécu; si ces dix mille écus sont de son superflu, son tort diminue, et plus ils seront une « petite partie de son superflu et plus son tort diminuera; mais il ne sera jamais nul, à moins « qu'il ne puisse regarder cette partie de son superflu comme indifférente, ou bien qu'il ne « regarde la somme espérée comme nécessaire pour réussir dans un dessein qui lui donnera à « proportion autant de plaisir que cette même somme est plus grande que celle qu'il hasarde,
de celui qui ne peut que gagner est égale à la somme de la suite f , |, £, ï> y» h £ écu , etc., continuée à l'infini, et que, par conséquent, cette somme équivalente est une somme d'argent infinie. La raison sur laquelle est fondé ce calcul , c'est qu'il y a un demi de probabilité que Pierre, qui ne peut que gagner, aura un écu; un quart de probabilité qu'il en aura deux; un huitième de probabilité qu'il en aura quatre; un seizième de probabilité qu'il en aura huit; un trente-deuxième de probabilité qu'il en aura seize, etc., à l'infini; et que, par conséquent, son espérance pour le premier cas est un demi-écu, car l'espérance se mesure par la probabilité multipliée par la somme qui est à obtenir; or la probabilité est un demi, et la somme à obtenir pour le premier coup est un écu; donc l'espérance est un demi-écu : de même son espérance pour le second cas est encore un demi-écu , car la probabilité est un quart, et la somme à obtenir est deux écus; or un quart, multiplié par deux écus, donne encore un demiécu. On trouvera de même que son espérance pour le troisième cas est encore un demi-écu ; pour le quatrième cas un demi-écu, en un mot, pour tous les cas à l'infini, toujours un demi-écu pour chacun, puisque le nombre des écus augmente en même proportion que le nombre des probabilités diminue; donc la somme de toutes ces espérances est une somme d'argent infinie, et, par conséquent, il faut que Pierre donne à Paul, pour équivalent, la moitié d'une infinité d'écus.
Cela est mathématiquement vrai, et on ne peut pas contester ce calcul: aussi M. de Montmort et les autres géomètres ont regardé cette question
« et c'est sur cette façon d'envisager un bonheur à venir, qu'on ne peut point donner de règles : « il y a des gens pour qui l'espérance elle-mèrne est uu plaisir plus grand que ceux qu'ils « pourraient se procurer par la jouissance de leur mise. Pour raisonner donc plus certainement a sur toutes ces choses, il faudrait établir quelques principes; je dirais, par exemple, que le « nécessaire est égal à la somme qu'on est obligé de dépenser pour continuer à vivre comme « on a toujours vécu : le nécessaire d'un roi sera, par exemple, dix millions de rente ( car un « roi qui aurait moins serait un roi pauvre); le nécessaire d'un homme de condition sera dix « mille livres de rente ( car un bomme de condition qui aurait moins serait un pauvre seigneur) ; « le nécessaire d'un paysan sera cinq cents livres, parce qu'à moins que d'être dans la misère, « il ne peut moins dépenser pour vivre et nourrir sa famille. Je supposerais que le nécessaire « ne peut nous procuier des plaisirs nouveaux, ou, pour parler plus exactement, je compterais « pour rien les plaisirs ou avantages que nous avons toujours eus, et, d'apris cela, je définirais « le superflu, ce qui pourrait nous procurer d'autres plaisirs ou des avantages nouveaux; o je dirais de plus, que la perte du nécessaire se fait ressentir infiniment; qu'aiusi, elle ne peut « être compensée par aucune espérance, qu'au contraire le sentiment de la perte du superflu « est borné, et, que par conséquent il peut être compensé : je crois qu'on sent soi-même cette « vérité lorsqu'on joue, car la perte, pour peu qu'elle soit considérable, nous fait toujours « plus de peine qu'un gain égal ne nous fait de plaisir, et cela sans qu'on puisse y faire « entrer l'amour-propre moitifié, puisque je suppose le jeu d'entier et pur hasard. Je dirais « aussi que la quantité de l'argent dans le nécessaire est proportionnelle à ce qu'il nous en « revient, mais que dans le superflu cette proportion commence à diminuer, et diminue d'au- « tant plus que le superflu devient plus grand. « Je vous laisse, Monsieur, juge de ces idées, etc.
« Genève ce 3 octobre 1730. Signé Le Clerc de Blffon. »
comme bien résolue; cependant cette solution est si éloignée d'être la vraie, qu'au lieu de donner une somme infinie, ou même une très-grande somme, ce qui est déjà fort différent, il n'y a point d'homme de bon sens qui voulût donner vingt écus, ni même dix, pour acheter cette espérance en se mettant à la place de celui qui ne peut que gagner.
XYI. — La raison de cette contrariété extraordinaire du bon sens et du calcul vient de deux causes : la première est que la probabilité doit être regardée comme nulle, dès qu'elle est très-petite, c'est-à-dire au-dessous ^e tôoôo > 'a seconde cause est le peu de proportion qu'il y a entre la quantité de l'argent et les avantages qui en résultent; le mathématicien, dans son calcul , estime l'argent par sa quantité , mais l'homme moral doit l'estimer autrement; par exemple, si l'on proposait à un homme d'une fortune médiocre de mettre cent mille livres à une loterie, parce qu'il n'y a que cent mille à parier contre un qu'il y gagnera cent mille fois cent mille livres , il est certain que la probabilité d'obtenir cent mille fois cent mille livres, étant un contre cent mille, il est certain, dis-je, mathématiquement parlant, que son espérance vaudra sa mise de cent mille livres; cependant cet homme aurait très-grand tort de hasarder cette somme , et d'autant plus grand tort, que la probabilité de gagner serait plus petite, quoique l'argent à gagner augmentât à proportion , et cela parce qu'avec cent mille fois cent mille livres, il n'aura pas le double des avantages qu'il aurait avec cinquante mille fois cent mille livres, ni dix fois autant d'avantage qu'il en aurait avec dix mille fois cent mille livres; et comme la valeur de l'argent, par rapport à l'homme moral, n'est pas proportionnelle à sa quantité, mais plutôt aux avantages que l'argent peut procurer , il est visible que cet homme ne doit hasarder qu'à proportion de l'espérance de ces avantages, qu'il ne doit pas calculer sur la quantité numérique des sommes qu'il pourrait obtenir, puisque la quantité de l'argent, au delà de certaines bornes, ne pourrait plus augmenter son bonheur, et qu'il ne serait pas plus heureux avec cent mille millions de rente qu'avec mille millions.
XVII. — Pour faire sentir la liaison et la vérité de tout ce que je viens d'avancer, examinons de plus près que n'ont fait les géomètres la question que l'on vient de proposer: puisque le calcul ordinaire ne peut la résoudre à cause du moral qui se trouve compliqué avec le mathématique, voyons si nous pourrons, par d'autres règles, arriver à une solution qui ne heurte pas le bon sens, et qui soit en même temps conforme à l'expérience ; cette recherche ne sera pas inutile et nous fournira des moyens sûrs pour estimer au juste le prix de l'argent et la valeur de l'espérance dans tous les cas. La première chose que je remarque, c'est que dans le calcul mathématique
qui donne pour équivalent de l'espérance de Pierre une somme infinie d'argent, cette somme infinie d'argent est la somme d'une suite composée d'un nombre infini de termes qui valent tous un demi-écu ; et je vois que celte suite, qui mathématiquement doit avoir une infinité de termes, ne peut pas moralement en avoir plus de trente, puisque si le jeu durait jusqu'à ce trentième terme, c'est-à-dire si croix ne se présentait qu'après vingtneuf coups, il serait dû à Pierre une somme de cinq cent vingt millions huit cent soixante-dix mille neuf cent douze écus, c'est-à-dire autant d'argent qu'il en existe peut-être dans tout le royaume de France. Une somme infinie d'argent est un être de raison qui n'existe pas, et toutes les espérances, fondées sur les termes à l'infini qui sont au delà de trente, n'existent pas non plus. Il y a ici une impossibilité morale qui détruit la possibilité mathématique; car il est possible mathématiquement et même physiquement de jeler trente fois, cinquante, cent fois de suite, etc., la pièce de monnaie sans qu'elle présente croix ; mais il est impossible de satisfaire à la condition du problème", c'est-à-dire de payer le nombre d'écus qui serait dû , dans le cas où cela arriverait; car tout l'argent qui est sur la terre ne suffirait pas pour faire la somme qui serait due, seulement au quarantième coup, puisque cela supposerait mille vingt-quatre fois plus d'argent qu'il n'en existe dans tout le royaume de France, et qu'il s'en faut bien que sur toute la terre il y ait mille vingt-quatre royaumes aussi riches que la France.
