C. R., T. XX, p. 280 (3 février

On appelle, en Arithmétique, nombres complémentaires (') deux nombres dont la somme est une unité d'un certain ordre; et l'on dit de même, en Géométrie, que deux angles sont compléments l'un de l'autre, lorsque leur somme équivaut à un angle droit. En transportant cette locution dans l'analyse algébrique, nous appellerons variables complémentaires deux variables dont la somme sera l'unité. L'objet de ce Mémoire est de montrer les grands avantages que présente l'em-

(1) En étendant cette définition, oa a dit encore que deux nombres étaient compléments l'un de l'autre, quand ils offraient pour somme un nombre donne. L'usage des compléments dans les opérations de l'Aritlimélique est Tobjet spécial d'un Ouvrage publié en i8.i3 par M. Berthevin. En parcourant dernièrement cet Ouvrage, j'y ai trouvé, pour le calcul abrégé du produit de doux nombres, quelques règles dont chacune coïncide au fond avec celle que j'ai rapportée dans le Compte rendu de la séance du j 6 novembre 1840 [page 795 («)], et qui s'y trouve exprimée en termes tellement simples que, pour la démontrer, il suffirait do traduire son énoncé en formule algébrique.

C) Œuvres de Caucliy, S. I, T. V, p. 43i.

ploi des variables complémentaires dans le développement des fonctions en séries ordonnées suivant les puissances entières, positives, nulle et négatives, d'une ou de plusieurs variables.

Analyse.

§ I. — Considérations générales.

Soit

oc := r eP 'J~

une variable imaginaire dont r désigne le module et p l'argument. Nommons j une autre variable liée à iv par l'équation

Je dirai que les deux variables ^, y, dont la somme est l'unité, sont complémentaires l'une de l'autre. Soit maintenant

le rapport des deux variables complémentaires y et x. On tirera des équations (i) et (2), non seulement

(4) X — \ — Y, -rzrl+s.

Or il suit évidemment des formules (4) que toute fonction entière de X et de -» c'est-à-dire tout polynôme composé de termes proportionnels à des puissances entières, positives, nulle et négatives de x, pourra être transformé en une fonction entière des deux variables j, :?; et, réciproquement, il suit des formules (3) que toute fonction entière des deux variables 5, y pourra être transformée en un semblable polynôme. Donc, lorsqu'une fonction F(^) de la variable x aura été développée suivant les puissances entières, positives, nulle et néga-

tivcs de cette variable, il suffira de recourir aux équations (4) pour transformer ce développement en une série ordonnée suivant les puissances entières, mais positives de j, z. Si, au contraire, par un moyen ([uelconque, on est parvenu à développer ¥(x) en une série simple, ou même en une série double, ordonnée suivant les puissances entières, mais positives de y et z, il suffira de recourir aux équations (3^ pour transformer cette série en un développement ordonné suivant les puissances entières, positives, nulle et négatives de la variable x. H y a plus : on doit étendre cette remarque au cas où la fonction F(.r j serait développable en une série ordonnée suivant des puissances fractionnaires ou irrationnelles des variables j, z; ce qui arriverait, par exemple, si F(a7) pouvait être considérée comme le produit d'un facteur équivalent à une puissance positive ou négative, fractionnaire ou irrationnelle de la variable j, par un autre facteur développable en série ordonnée suivant les puissances entières et positives des deux variables j, z.

Il arrive souvent que le développement de la fonction V(a^) en une série ordonnée suivant les puissances entières de la variable x exige de lohgs calculs, et qu'il est, au contraire, facile de développer cette fonction en une série ordonnée suivant les puissances ascendantes de

la variable complémentaire y, et du rapport :; ou - de ces deux variables. Alors les transformations que nous venons de mentionner deviennent très utiles, et, par conséquent, la considération de la variable complémentaire fournit le moyen d'abréger notablement le travail.

D'ailleurs les formules que fournissent les diverses transformations dont nous venons de parler subsistent seulement sous certaines conditions et supposent évidemment la convergence des séries transformées. Il est essentiel de connaître ces conditions, et c'est pour y parvenir que nous avons établi la plupart des théorèmes énoncés dans la dernière séance. Nous allons, dans le paragraphe suivant, présenter quelques observations qui permettront d'introduire dans noire ana-

lyse une précision plus grande, et de donner aux théorèmes dont il s'agit une extension nouvelle.

