J^ 1 — Yr

suivant les puissances ascendantes de Y. On peut donc énoncer généralement la proposition suivante :

Théorème I. — Soit f(j7,j) une fonction de ce, y qui reste continue, par rapport à y, pour un module x de la variable x que Von suppose déterminée par l'équation

X t= xe^V-^,

OF.uvres de C. — S. I, t. IX. ' 4

et pour un module de y égal ou inférieur à une certaine limite y. Soit d'ailleurs

Uq, m,, «2) • • •

la série que fournit le développement de i'(x, y) suivant les puissances ascendantes de y, dans le cas où le module de y ne surpasse pas y, et supposons que, y devenant fonction de x, chaque terme de la série

Wfl, «1, Uv, . . •

soit développé suivant les puissances entières, positives, nulle et négatives de X. Alors, la lettre n désignant un nombre entier quelconque, et la

i:ialeur de Y étant

les coefjficients de x" dans les développements des divers termes

Uq, lli, u^, . . .

formeront une nouvelle séné qui sera convergente avec la série modulaire correspondante, si le développement de l'intégrale

('9) ^£^.^^î{œ,z)dp,

suivant les puissances entières et ascendantes de Y, reste lui-même convergent avec la série modulaire correspondante, z désignant une variable distincte dey, et qui ait pour module v.

Corollaire I. — Si l'on suppose que, dans le théorème 1, x, y représentent deux variables complémentaires, en sorte qu'on ait

alors, d'après ce qui a été dit à la page i34 ('), on obtiendra pour l'intégrale (19) un développement qui restera convergent avec la série modulaire correspondante, quand on aura

(») OEmres de Cauchy, S. I, T. VIII, p. 43i.

Corollaire II. — Si, dans le théorème I, on suppose

alors, d'après ce qui a été dit à la page 9, on obtiendra pour l'intégrale (19) un développement qui restera convergent avec la série modulaire correspondante, si le développement de la fonction

suivant les puissances entières et ascendantes de y, reste lui-même convergent avec la série modulaire qui correspond à ce dernier développement.

Corollaire III. — Supposons toujours que la fonction f(a7, y) reste continue par rapport à y, pour un module de y égal ou inférieur à y. Alors, 0 étant un nombre quelconque, la fonction ï{x, (}y) restera

continue par rapport à y, pour un module de y égal ou inférieur à ^ • Donc, si l'on substitue à la fonction î{x,y) la fonction ((oc, 6j), on devra, dans l'intégrale (19), remplacer le binôme

I — ¥7 = 1 — y-'/ par le binôme

'lYy = .-9Yy,

sans changer le facteur

f(jr, s),

attendu qu'une valeur de ce facteur correspondante au module y de sera, en même temps, une valeur de la fonction

correspondante au module | de :;. Donc, lorsqu'on remplacera f(^,y) par f(ir, 6j), la condition (20) se trouvera remplacée par la formule

(22) ÔY<i,

et la fonction (21) par la suivante

D'ailleurs, dans le cas dont il s'agit, le développement de la fonction ï(x, Gj), suivant les puissances ascendantes de y, sera aussi le développement de cette fonction suivant les puissances ascendantes de ô. Donc le théorème I entraînera encore ceux que nous allons énoncer.

Théorème II. — Soit f(x, y) une /onction de x, y qui reste continue, par rapport à y, pour un module x de la variable x que l'on suppose déterminée par l'équation

et pour un module de y égal ou inférieur à une certaine limite y. Supposons d 'ailleurs que, 9 étant un nombre quelconque, on pose

et que l'on développe

{{œ,ey)^{[œ,e{i-x)]

en une série double ordonnée suivant les puissances ascendantes de 6 et suivant les puissances entières de x. Alors, n étant un nombre entier quelconque, et la valeur de Y étant

les divers coefficients de x", dans la série double dont il s'agit, formeront une série simple qui sera convergente avec la série modulaire correspondante, si l'on a

(24) 9Y<i ou, ce qui revient au même,

Théorème III. — Soit f(j7, y) une fonction de x, y qui reste continue, par rapport à y, pour un module x de la variable x que l'on suppose dé-

terminée par l'équation

et pour un module de y égal ou inférieur à une certaine limite y. Supposons d'ailleurs que, ô étant un nombre quelconque, on pose

et que l'on développe

en une série double ordonnée suivant les puissances ascendantes de ô et suivant les puissances entières de x. Alors, n étant un nombî^e entier quelconque, et la valeur de Y étant

les divers coefficients de a?", dans la série double dont il s'agit, formeront une série simple qui sera convergente avec la série modulaire correspondante, si le développement de la fonction

suivant les puissances ascendantes de ô, reste lui-même convergent avec la série modulaire qui correspond à ce dernier développement, pour toute valeur de z qui offre un module égal y.