Or , le mathématicien n'a trouvé cette somme infinie d'argent pour l'équivalent à l'espérance de Pierre, que parce que le premier cas lui donne un demi-écu, le second cas un demi-écu, et chaque cas à l'infini toujours un demi-écu ; donc l'homme moral , en comptant d'abord de même, trouvera vingt écus au lieu de la somme infinie, puisque tous les termes qui sont au delà du quarantième donnent des sommes d'argent si grandes, qu'elles n'existent pas; en sorte qu'il ne faut compter qu'un demi-écu pour le premier cas, un demi-écu pour le second, un demi-écu pour le troisième, etc., jusqu'à quarante, ce qui fait en tout vingt écus pour l'équivalent de l'espérance de Pierre, somme déjà bien réduite et bien différente de la somme infinie. Cette somme de vingt écus se réduira encore beaucoup en considérant que le trente-unième terme donnerait plus de mille millions d'écus, c'est-à-dire supposerait que Pierre aurait beaucoup plus d'argent qu'il n'y en a dans le plus riche royaume de l'Europe, chose impossible à supposer, et dès lors les termes depuis trente jusqu'à quarante sont encore imaginaires, et les espérances fondées sur ces termes doivent être
a. C'est par cette raison qu'un de nos plus habiles géomètres, feu M. Fontaine, a fait entrer dans la solution qu'il nous a donnée de ce problème la déclaration du bien de Pierre, parce qu'en effet il ne peut donner pour équivalent que la totalité du bien qu'il possède. (Voyez cette solution dans les Mémoires mathématiques de M. Fontaine; in-4», Paris, 1764. )
regardées comme nulles; ainsi l'équivalent de l'espérance de Pierre est déjà réduit à quinze écus.
On la réduira encore en considérant que la valeur de l'argent ne devant pas être estimée par sa quantité, Pierre ne doit pas compter que mille millions d'écus lui serviront au double de cinq cents millions d'écus, ni au quadruple de deux cent cinquante millions d'écus, etc. et que par conséquent l'espérance du trentième terme n'est pas un demi-écu, non plus que l'espérance du vingt-neuvième, du vingt-huitième, etc., la valeur de cette espérance, qui mathématiquement se trouve être un demi-écu pour chaque terme, doit être diminuée dès le second terme, et toujours diminuée jusqu'au dernier terme de la suite, parce qu'on ne doit pas estimer la valeur de l'argent par sa quantité numérique.
XYI1I. — Mais comment donc l'estimer, comment trouver la proportion de cette valeur suivant les différentes quantités? qu'est-ce donc que deux millions d'argent, si ce n'est pas le double d'un million du même métal ? pouvons-nous donner des règles précises et générales pour celte estimation? il paraît que chacun doit juger son état, et ensuite estimer son sort et la quantité de l'argent proportionnellement à cet état et à l'usage qu'il en peut faire; mais celte manière est encore vague et trop particulière pour qu'elle puisse servir de principe, et je crois qu'on peut trouver des moyens plus généraux et plus sûrs de faire cetle estimation : le premier moyen qui se présente est de comparer le calcul mathématique avec l'expérience; car dans bien des cas, nous pouvons par des expériences réitérées arriver, comme je l'ai dit, à connaître l'effet du hasard aussi sûrement que si nous le déduisions immédiatement des causes.
J'ai donc fait deux mille quarante-huit expériences sur cette question, c'est-à-dire j'ai joué deux mille quarante-huit fois ce jeu en faisant jeter la pièce en l'air par un enfant : les deux mille quarante-huit parties de jeu ont produit dix mille cinquante-sept écus en tout; ainsi la somme équivalente à l'espérance de celui qui ne peut que gagner, est à peu près cinq écus pour chaque partie. Dans cette expérience, il y a eu mille soixante-une parties qui n'ont produit qu'un écu, quatre cent quatre-vingt-quatorze parties qui ont produit deux écûs, deux cent trente-deux parties qui en ont produit quatre, cent trente-sept parties qui ont produit huit écus, cinquante-six parties qui en ont produit seize, vingt-neuf parties qui ont produit trente-deux écus, vingt-cinq parties qui en ont produit soixante-quatre, huit parties qui en ont produit cent vingt-huit, et enfin six parties qui en ont produit deux cent cinquante-six. Je tiens ce résultat général pour bon, parce qu'il est fondé sur un grand nombre d'expériences, et que d'ailleurs il s'accorde avec un autre raisonnement mathématique et incontestable, par lequel on trouve à peu près ce même équivalent de cinq écus. Voici ce
raisonnement: Si l'on joue deux mille quarante-huit parties, il doit y avoir naturellement mille vingt-quatre parties qui ne produiront qu'un écu chacune, cinq cent douze parties qui en produiront deux, deux cent cinquante-six parties qui en produiront quatre, cent vingt-huit parties qui en produiront huit, soixante-quatre parties qui en produiront seize, trente-deux parties qui en produiront trente-deux , seize parties qui en produiront soixante-quatre, huit parties qui en produiront cent vingt-huit, quatre parties qui en produiront deux cent cinquante-six, deux parties qui en produiront cinq cent douze, une partie qui produira mille vingt-quatre; et enfin une partie qu'on ne peut pas estimer, mais qu'on peut négliger sans erreur sensible, parce que je pouvais supposer, sans blesser que très-légèrement l'égalité du hasard, qu'il y aurait mille vingt-cinq au lieu de mille vingtquatre parties qui ne produiraient qu'un écu : d'ailleurs l'équivalent de cette partie étant mis au plus fort, ne peut être de plus de quinze écus, puisque l'on a vu que pour une partie de ce jeu tous les termes au delà du trentième terme de la suite donnent des sommes d'argent si grandes, qu'elles n'existent pas, et que par conséquent le plus fort équivalent qu'on puisse supposer est quinze écus. Ajoutant ensemble tous ces écus, que je dois nalurellement attendre de l'indifférence du hasard, j'ai onze mille deux cent soixante-cinq écus pour deux mille quarante-huit parties. Ainsi ce raisonnement donne à très peu près cinq écus et demi pour l'équivalent, ce qui s'accorde avec l'expérience à -^ près. Je sens bien qu'on pourra m'objecter que cette espèce de calcul, qui donne cinq écus et demi d'équivalent lorsqu'on joue deux mille quarante-huit parties, donnerait un équivalent plus grand, si on ajoutait un beaucoup plus grand nombre de parties; car, par exemple, il se trouve que si, au lieu déjouer deux mille quarante-huit parties, on n'en joue que mille vingt-quatre, l'équivalent est à très-peu près cinq écus; que si l'on ne joue que cinq cent douze parties, l'équivalent n'est plus que quatre écus et demi à très-peu près; que si l'on n'en joue que deux cent cinquante-six, il n'est plus que quatre écus, et ainsi toujours en diminuant; mais la raison en est que le coup qu'on ne peut pas estimer, fait alors une partie considérable du tout, et d'autant plus considérable, qu'on joue moins de parties, et que par conséquent il faut un grand nombre de parties, comme mille vingt-quatre ou deux mille quarante-huit pour que ce coup puisse être regardé comme de peu de valeur, ou même comme nul. En suivant la même marche, on trouvera que, si l'on joue un million quarante-huit mille cinq cent soixante-seize parties, l'équivalent par ce raisonnement se trouverait être à peu près dix écus; mais on doit considérer tout dans la morale, et par là on verra qu'il n'est pas possible de jouer un million quarante-huit mille cinq cent soixante-seize parties à ce jeu, car à ne supposer que deux minutes de temps pour la durée de chaque partie, y compris le temps qu'il faut pour payer, etc., on trouverait qu'il faudrait
jouer pendant deux millions quatre-vingt-dix-sept mille cent cinquante-deux minutes, c'est-à-dire plus de treize ans de suite, six heures par jour, ce qui est une convention moralement impossible. Et si l'on y fait attention, on trouvera qu'entre ne jouer qu'une partie et jouer le plus grand nombre de parties moralement possibles, ce raisonnement, qui donne des équivalents différents pour tous les différents nombres de parties, donne pour l'équivalent moyen cinq écus. Ainsi je persiste à dire que la somme équivalente à l'espérance de celui qui ne peut que gagner est cinq écus, au lieu de la moitié d'une somme infinie d'écus, comme l'ont dit les mathématiciens, et comme leur calcul paraît l'exiger.