§ II. — Théorèmes généraux.

Dans le Mémoire que renferme le Compte rendu de la séance du o.o janvier dernier, nous avons établi le théorème suivant : Théorème I. — Soii

une variable imaginaire dont p désigne l'argument. Soit encore f{x) une fonction de x qui se décompose en deux facteurs représentés, l'un par vs{x). Vautre par ï{y), y étant lui-même fonction de x; et supposons que ï(y) reste fonction continue de y pour tout module de y qui ne surpasse pas une certaine limite y. Enfin, soit A, le coefficient de af dans le développement de f{x) en série ordonnée suimnt les puissances entières de X ; et posons

Au développement de ï{y) en série ordonnée suivant les puissances entières et ascendantes de y correspondra un développement de A„ qui sera convergent si la valeur trouvée de Y rend convergente la série modulaire qui correspond au développement de l'intégrale

suivant les puissances entières et ascendantes de Y.

Corollaire/. - Supposons maintenant que u(x) reste fonction continue de^, pour tout module de x inférieur à une certaine limite x. Concevons d'ailleurs que la valeur de n soit positive, la lettre n représentant un nombre entier quelconque, et que le développement de F(^) en série ait été effectué pour un module r de o^ inférieur à x, mais très peu différent de x. Enfin prenons

L'intégrale (i), dans laquelle on devra supposer le module r de x inférieur à la limite x, deviendra

et, en raisonnant comme à la page i34 ('), on prouvera que le développement de l'intégrale ( 2) en série ordonnée suivant les puissances ascendantes de Y est convergent avec la série modulaire correspondante quand Y vérifie la condition

Corollaire II. — Concevons à présent que l'on prenne, non plus

mais

L'intégrale (i) deviendra

Or, si le rapport

i-hY

est inférieur à la limite x, la valeur de l'intégrale (3), comme on l'a déjà remarqué (page i35) (-), sera ce que devient l'expression

^{x) ~m{o) cj'(o) — ... GT^"-'Uo)

quand on y pose

Donc, par suite, pour que le développement de l'intégrale (3), suivant les puissances entières et ascendantes de Y, reste convergent avec la série modulaire correspondante, il suffira que le développement de la

(») OEuvres de Caachy, S. I, T. VIII, p. 43 1. (2) Ibid., p. 432.

OFAivres de C. — ^.\,X.V^. o

fonction

suivant les puissances entières et ascendantes cle Y, reste lui-même convergent avec la série modulaire qui correspond à ce dernier développement. La condition que nous venons d'énoncer doit être généralement substituée aux conditions (9) de la page i35 (*), et s'accorde d'ailleurs avec elles dans le cas spécial que nous avions particulièrement en vue, c'est-à-dire dans le cas où vs{x) se réduit à une puissance positive ou négative de i — o^. En effet, si, pour fixer les idées, on pose, comme dans le Compte rendu de la séance du 27 janvier (page 2i7)(-),

on en conclura

v{ il est clair que le développement de

suivant les puissances ascendantes de Y, sera convergent avec la série modulaire correspondante, quand Y vérifiera la condition

D'autre part, lorsque l'on pose

la limite x se réduit à l'unité, ce qui fait disparaître la première des conditions (9) en la réduisant à la formule

Y'<oo.

Ajoutons que, en vertu des observations précédentes, le théorème II de la page 187 (■') subsistera, non seulement quand la valeur de u{x^

( ') OFAivrex do Caucliy, S. I, T. VIII, p. 432.

(2) Ihid., p. 44o-

(3) Ibid., p. 434-

EXTRAIT iN° 277. 11

sora donnée par l'équation (4), mais encore dans le cas contraire, si, d'ailleurs, la valeur de Y rend convergente la série modulaire qui correspond au développement de la fonction

GT| ------

suivant les puissances entières et ascendantes de Y. Il y a plus : on pourra supposer, dans ce théorème, comme au commencement de ce paragraphe, que u(x) reste fonction continue de x seulement pour tout module de x inférieur à x, et que A„ représente le coefficient de^r" dans le développement de F(^), calculé pour un module de x inférieur à la limite x, mais très peu différent de cette limite. En conséquence, on pourra énoncer la proposition suivante :