Désignons maintenant, pour abréger, par Y{x) la fonction de x représentée dans le théorème II par

OU, dans le théorème III, par

Supposons toujours que cette fonction F(ic) soit développée, d'une part, suivant les puissances ascendantes de 0, d'autre part, suivant les puissances entières de x, le module de x étant x. Concevons d'ailleurs

que la série simple, formée dans le développement dont il s'agit, par les divers coefficients de x", série qui se trouvera ordonnée suivant les puissances ascendantes de 0, reste convergente, en vertu du théorème II ou III, pour toute valeur de 0 inférieure à une certaine limite 0 ; et nommons B„ la somme de cette série simple. Si l'on attribue à ô une valeur variable réelle ou même imaginaire, la somme 6,^ restera fonction continue de G pour tout module de 6 inférieur à 0. Supposons à présent que l'on développe la fonction ¥(x), non plus en une série double, mais en une série simple ordonnée suivant les puissances entières de x, le module de x étant toujours x, et nommons A„ le coefficient de x'^ dans le nouveau développement de F(a?). On aura généralement, pour de très petites valeurs de 0,

En effet, puisque A« et B« seront les coefficients ou la somme des coefficients de x'^ dans la série simple et la série double qui représenteront les deux développements de F(a;), il est clair que la formule (27) devra subsister tant que la série double sera convergente, ce qui aura certainement lieu lorsque les modules de ^ et de 0 se rapprocheront assez, le premier de x, le second de zéro, pour que la fonction F(.'r) devienne, en vertu d'un tel rapprochement, toujours continue par rapport aux deux variables x, 6. D'ailleurs l'équation (27), étant vérifiée pour de très petites valeurs de 6, devra continuer de subsister (voir la séance du 20 janvier, page 120) (*), tant que A„ et B^. resteront fonctions continues de G. Elle devra donc subsister pour toute valeur de G inférieure à la limite 0, si la limite 0 est telle que la fonction A;, reste continue par rapport à G pour tout module de G inférieur k cette limite. Il y a plus : au lieu de supposer la limite 0 déterminée à l'aide du théorème II ou III, on pourra simplement astreindre cette limite k la condition que nous venons d'indiquer. Cela posé, on pourra évidemment, aux théorèmes II et III, joindre encore la proposition suivante :

Théorè3IE IV. — Soit f(^x, y) une fonction de x,y qui reste continue, (») Œuvres de Caiic/ij, S. I, T. VIII, p. 4i5.

par rapport à y, pour un certain module de x représenté par x, et pour un module de y inférieur à une certaine limite y. Supposons d'ailleurs que, ô désignant une nouvelle variable, on réduise, dans l'expression

H^, Oy), y à une fonction de x, en sorte qu'on ait, par exemple,

y =^i — X ou y -=z ■

Enfin, développons

considérée comme fonction de x et de G, en série ordonnée suivant les puissances entières, positives, nulle et négatives de x, le module de x étant X , etnommons A« le coefficient de x" dans le développement ainsi obtenu. Non seulement A« sera développable suivant les puissances ascendantes de la variable 0, tant que le module ô ne dépassera pas la limite au delà de laquelle A^ cesse d' être fonction continue de ô, mais, de plus, pour obtenir le développement de A„, il suffira de réunir tous les coefficients de x" qu'on obtient quand on développe {{x, ôy) en une série simple ordonnée suivant les puissances ascendantes de ô, puis chaque terme de cette série simple en une nouvelle série ordonnée suivant les puissances entières de x.

Aux diverses propositions que je viens d'établir, il convient de joindre encore un théorème très général et très utile, en vertu duquel le développement d'une fonction suivant les puissances entières d'une variable, calculé pour le cas où le module et l'argument de la variable offrent des valeurs très voisines de deux quantités données, conserve une forme inaltérable et demeure convergent, tandis que ce module et cet argument varient, pourvu que leurs variations simultanées soient telles que la fonction et sa dérivée ne cessent pas d'être continues, si d'ailleurs, dans le cas même où l'on tient compte de ces variations, les deux modules ou le module unique de la série simple, qui représentait primitivement le développement de la fonction, restent toujours inférieurs à l'unité. J'établirai, dans un prochain article, ce

théorème général avec les conséquences importantes qui s'en déduisent, puis j'appliquerai mes formules à la solution de diverses questions et, en particulier, des problèmes d'Astronomie.

Analyse mathématique. — Mémoire sur diverses propriétés remarquables et très générales des fonctions continues.