XIX. — Voyons maintenant si, d'après cette détermination, il ne serait pas possible de tirer la proportion de la valeur de l'argent par rapport aux avantages qui en résultent.
La progression des probabilités est
2» ï' 8» 16» 32' Ci» 128' 2S0» 512" * " '2.»
La progression des sommes d'argent à obtenir est
La somme de toutes ces probabilités, multipliée par celle de toutes les sommes d'argent à obtenir, est f , qui est l'équivalent donné par le calcul mathématique, pour l'espérance de celui qui ne peut que gagner. Mais nous avons vu que cette somme f ne peut, dans le réel, être que cinq écus; il faut donc chercher une suite, telle que la somme, multipliée par la suite des probabilités, soit égale à cinq écus, et celte suite étant géométrique comme celle des probabilités, on trouvera qu'elle est 1, f, f|, |||, -%^-, -ViVs-, au lieu de 1, 2, 4, 8, 16, 32.
Or cette suite 1, 2, 4, 8, 16, 32, etc., représente la quantité de l'argent, et par conséquent sa valeur numérique et mathématique.
Et l'autre suite 1, f, f|, ~, ^y-, ^jr» représente la quantité géométrique de l'argent, donnée par l'expérience, et par conséquent sa valeur morale et réelle.
Voilà donc une estimation générale et assez juste de la valeur de l'argent dans tous les cas possibles, et indépendamment d'aucune supposition. Par exemple, l'on voit, en comparant les deux suites, que deux mille livres ne produisent pas le double d'avantages de mille livres; qu'il s'en faut |, et que deux mille livres ne sont dans le moral et dans la réalité que f de deux mille livres, c'est-à-dire dix-huit cents livres. Un homme qui a vingt mille livres de bien, ne doit pas l'estimer comme le double du bien d'un autre qui a dix mille livres, car il n'a réellement que dix-huit mille livres d'argent de cette même monnaie, dont la valeur se compte par les avantages qui
en résultent; et de même un homme, qui a quarante mille livres n'est pas quatre fois plus riche que celui qui a dix mille livres, car il n'est en comparaison réellement riche que de 32 mille 400 livres; un homme qui a 80 mille livres n'a, par la même règle, que 58 mille 300 livres; celui qui a 160 mille livres ne doit compter que 104 mille 900 livres, c'est-à-dire que, quoiqu'il ait seize fois plus de bien que le premier, il n'a guère que dix fois autant de notre vraie monnaie; de même encore, un homme qui a trente-deux fois autant d'argent qu'un autre, par exemple 320 mille livres en comparaison d'un homme qui a 10 mille livres, n'est riche dans la réalité que de 188 mille livres, c'esl-à-dire dix-huit ou dix-neuf fois plus riche, au lieu de trente-deux fois, etc.
L'avare est comme le mathématicien: tous deux estiment l'argent par sa quantité numérique; l'homme sensé n'en considère ni la masse ni le nombre, il n'y voit que les avantages qu'il peut en tirer, il raisonne mieux que l'avare, et sent mieux que le mathématicien. L'écu que le pauvre a mis à part pour payer un impôt de nécessité, et l'écu qui complète les sacs d'un financier, n'ont pour l'avare et pour le mathématicien que la même valeur: celui-ci les comptera par deux unités égales, l'autre se les appropriera avec un plaisir égal, au lieu que l'homme sensé comptera l'écu du pauvre pour un louis, et l'écu du financier pour un liard.
XX. — Une autre considération qui vient à l'appui de cette estimation de la valeur morale de l'argent, c'est qu'une probabilité doit être regardée comme nulle dès qu'elle n'est que ,-oïôo> c'est-à-dire, dès qu'elle est aussi petite que la crainte non sentie de la mort dans les vingt-quatre heures. On peut même dire, qu'attendu l'intensité de cette crainte de la mort qui est bien plus grande que l'intensité de tous les autres sentiments de crainte ou d'espérance, l'on doit regarder comme presque nulle une crainte ou une espérance qui n'aurait que —^ de probabilité. L'homme le plus faible pourrait tirer au sort sans aucune émotion, si le billet de mort était mêlé avec dix mille billets de vie; et l'homme ferme doit tirer sans crainte, si ce billet est mêlé sur mille : ainsi dans tous les cas où la probabilité est audessous d'un millième, on doit la regarder comme presque nulle. Or, dans notre question, la probabilité se trouvant être j^ dès le dixième terme de la suite \, \, {, ■&, &, £, rh» îsï» sh» Ta*ï> H s'ensuit que, moralement pensant, nous devons négliger tous les termes suivants, et borner toutes nos espérances à ce dixième terme; ce qui produit encore cinq écus pour l'équivalent que nous avons cherché, et confirme par conséquent la justesse de notre détermination.
En réformant et abrégeant ainsi tous les calculs où la probabilité devient plus petite qu'un millième, il ne restera plus de contradiction entre le calcul mathématique et le bon sens. Toutes les difficultés de ce genre dispaxn. 42
raissent. L'homme, pénétré de cette vérilé, ne se livrera plus à de vaines espérances ou à de fausses craintes; il ne donnera pas volontiers son écu pour en obtenir mille, à moins qu'il ne voie clairement que la probabilité est plus grande qu'un millième. Enfin, il se corrigera du frivole espoir de faire une grande fortune avec de petits moyens.
XXI. — Jusqu'ici je n'ai raisonné et calculé que pour l'homme vraiment sage, qui ne se détermine que par le poids de la raison; mais ne devonsnous pas faire aussi quelque attention à ce grand nombre d'hommes que l'illusion ou la passion déçoivent, et qui souvent sont fort aises d'être déçus? N'y a-t-il pas même à perdre en présentant toujours les choses telles qu'elles sont? L'espérance , quelque petite qu'en soit la probabilité, n'est-elle pas un bien pour tous les hommes, et le seul bien des malheureux? Après avoir calculé pour le sage, calculons donc aussi pour l'homme bien moins rare, qui jouit de ses erreurs souvent plus que de sa raison. Indépendamment des cas où, faute de tous moyens, une lueur d'espoir est un souverain bien; indépendamment de ces circonstances où le cœur agité ne peut se reposer que sur les objets de son illusion, et ne jouit que de ses désirs, n'y a-t-il pas mille et mille occasions où la sagesse même doit jeter en avant un volume d'espérance au défaut d'une masse de bien réel? Par exemple, la volonté de faire le bien, reconnue dans ceux qui tiennent les rênes du gouvernement, fut-elle sans exercice, répand sur tout un peuple une somme de bonheur qu'on ne peut estimer : l'espérance, fût-elle vaine, est donc un bien réel dont la jouissance se prend par anticipation sur tous les autres biens1. Je suis forcé d'avouer que la pleine sagesse ne fait pas le plein bonheur de l'homme, que malheureusement la raison seule n'eut en tout temps qu'un petit nombre d'auditeurs froids, et ne fit jamais d'enthousiastes ; que l'homme comblé de biens ne se trouverait pas encore heureux s'il n'en espérait de nouveaux; que le superflu devient avec le temps chose très-nécessaire, et que la seide différence qu'il y ait ici entre le sage et le non sage, c'est que ce dernier, au moment même qu'il lui arrive une surabondance de bien, convertit ce beau superflu en triste nécessaire, et monte son état à l'égal de sa nouvelle fortune, tandis que l'homme sage, n'usant de cetle surabondance que pour répandre des bienfaits et pour se procurer quelques plaisirs nouveaux, ménage la consommation de ce superflu en même temps qu'il en multiplie la jouissance.