Théorème II. — Soù

une variable imaginaire dont r désigne le module el p i argument. Soient, de plus, xsi^x) une fonction de x qui reste continue pour tout module de X inférieur à une certaine limite x, et f(y, z) une fonction de y, z qui demeure continue pour tous les modules de y, z qui ne surpassent pas Certaines limites y, z. Faisons d'ailleurs

et nommons V{x) une fonction de x déterminée par le système des équations

(5) F(x) = Gj(^-)f(j,--),

en sorte que, dans l' équation (.)), x, y représentent deux variables complémentaires, et z le rapport de ces variables. Enfin supposons que, pour un module de x inférieur à la limite x, mais très peu différent de cette limite, on ait développé la fonction F(x) suivant les puissances entières, positives, nulle et négatives de x, et que, la lettre n désignant un nombre entier quelconque, on représente par A^ le coefficient de x" dans le déve-

loppement de F(^). Alors, au développement de f(j', s) suivant les puissances entières et ascendantes de y, z, répondra un développement de A„ qui sera convergent avec la série modulaire correspondante si les valeurs de Y, Z vérifient la condition

et si, d ailleurs, la valeur trouvée de Y rend convergente la série modulaire qui correspond au développement de

GT

suivant les puissances entières et ascendantes de Y.

En partant du théorème qui précède et en raisonnant comme nous l'avons fait dans le Mémoire du 27 janvier (page 21 3, etc.) ('), on établira la proposition suivante, qui se trouvera substituée au théorème II de la page 216 (-).

Théorème III. — Soit xsi^x) une fonction de x qui reste continue, par rapport à la variable x, pour tout module de x inférieur à une certaine limite x. Soit, de plus, ï(^y,z) une fonction de y, z qui reste continue, par rapport à y et z, tant que le module de y ne surpasse pas une certaine limite y, ni le module de z une certaine limite z. Faisons d'ailleurs

et nommons F{x) une fonction de x, déterminée par le système des équations

Supposons que, pour un module de x inférieur à la limite x, mais très peu différent de cette limite, on ait développé la fonction Y(x) suivant les puissances entières, positives, nulle et négatives de x; désignons par n,

(!) OEuvres de Cauchy, S. I, T. VIII, p. 435, etc. r*) Ibid., p. 439.

m, m' trois nombres entiers quelconques, et représentons : i° par A^ le coefficient de x" dans le développement de YÇ^x); 2" par H,„ ,„- le coefficient du produit y^^z"'' dans le développement de f(y, z) suivant les puissances entières et ascendantes de y, z. Enfin, concevons que la fonction f(j', 5) renferme, avec y et z, divers paramètres

admettons que, pour des valeurs nulles de ces paramètres , chacune des limites y, z surpasse le nombre 2, et que les coefficients

^iif "m, m'

restent fonctions continues de

pour des modules de ces paramètres inférieurs à certaines limites. Si, pour^ de semblables modules, les valeurs de y, z sont telles que l'on ait constamment

et que le développement de la fonction

"(tty)

reste convergent avec la série modulaire correspondante, alors on aura toujours, entre les limites assignées aux modules des paramètres a,b^ . . . , a',b\...,

(8) A„:rr2H,„,„,A-^-'A-„,„

la somme qu'indique le signe E s étendant à toutes les valeurs entières, nulle et positives des nombres m, m! \ la valeur de k,^ étant

(9) ^"^ ^ / ^^'''^i^)dp,

et la lettre caractéristique A des différences finies étant relative au nombre entier n.

Corollaire I. — Si, pour fixer les idées, on suppose

S désignant une quantité quelconque positive ou même négative, alors non seulement la limite x du module de x se trouvera réduite à l'unité, mais de plus, en posant, pour abréger,

on aura

et par suite la formule (8) donnera (lo) A„" 2H,„,,„'[.v — m — /«']„+,„••

Corollaire IL — Si, dans la fonction

on remplace le facteur ï{y, z) par un produit de la forme

alors, eu égard aux équations

■r on aura identiquement

puis on en conclura

(n) H,„,,„={-iy"' ' ^ --^ — ^,

chacun des produits

devant être remplacé par l'unité, quand le nombre m ou m' s'évanouit.

Corollaire III. — Si l'on suppose ù la fois

ot, par suite,

OU tirera des formules (lo) et (i i)

Corollaire IV. — Concevons maintenant que, dans la formule (12), on pose

'j(.r) 1= (i — ax)^ (i — è j:-)"' . , . ^{x)

et

y{x) — {i — a'x)\^- (i — b'xy. . . X(.r),

a, V, . . . , a', v', . . . étant des exposants réels,

des paramètres réels ou imaginaires dont les modules

seront inférieurs à l'unité, et

deux fonctions de x dont chacune reste continue pour tout module fini de x. Alors, en raisonnant comme dans le précédent Mémoire, on reconnaîtra que le théorème III de la page 222 (') s'étend au cas même où l'exposant s cesse d'être renfermé entre les limites o, i. On pourra donc énoncer encore la proposition suivante :

Théorème I. — Soit F(^) une fonction déterminée par une équation de la forme

(') OEui'res de Cauchj, S. I, T. VIII, p. 44 J.

s désignant une quantité quelconque positive ou négative. Supposons, d'ailleurs,

a, V, . . . , [x', v', . .. étant des exposants réels, <P(ic), X(.cc) deux fonctions toujours continues de x, et

des paramètres dont les modules

soient tous inférieurs à l'unité. Enfin, supposons que, pour un module de X inférieur à la limite i , mais très peu différent de l'unité, on développe la fonction F(rr) suivant les puissances entières, positives, nulle et négatives de x, et que, n étant un nombre entier quelconque, on désigne par A„ le coefficient de x" dans le développement de Y {x). Si le plus grand des rapports

joint au plus grand des rapports

fournit une somme inférieure à l'unité, alors on aura

la valeur de \s^n étant déterminée par la formule

[']"=" FT^r::;^

Corollaire 1. — Si l'on nomme Y le plus grand des rapports

et Z le plus grand des rapports

on pourra énoncer très simplement le théorème IV en disant que, dans les suppositions admises, le coefficient A„ sera développable par la formule (i4) en une série convergente, si l'on a

Corollaire IL — On pourrait conclure immédiatement du théorème I (corollaire II) que la condition (i5), supposée remplie, assure la convergence du développement de k,i correspondant au développement du seul facteur X,(~ )' suivant les puissances ascendantes de la

variable ;s = — — i. En effet, l'équation (12) sera évidemment réduite à la forme

la valeur de z étant

in). '=-1-^

si l'on pose

(18) rn{x) = {i-jr)-^<?{a:), {{z) = x{i-z),

et il est clair que, dans ce cas, eu égard à la seconde des équations (i3), {(z) restera fonction continue de z, pour tout module de z inférieur au module représenté, dans la formule (i5), par la lettre Z. Alors aussi au développement de f(s) suivant les puissances entières et ascendantes de z correspondra un développement de A„ qui, en vertu du théorème I (corollaire II), sera convergent avec la série modulaire correspondante, si la valeur trouvée de Z rend convergente la série modulaire qui correspond au développement de la

fonction

Œuvres de C. — S. I, t. IX.

suivant les puissances ascendantes de Z. Mais, eu égard aux formules (i3) et (i8), on aura

(19) ct(^) =;(i--^)-*(i — a.v)^{i — hj^y. . . ^{x),

par conséquent

i + lj (n-Z)H--^''---*- \j-^zj'

et il résulte de la formule (20) que la série modulaire correspondante

au développement de cj(— -7 ) sera convergente si le module Z reste

inférieur, non seulement à l'unité, mais encore au plus petit des modules des rapports

Or ces deux conditions seront certainement remplies si les valeurs de Y, Z vérifient la formule (i5), puisqu'alors on aura, par exemple.

Z ■+- mod. < r,

Z < I — mod.

et que le module de — — — sera, ou égal, ou supérieur à la différence

I — mod.

Corollaire III. — En vertu des formules

l'équation (12) se réduit à

et la valeur de A„, donnée par la formule (i4)» est précisément celle

que l'on déduit de l'équation

quand on transforme ^{oc) en une série double, en développant ^(i j) suivant les puissances ascendantes de j, et 7.(n--s) suivant les puissances ascendantes de z. Ajoutons que, au lieu d'effectuer à la fois ces deux développements, on pourrait les effectuer l'un après l'autre, et qu'alors A„ se trouverait transformé, non plus en une série double, mais en une série simple dont chaque terme serait luimême la somme d'une autre série simple. Or il est bon d'observer que les deux séries simples dont il s'agit peuvent être l'une et l'autre convergentes, dans le cas même où la série double qui renferme tous les termes contenus dans les deux séries simples serait divergente. Dans un prochain article, j'établirai ce fait important, et je montrerai le parti qu'on en peut tirer pour l'extension des nouvelles formules et de leurs applications à l'Astronomie.