XXII. — L'étalage de l'espérance est le leurre de tous les pipeurs d'argent. Le grand art du faiseur de loterie est de présenter de grosses sommes avec de très-petites probabilités, bientôt enflées par le ressort de la cupi-
1. Cette part, faite à Yespérance au profit des malheureux par l'un des hommes qui connut le mieux l'art de bien conduire sa vie, montre que la raison n'avait point diminué, en lui, la plus noble sensibilité.
dilé. Ces pipeurs grossissent encore ce produit idéal en le partageant, et donnant pour un très— petit argent, dont tout le inonde peut se défaire, une espérance qui, quoique bien plus petite, paraît participer de la grandeur de la somme totale. On ne sait pas que, quand la probabilité est au-dessous d'un nrllième, l'espérance devient nulle, quelque grande que soit la somme promise, puisque toute chose, quelque grande qu'elle puisse être, se réduit à rien dès qu'elle est nécessairement multipliée par rien, comme l'est ici la grosse somme d'argent multipliée par la probabilité nulle, comme l'est en général tout nombre qui, multiplié par zéro, est toujours zéro. On ignore encore qu'indépendamment de celte réduction des probabilités à rien, dès qu'elles sont au-dessous d'un millième, l'espérance souffre un déchet successif et proportionnel à la valeur morale de l'argent, toujours moindre que sa valeur numérique, en sorte que celui dont l'espérance numérique paraît double de celle d'un autre, n'a néanmoins que | d'espérance réelle au lieu de 2; et que de même celui dont l'espérance numérique est 4, n'a que 3 ^ de cette espérance morale, dont le produit est le seul réel; qu'au lieu de 8, ce produit n'est que 5 ff|; qu'au lieu de 16, il n'est que 10 *^; au lieu de 32, 18 *3fff ; au lieu de 64, 34 y^; au lieu de 128, Cl ijffj; au lieu de 256, 10 ^{\; au lieu de 512, 198 #&&Vï au lieu de 1024, 357 /,^r, etc., d'où l'on voit combien l'espérance morale diffère dans tous les cas de l'espérance numérique pour le produit réel qui en résulte : l'homme sage doit donc rejeter comme fausses toutes les propositions, quoique démontrées par le calcul, où la très-grande quantité d'argent semble compenser la très-petite probabilité; et s'il veut risquer avec moins de désavantage, il ne doit jamais mettre ses fonds à la grosse aventure, il faut les partager. Hasarder cent mille francs sur un seul vaisseau , ou vingt-cinq mille francs sur quatre vaisseaux, n'est pas la même chose ; car on aura cent pour le produit de l'espérance morale dans ce dernier cas, tandis qu'on n'aura que quatrevingt-un pour ce même produit dans le premier cas. C'est par cette même raison que les commerces les plus sûrement lucratifs sont ceux où la masse du débit est divisée en un grand nombre de créditeurs. Le propriétaire de la masse ne peut essuyer que de légères banqueroutes, au lieu qu'il n'en faut qu'une pour le ruiner, si cette masse de son commerce ne peut passer que par une seule main, ou même ne se partager qu'entre un petit nombre de débiteurs. Jouer gros jeu dans le sens moral est jouer un mauvais jeu; un ponte au pharaon, qui se mettrait dans la tête de pousser toutes ses caries jusqu'au quinze et le va perdrait près d'un quart sur le produit de son espérance morale; car tandis que son espérance numérique est de tirer 1G, l'espérance morale n'est que de 13 \±i. 11 en est de même d'une infinité d'autres exemples que l'on pourrait donner ; et de tous il résultera toujours que l'homme sage doit mettre au hasard le moins qu'il est pos-
sible, et que l'homme prudent qui, par sa position ou son commerce, est forcé de risquer de gros fonds, doit les partager, et retrancher de ses spéculations toutes les espérances dont la probabilité est très-petite, quoique la somme à obtenir soit proportionnellement aussi grande.
XXIII. — L'analyse est le seul instrument dont on se soit servi jusqu'à ce jour, dans la science des probabilités, pour déterminer et fixer les rapports du hasard; la géométrie paraissait peu propre à un ouvrage aussi délié; cependant si l'on y regarde de près, il sera facile de reconnaître que cet avantage de l'analyse sur la géométrie est tout à fait accidentel, et que le hasard, selon qu'il est modifié et conditionné, se trouve du ressort de la géométrie aussi bien que de celui de l'analyse : pour s'en assurer, il suffira de faire attention que les jeux et les questions de conjecture ne roulent ordinairement que sur des rapports de quantités discrètes; l'esprit humain, plus familier avec les nombres qu'avec les mesures de l'étendue, les a toujours préférés; les jeux en sont une preuve, car leurs lois sont une arithmétique continuelle; pour mettre donc la géométrie en possession de ses droits sur la science du hasard, il ne s'agit que d'inventer des jeux qui roulent sur l'étendue et sur ses rapports, ou calculer le petit nombre de ceux de cette nature qui sont déjà trouvés. Le jeu du franc-carreau peut nous servir d'exemple : voici ses conditions qui sont fort simples.
Dans une chambre parquetée ou pavée de carreaux égaux, d'une figure quelconque, on jette en l'air un écu; l'un des joueurs parie que cet écu après sa chute se trouvera à franc-carreau, c'est-à-dire sur un seul carreau; le second parie que cet écu se trouvera sur deux carreaux, c'est-à-dire qu'il couvrira un des joints qui les séparent; un troisième joueur parie quel'écu se trouvera sur deux joints; un quatrième parie que l'écu se trouvera sur trois, quatre ou six joints : on demande le sort de chacun de ces joueurs.
Je cherche d'abord le sort du premier joueur et du second : pour le trouver, j'inscris dans l'un des carreaux une figure semblable, éloignée des côtés du carreau, de la longueur du demi-diamètre de l'écu ; le sort du premier joueur sera à celui du second comme la superficie de la couronne circonscrite est à la superficie de la figure inscrite : cela peut se démontrer aisément, car tant que le centre de l'écu est dans la figure inscrite, cet écu ne peut être que sur un seul carreau, puisque par construction cotte ligure inscrite est partout éloignée du contour du carreau, d'une distance égale au rayon de l'écu; et, au contraire, dès que le centre de l'écu tombe au dehors de la figure inscrite, l'écu est nécessairement sur deux ou plusieurs carreaux, puisque alors son rayon est plus grand que la distance du contour de cette figure inscrite au contour du carreau; or, tous les points où peut tomber ce centre de l'écu sont représentés dans le premier cas par la superficie de la couronne qui fait le reste du carreau; donc le
sort du premier joueur est au sort du second, comme celte première superficie est à la seconde : ainsi pour rendre égal le sort de ces deux joueurs, il faut que la superficie de la figure inscrite soit égale à celle de la couronne, ou, ce qui est la même chose, qu'elle soit la moitié de la surface totale du carreau.
Je me suis amusé à en faire le calcul , et j'ai trouvé que pour jouer à jeu égal sur des carreaux carrés, le côté du carreau devait être au diamètre de l'écu, comme 1:1 — ^\\ c'est-à-dire à peu près trois et demie fois plus grand que le diamètre de la pièce avec laquelle on joue.
Pour jouer sur des carreaux triangulaires équilatéraux , le côté du car-
reau doit être au diamètre de la pièce, comme 1 : — — , c'est-à-dire
presque six fois plus grand que le diamètre de la pièce. Sur des carreaux en losange, le côté du carreau doit être au diamètre
de la pièce, comme 1 : ■ * c'est-à-dire presque quatre fois plus grand.
Enfin sur des carreaux hexagones, le côté du carreau doit être au dia-
- Vî mètre de la pièce, comme 1 : — — — -, c'est-à-dire presque double.
Je n'ai pas fait le calcul pour d'autres figures, parce que celles-ci sont les seules dont on puisse remplir un espace sans y laisser des intervalles d'autres figures; et je n'ai pas cru qu'il fût nécessaire d'avertir que les joints des carreaux ayant quelque largeur, ils donnent de l'avantage au joueur qui parie pour le joint , et que par conséquent l'on fera bien, pour rendre le jeu encore plus égal, de donner aux carreaux carrés un peu plus de trois et demie fois, aux triangulaires six fois, aux losanges quatre fois, et aux hexagones deux fois la longueur du diamètre de la pièce avec laquelle on joue.