Analyse mathématique. — Mémoire sur des formules rigoureuses et dignes de remarque, auxquelles on se trouve conduit par la considération de séries multiples et divergentes .

G. R,, T. XX, p. 3î>9(io février i845).

J'ai déjà remarqué, dans un précédent Mémoire, l'usage légitime que l'on peut faire, dans certains cas, de séries simples et divergentes, pour obtenir les valeurs de certaines quantités, sinon avec une approximation indéfinie, du moins avec une approximation très grande, qui, souvent, est plus que suffisante pour les besoins du calcul. Dans ce nouveau Mémoire, j'irai plus loin et j'établirai une proposition qui semble paradoxale au premier abord. Je ferai voir comment, à l'aide de séries divergentes, on peut quelquefois déter-

miner les quantités inconnues, non plus seulement avec une grande approximation, mais, ce qui paraîtra plus étonnant, avec une approximation indéfinie, de manière à en obtenir des valeurs aussi approchées que l'on voudra. Or c'est effectivement ce qui peut arriver lorsque les séries employées dans le calcul sont multiples et divergentes. Entrons à ce sujet dans quelques détails.

Considérons, en particulier, une fraction rationnelle qui offre pour numérateur l'unité et pour dénominateur cette même unité diminuée de la somme de deux variables. On pourra développer cette fraction rationnelle en une progression géométrique dont la raison sera la somme dont il s'agit, puis développer chaque terme de la progression en une série simple par la formule du binôme. On obtiendra ainsi une série double ordonnée suivant les puissances ascendantes et entières des deux variables. Or cette série double sera évidemment convergente, si les modules des deux variables fournissent une somme inférieure à l'unité. Dans le cas contraire, la série double deviendra certainement divergente, attendu que, parmi les termes correspondants à des puissances très élevées des deux variables, quelquesuns deviendront très considérables. Néanmoins il est facile de s'assurer que, si la somme algébrique des deux variables et le module de chacune d'elles restent inférieurs à l'unité, on pourra grouper les termes de la série double de manière à la transformer en une série simple convergente, dont chaque terme sera lui-même la somme d'une autre série simple convergente. On y parviendra, par exemple, en supposant que la première série simple soit ordonnée suivant les puissances ascendantes de la première variable, et la seconde série simple, suivant les puissances ascendantes de la seconde variable.

Il importe de faire connaître le parti qu'on peut tirer, dans la haute analyse, du fait important que je viens de signaler. Les formules auxquelles je suis parvenu de cette manière sont particulièrement utiles dans la théorie des mouvements planétaires. Elles permettent d'exprimer, par exemple, toute perturbation relative au système de deux planètes et correspondante à deux multiples donnés des anomalies

moyennes, par une simple fonction des deux nombres entiers qui servent de coefficients à ces anomalies.

Analyse.

Considérons, pour fixer les idées, une série double, et supposons cette série divergente. On pourra souvent, dans cette hypothèse, partager les termes en divers groupes, de telle sorte que les termes compris dans chaque groupe forment une série simple convergente, et que les sommes des séries simples correspondantes aux divers groupes forment à leur tour une autre série simple qui soit encore convergente. Pour démontrer la vérité de cette assertion, considérons, en particulier, la série double produite par le développement de la fonction

suivant les puissances ascendantes de x et de y. Cette série sera certainement convergente, si les modules x, y des deux variables x, y vérifient la condition

(0 . x-Hy<i.

Car, tant que cette condition sera remplie, la fonction

restera continue par rapport aux deux variables x, y. Alors, pour obtenir le développement en question, il suffira de développer d'abord

la fraction suivant les puissances ascendantes de la somme

X -\- y, puis de développer chacune de ces puissances par la formule du binôme. On trouvera ainsi, premièrement

(2) i =i + (^jc-^y)-\-{x-]-yY-\-...,

puis

( 3 ) =:i + >r4-j + j7*+2 xy -I- y' + . . . .