Je cherche maintenant le sort du troisième joueur qui parie que l'écu se trouvera sur deux joints; et, pour le trouver, j'inscris dans l'un des carreaux une figure semblable, comme j'ai déjà fait; ensuite je prolonge les côtés de cette figure inscrite jusqu'à ce qu'ils rencontrent ceux du carreau, le sort du troisième joueur sera à celui de son adversaire, comme la somme des espaces compris entre le prolongement de ces lignes et les côtés du carreau est au reste de la surface du carreau. Ceci n'a besoin, pour être pleinement démontré, que d'être bien entendu. v
J'ai fait aussi le calcul de ce cas, et j'ai trouvé que pour jouer à jeu égal sur des carreaux carrés, le côté du carreau doit être au diamètre de la pièce, comme 1 : -^=, c'est-à-dire plus grand d'un peu moins d'un tiers.
Sur des carreaux triangulaires équilatéraux, le côté du carreau doit être au diamètre de la pièce, comme 1 : {, c'est-à-dire double.
Sur des carreaux en losange, le côté du carreau doit êlre au diamètre
- v/ï de la pièce, comme 1 : ^—^ , c'est-à-dire plus grand d'environ deux cinquièmes.
Sur des carreaux nexagones, le côlé du carreau doit être au diamètre de la pièce, comme 1 : iVz, c'est-à-dire plus grand d'un demi-quart.
Maintenant le quatrième joueur parie que, sur des carreaux triangulaires équilaléraux, l'écu se trouvera sur six joints : que sur des carreaux carrés ou en losanges, il se trouvera sur quatre joints, et sur des carreaux hexagones, il se trouvera sur trois joints; pour déterminer son sort, je décris de la pointe d'un angle du carreau, un cercle égal à l'écu, et je dis que sur des carreaux triangulaires équilaléraux, son sort sera à celui de son adversaire comme la moitié de la superficie de ce cercle est à celle du reste du carreau; que sur des carreaux carrés ou en losanges, son sort sera à celui de l'autre comme la superficie entière du cercle est à celle du reste du carreau ; et que sur des carreaux hexagones, son sort sera à celui de son adversaire comme le double de celle superficie du cercle est au reste du carreau. En supposant donc que la circonférence du cercle est au diamètre, comme 22 sonl à 7; on trouvera que pour jouer à jeu égal sur des carreaux triangulaires équilaléraux, le côté du carreau doit êlre
au diamètre de la pièce comme 1 : Î 1 2J, c'est-à-dire plus grand d'un
peu plus d'un quart.
Sur des carreaux en losanges, le sort sera le même que sur des carreaux triangulaires équilaléraux.
Sur des carreaux cariés, le côté du carreau doit être au diamètre de la
l/iT pièce, comme 1 : , c est-à-dire plus grand d'environ un cinquième.
Sur des carreaux hexagones, le côté du carreau doit être au diamètre de
la pièce, comme 1 : 2 v/3, c'est-à-dire plus grand d'environ un treizième.
J'omets ici la solution de plusieurs autres cas, comme lorsque l'un des joueurs parie que l'écu ne tombera que sur un joint ou sur deux, sur trois, etc. Ils n'ont rien de plus difficile que les précédents; et d'ailleurs on joue rarement ce jeu avec d'autres conditions que celles dont nous avons fait mention.
Mais si au lieu de jeter en l'air une pièce ronde, comme un écu, on jetait une pièce d'une autre figure comme une pistole d'Espagne carrée, ou une aiguille, une baguette, etc., le problème demanderait un peu plus de géométrie, quoiqu'en général il fût toujours possible d'en donner la solution par des comparaisons d'espaces, comme nous allons le démontrer.
Je suppose que dans une chambre, dont le parquet est simplement divisé
par des joints parallèles, on jette en l'air une baguette, et que l'un des joueurs parie que la baguette ne croisera aucune des parallèles du parquet, et que l'antre au contraire parie que la baguette croisera quelques-unes de ces parallèles; on demande le sort de ces deux joueurs. On peut jouer ce jeu sur un damier avec une aiguille à coudre ou une épingle sans tête.
Pour le trouver , je tire d'abord entre les deux joints parallèles A B et C D
a in
du parquet, deux autres lignes parallèles a b et c d, éloignées des premières de la moitié de la longueur de la baguette E F , et je vois évidemment que tant que le milieu de la baguette sera entre ces deux secondes parallèles, jamais elle ne pourra croiser les premières dans quelque situation E F, c f, qu'elle puisse se trouver; et comme tout ce qui peut arriver audessus de a b arrive de même au-dessous de c d , il ne s'agit que de déterminer l'un ou l'autre; pour cela je remarque que toutes les situations de la baguette peuvent être représentées par le quart de la circonférence du cercle dont la longueur de la baguette est le diamètre; appelant donc 2 a la distance C A des joints du parquet, C le quart de la circonférence du cercle dont la longueur de la baguette est le diamètre, appelant 2 b la longueur de la baguette, et /"la longueur A B des joints, j'aurai f [a — b) c pour l'expression qui représente la probabilité de ne pas croiser le joint du parquet, ou ce qui est la même chose, pour l'expression de tous les cas où le milieu de la baguette tombe au-dessous de la ligne a b et au-dessus de la ligne c d.
Mais lorsque le milieu de la baguette tombe hors de l'espace a b d c, compris entre les secondes parallèles, elle peut, suivant sa situation, croiser ou ne pas croiser le joint ; de sorte que le milieu de la baguette étant , par exemple, en e, l'arc <p G représentera toutes les situations où elle croisera le joint, et l'arc G H toutes celles où elle ne le croisera pas, et comme
il en sera de même de tous les points de la ligne e <p, j'appelle dx\es petites parties de celte ligne , et y les arcs de cercle <p G, et j'ai f (s y d x) pour
l'expression de tous les cas où la baguette croisera, et f (bc — sy d x)
JH
/ If
pour celle des cas où elle ne croisera pas ; j'ajoute cette dernière expression
à celle trouvée ci-dessus f (a — b) c , afin d'avoir la totalité des cas où la baguette ne croisera pas, et dès lors je vois que le sort du premier joueur est à celui du second , comme a c — s y d x : s y d x.
Si l'on veut donc que le jeu soit égal , l'on aura a c =1 sy dx ou a =
s\^- , c'est-à-dire à l'aire d'une partie de cycloïde dont le cercle générateur
a pour diamètre 2 b, longueur de la baguette; or, on sait que celte aire de
cycloïde est égale au carré du rayon, donc a = — > c'est-à-dire. que la lon-
gueur de la baguelle doit faire à peu près les trois quarts de la dislance des joints du parquet.
La solution de ce premier cas nous conduit aisément à celle d'un autre qui d'abord aurait paru plus difficile, qui est de déterminer le sort de ces deux joueurs dans une chambre pavée de carreaux carrés, car en inscrivant dans l'un des carreaux carrés un carré éloigné partout des côtés du
carreau de la longueur b , l'on aura d'abord c (a — b)i pour l'expression d'une partie des cas où la baguette ne croisera pas le joint; ensuite on
trouvera {2a — b) sy dx pour celle de tous les cas où elle croisera, et
enfin c b (2 a — b) — (2 a — b) s ydx pour le reste des cas où elle ne croisera pas; ainsi le sort du premier joueur est à celui du second, comme
c(a — b)2 + cb [2a — b) — (ca-b)sydx: (2 a —b) s ydx. Si l'on veut donc que le jeu soit égal , l'on aura
i caa
c{a— b)* + cb{2a — b) = [2a — b)*sydx ou -^ -= Sri dx; mais comme nous l'avons vu ci-dessus, s y d x = bb;
donc * = bb; ainsi le côté du carreau doit être à la longueur de la
baguette, à peu près commet : 1, c'est-à-dire pas tout à fait double. Si l'on jouait donc sur un damier avec une aiguille dont la longueur serait la moitié de la longueur du côté des carrés du damier, il y aurait de l'avantage à parier que l'aiguille croisera les joints.
On trouvera par un calcul semblable, que si l'on joue avec une pièce de monnaie carrée, la somme des sorts sera au sort du joueur qui parie pour le joint , comme aac : i a b b V^\ — b3 — { A b. À marque ici l'excès de la superficie du cercle circonscrit au carré, et b la demi-diagonale de ce carré.
Ces exemples suffisent pour donner une idée des jeux que l'on peut imaginer sur les rapports de l'étendue. L'on pourrait se proposer plusieurs autres questions de cette espèce, qui ne laisseraient pas d'être curieuses et même utiles : si l'on demandait, par exemple, combien l'on risque à passer une rivière sur une planche plus ou moins étroite; quelle doit être la peur que l'on doit avoir de la foudre ou de la chute d'une bombe, et nombre d'autres problèmes de conjecture, où l'on ne doit considérer que le rapport de l'étendue , et qui par conséquent appartiennent à la géométrie tout autant qu'à l'analyse.
XXIV. — Dès les premiers pas qu'on fait en géométrie , on trouve l'infini, et dès les temps les plus reculés les géomètres l'ont entrevu; la quadrature de la parabole et le traité de Numéro arenœ d'Archimède, prouvent que ce grand homme avait des idées de l'infini , et même des idées telles qu'on les doit avoir; on a étendu ces idées, on les a maniées de différentes façons, enfin on a trouvé l'art d'y appliquer le calcul : mais le fond de la métaphysique de l'infini n'a point changé, et ce n'est que dans ces derniers temps que quelques géomètres nous ont donné sur l'infini des vues différentes de celles des anciens, et si éloignées de la nature des choses et de la vérité, qu'on l'a méconnue jusque dans les ouvrages de ces grands mathématiciens. De là sont venues toutes les oppositions, toutes les contradictions qu'on a fait souffrir au calcul infinitésimal ; de là sont venues les disputes entre les géomètres sur la façon de prendre ce calcul , et sur les principes dont il dérive ; on a été étonné des espèces de prodiges que ce calcul opérait, cet étonnement a été suivi de confusion; on a cru que l'infini produisait toutes ces merveilles; on s'est imaginé que la connaissance de cet infini avait été refusée à tous les siècles et réservée pour le nôtre;
enfin on a bâti sur cela des systèmes qui n'ont servi qu'à obscurcir les idées. Disons donc ici deux mots de la nature de cet infini, qui en éclairant les hommes semble les avoir éblouis.
Nous avons des idées nettes de la grandeur, nous voyons que les choses en général peuvent être augmentées ou diminuées, et l'idée d'une chose, devenue plus grande ou plus petite, est une idée qui nous est aussi présente et aussi familière que celle de la chose même; une chose quelconque nous étant donc présentée ou étant seulement imaginée, nous voyons qu'il est possible de l'augmenter ou de la diminuer; rien n'arrête, rien ne détruit cette possibilité, on peut toujours concevoir la moitié de la plus petite chose, et le double de la plus grande cbose; on peut même concevoir qu'elle peut devenir cent fois, mille fois , cent mille fois plus petite ou plus grande; et c'est celle possibilité d'augmentalion sans bornes en quoi consiste la véritable idée qu'on doit avoir de l'infini ; celle idée nous vient de l'idée du fini ; une chose finie est une chose qui a des termes, des bornes; une chose infinie n'est que celle même chose finie à laquelle nous ôtons ces termes et ces bornes : ainsi l'idée de l'infini n'est qu'une idée de privation , et n'a point d'objet réel. Ce n'est pas ici le lieu de faire voir que l'espace, le temps, la durée, ne sont pas des infinis réels; il nous suffira de prouver qu'il n'y a point de nombre actuellement infini ou infiniment petit, ou plus grand ou plus petit qu'un infini, elc.
Le nombre n'est qu'un assemblage d'unités de même espèce; l'unité n'est point un nombre, l'unité désigne une seule chose en général ; mais le premier nombre 2 marque non-seulement deux choses, mais encore deux choses semblables, deux choses de même espèce; il en est de même de tous les autres nombres : or ces nombres ne sont que des représentations et n'existent jamais indépendamment des choses qu'ils représentent ; les caractères qui les désignent ne leur donnent point de réalité, il leur faut un sujet ou plutôt un assemblage de sujets à représenter pour que leur existence soit possible; j'entends leur existence intelligible, car ils n'en peuvent avoir de réelle ; or un assemblage d'unités ou de sujets ne peut jamais êlre que fini, c'est-à-dire qu'on pourra toujours assigner les parties dont il est composé; par conséquent le nombre ne peut être infini, quelque augmentation qu'on lui donne.
Mais, dira-t-on, le dernier terme de la suite naturelle 1,2, 3, 4, etc., n'esl-il pas infini? n'y a-t-il pas des derniers termes d'autres suites encore plus infinis que le dernier terme de la suite naturelle? il paraît qu'en général les nombres doivent à la fin devenir infinis, puisqu'ils sont toujours susceptibles d'augmentation? A cela je réponds, que cette augmentation dont ils sont susceptibles prouve évidemment qu'ils ne peuvent êlre infinis; je dis de plus, que dans ces suites il n'y a point de dernier terme ; que même leur supposer un dernier terme, c'est détruire l'essence de la suite qui consiste
dans la succession des termes qui peuvent être suivis d'autres termes, et ces autres termes encore d'autres , mais qui tous sont de même nature que les précédents, c'est-à-dire tous finis, tous composés d'unités : ainsi lorsqu'on suppose qu'une suite a un dernier terme, et que ce dernier terme est un nombre infini, on va contre la définition du nombre et contre la loi générale des suites.
La plupart de nos erreurs, en métaphysique, viennent de la réalité que nous donnons aux idées de privation : nous connaissons le fini , nous y voyons des propriétés réelles, nous l'en dépouillons, et, en le considérant après ce dépouillement, nous ne le reconnaissons plus, et nous croyons avoir créé un être nouveau, tandis que nous n'avons fait que détruire quelque partie de celui qui nous était anciennement connu.
On ne doit donc considérer l'infini, soit en petit, soit en grand, que comme une privation, un retranchement à l'idée du fini, dont on peut se servir comme d'une supposition qui , dans quelques cas, peut aider à simplifier les idées, et doit généraliser leurs résultats dans la pratique des sciences : ainsi tout l'art se réduit à tirer parti de cette supposition, en tâchant de l'appliquer aux sujets que l'on considère. Tout le mérite est donc dans l'application, en un mot, dans l'emploi qu'on en fait '.
XXV. — Toutes nos connaissances sont fondées sur des rapports et des comparaisons : tout est donc relation dans l'univers; et dès lors tout est susceptible de mesure; nos idées même étant toutes relatives n'ont rien d'absolu. Il y a, comme nous l'avons démontré, des degrés différents de probabilités et de certitude. Et même l'évidence a plus ou moins de clarté, plus ou moins d'intensité, selon les différents aspects, c'est-à-dire suivant les rapports sous lesquels elle se présente: la vérité, transmise et comparée par différents esprits, paraît sous des rapports plus ou moins grands, puisque le résultat de l'affirmation , ou de la négation d'une proposition par tous les hommes en général, semble donner encore du poids aux vérités les mieux démontrées et les plus indépendantes de toute convention.
Les propriétés de la matière, qui nous paraissent évidemment distinctes les unes des autres, n'ont aucune relation entr.; elles; l'étendue ne peut se comparer avec la pesanteur, l'impénétrabilité avec le temps, le mouvement avec la surface, etc. Ces propriétés n'ont de commun que le sujet qui les lie, et qui leur donne l'être; chacune de ces propriétés, considérée séparément, demande donc une mesure de son genre, c'est-à-dire une mesure différente de toutes les autres.
1. Tout ce paragraphe XXIV est tiré textuellement de la Préface à la traduction des Fluxions. (Voyez les pages 148, 143 et 144.) Ceci nous a été une raison de plus de joindre cette Préface à cet Essai.
Mesures arithmétiques.