Or, si Ton désigne par n un nombre entier quelconque, le terme proportionnel au produit a?" j", dans le second membre de l'équation (3), sera évidemment

(i .2. . .ny

De plus, le module de ce terme, ou le produit

se réduira simplement, pour de grandes valeurs de n, au rapport

(4xyr

D'ailleurs ce rapport décroîtra indéfiniment avec -> si l'on a

(4) 4xy<i,

et, par suite, si l'on a x 4- y< i, puisque, en vertu de la formule

(x^-y)2zzz/ixy + (x-y)^

la condition (i) entraîne toujours la condition (4). Mais, si l'on a, au contraire,

(•^) 4xy>i,

le rapport dont il s'agit croîtra indéfiniment avec n. Donc la série double produite par le développement de la fonction

cessera d'être convergente, et par suite la formule (3) cessera de subsister si la condition (5) se vérifie. Toutefois, si les modules des deux variables x,y et de leur somme x + y restent tous trois inférieurs à l'unité, alors, en groupant convenablement les termes de la série double, on pourra la transformer en une série simple convergente dont chaque terme soit lui-même la somme d'une autre série simple

et convergente. En effet, on y parviendra en réunissant, dans chaque groupe, tous les termes dans lesquels les exposants des variables x, y offrent une somme donnée, ou bien encore tous les termes proportionnels à une même puissance de x, ou enfin tous les termes proportionnels à une même puissance de y. Cela posé, la transformation de la série double en série simple produira, dans le premier cas, la formule

qui ne diffère pas de l'équation (2), et, dans les deux autres cas, les formules

(7) ^^ ^=^i + -^(^ +7+7' + ...) + ^Mj + 2J4-3j^ + .. ■)+•■■,

(^) j — ^- y ~'+/(^+-^-+--^' + ---) + 7Mi+2^ + 3a?^4- ■■■)+•••, qui, eu égard aux équations

peuvent s'écrire comme il suit :

7 \ — x {\ — xy

La formule (6) et les équations (7), (8), ou (9), (10) se vérifient, par exemple, dans le cas où l'on suppose

Il suit de ce qu'on vient de dire qu'on peut faire servir à la détermination des valeurs numériques des fonctions les développements de ces fonctions en séries multiples, même divergentes, pourvu que les termes des séries divergentes puissent être groupés entre eux de manière à former, dans chaque groupe, une série simple convergente.

Cette observation importante nous permettra de donner une extension nouvelle aux formules obtenues dans les précédents Mémoires.. C'est ce que nous montrerons, en commençant par généraliser encore quelques-uns des théorèmes que nous avons établis. Soit

une fonction des variables x, y, qui reste continue par rapport à j, lorsque, en attribuant à x un certain module x, on suppose le module de y inférieur ou tout au plus égal à une certaine limite y. Posons d'ailleurs

q désignant un argument réel. On aura, pour un module de j égal ou inférieur à y,

(II) f(^, y)^J / ^ J(a^,z)dq,

et, pour développer f(^,7) suivant les puissances ascendantes dey, il suffira de développer le rapport

dans le second membre de la formule (i i), en série ordonnée suivant les puissances ascendantes dej. Soit

(ta) «o> "i> ^'2)

la série ainsi obtenue. On aura, en désignant par m un nombre entier

quelconque,

Supposons maintenant que y devienne fonction de x, et que, le module de x étant x, l'on développe chaque terme de la série (12) en une nouvelle série ordonnée suivant les puissances entières, positives, nulle et négatives de x. Soient d'ailleurs

(i4) Uo, U„ U2, ...

les divers coefficients de af dans les développements ainsi calculés, n étant un nombre entier quelconque. Alors, en faisant

on trouvera

(i5) U^,^— / x-^u,ndp

et, par suite.

D'ailleurs, en vertu de l'équation (i6), le module de U,„ sera le même que celui de l'intégrale

la valeur de Y étant

et il est aisé d'en conclure que la série (12) sera convergente, si la série dont le terme général est l'expression

(18) — / x-''{Xy)"^{{x,z)dp

reste convergente, avec la série modulaire correspondante, pour toute valeur de z dont le module est y. Enfin il est clair que la série dont l'expression (18) est le terme général se confond avec le développement de l'intégrale