ïl n'était donc pas possible de leur appliquer une mesure commune qui fût réelle, mais la mesure intellectuelle s'est présentée naturellement; celle mesure est le nombre qui, pris généralement, n'est autre chose que Y ordre des quantités : c'est une mesure universelle et applicable à toutes les propriétés de la matière, mais elle n'existe qu'autant que cette application lui donne de la réalité, et même elle ne peut être conçue indépendamment de son sujet ; cependant on est venu à bout de la traiter comme une chose réelle , on a représenté les nombres par des caractères arbitraires, auxquels on a attaché les idées de relation prises du sujet, et par ce moyen on s'est trouvé en état de mesurer leurs rapports, sans aucun égard aux relations des quantités qu'ils représentent.
Cette mesure est même devenue plus familière à l'esprit humain que les autres mesures; c'est en effet le produit pur de ses réflexions : celles qu'il fait sur les mesures d'un autre genre ont toujours pour objet la matière, et tiennent souvent des obscurités qui l'environnent. Mais ce nombre, cette mesure qui, dans l'abstrait, nous paraît si parfaite, a bien des défauts dans l'application, et souvent la difficulté des problèmes dans les sciences mathématiques ne vient que de l'emploi forcé et de l'application contrainte qu'on est obligé de faire d'une mesure numérique absolument trop longue ou trop courte; les nombres sourds, les quantités qui ne peuvent s'intégrer, et toutes les approximations prouvent l'imperfection de la mesure, et plus encore la difficulté des applications.
Néanmoins il n'était pas permis aux hommes de rendre dans l'application celte mesure numérique parfaite à tous égards, il aurait fallu pour cela que nos connaissances sur les différentes propriétés de la matière se fussent trouvées être du même ordre, et que ces propriétés elles-mêmes eussent eu des rapports analogues, accord impossible et contraire à la nature de nos sens, dont chacun produit une idée d'un genre différent et incommensurable.
XXYI. — Mais on aurait pu manier cette mesure avec plus d'adresse, en traitant les rapports des nombres d'une manière plus commode et plus heureuse dans l'application : ce n'est pas que bs lois de notre arithmétique ne soient très-bien entendues, mais leurs principes ont été posés d'une manière trop arbitraire, et sans avoir égard à ce qui était nécessaire pour leur donner une juste convenance avec les rapports réels des quantités.
L'expression de la marche de cette mesure numérique, autrement l'échelle de notre arithmétique, aurait pu être différente: le nombre 10 était peut-
être moins propre qu'un autre nombre à lui servir de fondement; car, pour peu qu'on y réfléchisse, on aperçoit aisément que toute notre arithmétique roule sur ce nombre 10 et sur ses puissances, c'est-à-dire sur ce même nombre 10 multiplié par lui-même; les autres nombres primitifs ne sont que les signes de la quotité, ou les coefficients et les indices de ces puissances, en sorte que tout nombre est toujours un multiple, ou une somme de multiples des puissances de 10: pour le voir clairement, on doit remarquer que la suite des puissances de dix, 10°, 10', 102, 103, 104, etc., est la suite des nombres 1, 10, 100, 1,000, 10,000, etc., et qu'ainsi un nombre quelconque, comme huit mille six cent quarante-deux, n'est autre chose que 8 X 103 + 6 X 102 + 4 X 10' + 2 X 10°; c'est-à-dire une suite de puissances de 10, multipliée par différents coefficients; dans la notation ordinaire, la valeur des places de droite à gauche est donc toujours proportionnelle à cette suite 10°, 10', 102, 103, etc., et l'uniformité de celte suite a permis que dans l'usage on pût se contenter des coefficients, et sousentendre cette suite de 10 aussi bien que les signes + qui, dans toute collection de choses déterminées et homogènes, peuvent être supprimés; en sorte que l'on écrit simplement 8642.
Le nombre 10 e^t donc la racine de tous les autres nombres entiers, c'est-à-dire la racine de notre échelle d'arithmétique ascendante; mais ce n'est que depuis l'invention des fractions décimales que 10 est aussi la racine de notre échelle d'arithmétique descendante; les fractions |, {, j, etc., ou |, f , -f , etc., toutes les fractions en un mot dont on s'est servi jusqu'à l'invention des décimales, et dont on se sert encore tous les jours, n'appartiennent pas à la même échelle d'arithmétique, ou plutôt donnent chacune une nouvelle échelle; et de là sont venus les embarras du calcul, les réductions à moindres termes, le peu de rapidité des convergences dans les suites, et souvent la difficulté de les sommer; en sorte que les fractions décimales ont donné à notre échelle d'arithmétique une partie qui lui manquait, et à nos calculs l'uniformité nécessaire pour les comparaisons immédiates : c'est là tout le parti qu'on pouvait tirer de cette idée.
Mais ce nombre 10, celte racine de notre échelle d'arithmétique, était-elle ce qu'il y avait de mieux? Pourquoi l'a-t-on préféré aux autres nombres, qui tous pouvaient aussi être la racine d'une échelle d'arithmétique? On peut imaginer que la conformation de la main a déterminé plutôt qu'une connaissance de réflexion. L'homme a d'abord compté par ses doigts; le îiombre 10 a paru lui appartenir plus que les autres nombres, et s'est trouvé le plus près de ses yeux : on peut donc croire que ce nombre 10 a eu la préférence, peut-être sans aucune autre raison; il ne faut, pour en être persuadé, qu'examiner la nature des autres échelles, et les comparer avec notre échelle denaire.
Sans employer des caractères, il serait aisé de faire une h^nne échelle
denaire, bien raisonnée, par les inflexions et les différents mouvements des doigts et des deux mains, échelle qui suffirait à tous les besoins dans la vie civile, et à toutes les indications nécessaires: celle arithmétique est même naturelle à l'homme, et il est probable qu'elle a été et qu'elle sera encore souvent en usage, parce qu'elle est fondée sur un rapport physique et invariable, qui durera autant que l'espèce humaine, et qu'elle est indépendante du lemps et de la réflexion que les arts présupposent.
Mais en prenant même notre échelle denaire dans la perfection que l'invention des caractères lui a procurée, il est évident que comme on compte jusqu'à neuf, après quoi on recommence en joignant le deuxième caractère au premier, et ensuite le second au second, puis le deuxième au troisième, etc., on pourrait, au lieu d'aller jusqu'à neuf, n'aller que jusqu'à huit, et de là recommencer, ou jusqu'à sept, ou jusqu'à quatre, ou même n'aller qu'à deux ; mais, par la même raison, il était libre d'aller au delà de dix avant que de recommencer, comme jusqu'à onze, jusqu'à douze, jusqu'à soixanle, jusqu'à cent, etc., et de là on voit clairement que plus les échelles sont longues, et moins les calculs tiennent de place; de sorte, que dans l'échelle centenaire, où on emploierait cent différents caractères, il n'en faudrait qu'un, comme C , pour exprimer cent; dans l'échelle duodenaire, où l'on se servirait de douze différents caractères, il en faudrait deux, savoir. 8, i ; dans l'échelle denaire, il en faut trois, savoir, 1, 0, 0 ; dans l'échelle quartenaire, où l'on n'emploierait que les quatre caractères 0, 1, 2 et 3, il en faudrait quatre, savoir, 1,2, 1,0; dans l'échelle trinaire cinq, savoir, 1, 0, 2, 0, 1; et enfin dans l'échelle binaire, sept, savoir, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 0 pour exprimer cent.
XXVII. — Mais de toutes ces échelles , quelle est la plus commode, quelle est celle qu'on aurait dû préférer? D'abord il est certain que la denaire est plus expédilive que toules celles qui sont au-dessous, c'est-à-dire plus expédilive que les échelles qui ne s'élèveraient que jusqu'à neuf, ou jusqu'à huit ou sept, ou etc., puisque les nombres y occupent moins de place: toules ces échelles inférieures tiennent donc plus ou moins du défaut d'une trop longue expression, défaut qui n'est d'ailleurs compensé par aucun avantage que celui de n'employer que deux caractères 1 et 0 dans l'arithmétique binaire, trois caractères 2, 1 elO dans la trinaire, quatre caractères 3, 2, 1 et 0 dans l'échelle quartenaire, etc., ce qui, à le prendre dans le vrai , n'en est pas un, puisque la mémoire de l'homme en retient fort aisément un plus grand nombre, comme dix ou douze, et plus encore s'il le faut.
Il est aisé de conclure de là que tous les avantages que Leibnitz a supposés à l'arithmétique biliaire se réduisent à expliquer son énigme chinoise; car comment serait-il possible d'exprimer de grands nombres par
cette échelle, comment les manier, et quelle voie d'abréger ou de faciliter des calculs dont les expressions sont trop étendues?
Le nombre dix a donc été préféré avec raison à tous ses subalternes; mais nous allons voir qu'on ne devait pas lui accorder cet avantage sur tous les autres nombres supérieurs. Une arithmétique, dont l'échelle aurait eu le nombre douze pour racine, aurait été bien plus commode, les grands nombres auraient occupé moins de place, et en même temps les fractions auraient été plus rondes; les hommes ont si bien senti celte vérité, qu'après avoir adopté l'arithmétique denaire, ils ne laissent pas que de se servir de l'échelle duodenaire; on compte souvent par douzaines, par douzaines de douzaines ou grosses; le pied est dans l'échelle duodenaire la troisième puissance de la ligne, le pouce la seconde puissance. On prend le nombre douze pour l'unité; l'année se divise en douze mois, le jour en douze heures, le zodiaque en douze signes, le sou en douze deniers: toutes les p'.us petites ou dernières mesures affectent le nombre douze, parce qu'on peut le diviser par deux , par trois, par quatre et par six ; au lieu que dix ne peut se diviser que par deux et par cinq, ce qui fait une différence essentielle dans la pratique pour la facilité des calculs et des mesures. Il ne faudrait dans celte échelle que deux caractères de plus, l'un pour marquer dix et l'autre pour marquer onze; au moyen de quoi l'on aurait une arithmétique bien plus aisée à manier que noire arithmétique ordinaire.
On pourrait, au lieu de douze, prendre pour racine de l'échelle quelque nombre, comme vingt-quatre ou trente-six , qui eussent de plus grands avantages encore pour la division, c'est-à-dire un plus grand nombre de parties aliquotes que le nombre douze; en ce cas il faudrait quatorze caractères nouveaux pour l'échelle de vingt-quatre, et vingt-six caractères pour celle de trente-six, qu'on serait obligé de retenir par mémoire, mais cela ne ferait aucune peine, puisqu'on relient si facilement les vingt-quatre lettres de l'alphabet lorsqu'on apprend à lire.
J'avoue que l'on pourrait faire une échelle d'arithmétique, dont la racine serait si grande qu'il faudrait beaucoup de temps pour en apprendre tous les caractères : l'alphabet des Chinois est si mai entendu, ou plutôt si nombreux, qu'on passe sa vie à apprendre à lire. Cet inconvénient est le plus grand de tous: ainsi, l'on a parfaitement bien fait d'adopter un alphabet de peu de letlres, et une racine d'arithmétique de peu d'unités, et c'est déjà une raison de préférer douze à de très-grands nombres dans le choix d'une échelle d'arithmétique; mais ce qui doit décider en sa faveur, c'est que, dans l'usage de la vie, les hommes n'ont pas besoin d'une si grande mesure, ils ne pourraient même la manier aisément; il en faut une qui soit proportionnée à leur propre grandeur, à leurs mouvements et aux distances qu'ils peuvent parcourir. Douze doit déjà être bien grand, puisque dix nous suffit, et vouloir se servir d'un beaucoup plus grand nombre pour racine
de noire échelle d'usage, ce serait vouloir mesurer à la lieue la longueur d'un appartement.
Les astronomes, qui ont toujours été occupés de grands objets et qui ont eu de grandes distances à mesurer, ont pris soixante pour la racine de leur échelle d'arithmétique, et ils ont adopté les caractères de l'échelle ordinaire pour coefficient : cette mesure expédie et arrive très-promptement à une grande précision; ils comptent par degrés, minutes, secondes, tierces, etc., c'est-à-dire par les puissances successives de soixante; les coefficients sont tous les nombres plus petits que soixante; mais comme celte échelle n'est en usage que dans certains cas, et qu'on ne s'en sert que pour des calculs simples, on a négligé d'exprimer chaque nombre par un seul caractère, ce qui cependant est essentiel pour conserver l'analogie avec les autres échelles et pour fixer la valeur des places. Dans cette arithmétique, les grands nombres occupent moins d'espace ; mais, outre l'incommodité des cinquante nouveaux caractères, les raisons que j'ai données ci-dessus doivent faire préférer, dans l'usage ordinaire, l'arithmétique de douze.
Il serait môme fort à souhaiter qu'on voulût substituer cette échelle à l'échelle denaire; mais à moins d'une refonte générale dans les sciences, il n'est guère permis d'espérer qu'on change jamais notre arithmétique, parce que toutes les grandes pièces de calcul , les tables des tangentes, des sinus, des logarithmes , les éphémcrides, etc., sont faites sur cette échelle, et que l'habitude d'arithmétique, comme l'habitude de toutes les choses qui sont d'un usage universel et nécessaire, ne peut être réformée que par une loi qui abrogerait l'ancienne coutume, et contraindrait les peuples à se servir de la nouvelle méthode.
Après tout, il serait fort aisé de ramener tous les calculs à cette échelle; et le changement des tables ne demanderait pas beaucoup de temps, car, en général, il n'est pas difficile de transporter un nombre d'une échelle d'arithmétique dans une autre, et de trouver son expression. Yoici la manière de faire cette opération :
Tout nombre, dans une échelle donnée, peut être exprimé par une suite.
o xn+bx"-1 + cxn~- + dxn~3 + etc.
x représente la racine de l'échelle arithmétique; n la plus haute puissance de cette racine, ou, ce qui est la même chose, le nombre des places moins 1 ; a, b, c, d, sont les coefficients ou les signes de la quotité. Par exemple, 1738 dans l'échelle denaire donnera
en sorte que
uxn + bxn-j + cxn~2 + dxn~l
L'expression de ce même nombre dans une autre échelle arithmétique, seraw (a?±)B + p (x±y)v-i + q(x±y)v-2 + r (x±y)v~3.
y représente la différence de la racine de l'échelle proposée, et de la racine de l'échelle demandée ; y est donc donnée aussi bien que x. On déterminera v, en faisant le nombre proposé a a;" + bxn~l + cxn~i-{-dxn~3,elc., égal ( x + y y ou A = Bv; car en passant aux logarithmes, on aura v = J1-^. Pour déterminer les coefficients m,p, q, r, il n'y aura qu'à diviser le nombre proposé A par (x±y)v, et faire m égal au quotient en nombres entiers; ensuite diviser le reste par (x ± y) v~l > et faire p égal au quotient en nombres entiers; et de même diviser le reste par [x±y)v~2 , et faire q égal au quotient en nombres entiers, et ainsi de suite jusqu'au dernier terme.
Par exemple , si l'on demande l'expression dans l'échelle arithmétique quinaire du nombre 1738 de l'échelle denaire,
x=\0,y = — 5,ji= 1738,5= 5; donc,
log. 1738 3. 2400498 , ,
v = toi: — T = o. 69s97oo = i en nombres entiers.
Je divise 1738 par 54 ou 625, le quotient en nombres entiers est 2 = m, ensuite je divise le reste 488 par 53 ou 125 , le quotient en nombres entiers est 3 =p; et de même je divise le reste 113 par 52 ou 25, le quotient en nombres entiers est 4 = q; et divisant encore le reste 13 par 5' , le quotient est 2 = r : et enfin divisant le dernier reste 3 par 5° = 1 , le quotient est 3 =s; ainsi l'expression du nombre 1738 de l'échelle denaire, sera 23423 dans l'échelle arithmétique quinaire.
Si l'on demande l'expression du même nombre 1738 de l'échelle denaire dans l'échelle arithmétique duodenaire; on aura
x= 10,y = 2, A = 1738 , /? = 12; donc
log. (738 3. 2400498 « , ,.
v = i^~ ii- =i. 079.812= 3 en nombres entiers.
Je divise 1738 par 123 ou 1728, le quotient en nombres entiers est 1 = m; ensuite je divise le reste 10 par 12'-, le quotient en nombres entiers est 0 = p , et de même je divise ce reste 10 par 121, le quotient en nombres entiers est 0 = q; et enfin je divise encore ce reste 10 par 12°, le quotient est 10 = r; le nombre 1738 de l'échelle denaire sera donc 100K dans l'é-
