C. R., T. XX, p. 11G6 (21 avril

Dans les mouvements planétaires, les inégalités périodiques des divers ordres sont représentées, comme on le sait, par des intégrales simples ou multiples relatives au temps. De plus, les fonctions renfermées sous le signe T, dans les intégrales dont il s'agit, se réduisent aux dérivées de la fonction perturbatrice, différentiée par rapport à un ou à plusieurs des éléments elliptiques; et, comme les valeurs de ces intégrales ne peuvent se calculer en termes finis, on a cherché à en obtenir des valeurs approchées à l'aide de l'intégration par séries. On a été conduit, de cette manière, à développer la fonction perturbatrice en une série dont chaque terme pût être facilement intégré par

rapport au temps. Cette condition se trouve remplie lorsque, en suivant la marche généralement adoptée jusqu'ici par les géomètres, on suppose chaque terme proportionnel au sinus ou au cosinus d'un angle représenté par une fonction linéaire des anomalies moyennes des deux planètes que l'on considère, ou, ce qui revient au même, lorsqu'on suppose la fonction perturbatrice développée suivant les puissances entières des exponentielles trigonométriques qui ont pour arguments ces anomalies moyennes. Mais la série ainsi obtenue a l'inconvénient d'être une série double, ordonnée suivant les puissances entières de deux variables distinctes, et d'être souvent peu convergente, ce qui oblige quelquefois à calculer, pour obtenir des approximations suffisantes, un très grand nombre de termes. Les formules et les méthodes que j'ai indiquées dans les précédents Mémoires permettent de faire disparaître ces difficultés. A la vérité, il semble au premier abord que, en suivant ces méthodes, on peut perdre quelque chose sous le rapport de la généralité, et que les formules trouvées, du moins dans certains cas, s'appliquent seulement à des portions considérables de l'orbite qu'un astre décrit. Mais on peut modifier ces formules de manière à en obtenir d'autres qui subsistent au bout d'un temps quelconque. On peut, d'ailleurs, appliquer ces formules de diverses manières au développement de la fonction perturbatrice. Enfin, on peut les combiner avec de nouveaux théorèmes auxquels mes recherches m'ont conduit, particulièrement avec deux propositions qui me paraissent dignes de remarque, et que je vais énoncer.

Théorème I. — Étant données deux exponentielles trigonométriques dont les arguments sont proportionnels au temps, et une fonction développable suivant les puissances entières de la première exponentielle, on pourra toujours représenter par une intégrale définie simple relative au temps la partie non périodique de l'intégrale indéfinie, dans laquelle la fonction sous le signe j se réduirait au produit de la seconde exponentielle par la fonction donnée.

Théorème II, — La fonction perturbatrice, ou même une fonction quelconque des anomalies excentriques de deux planètes, peut toujours être décomposée en deux parties, dont la première est évidemment la dérivée exacte par rapport au temps d'une autre fonction dont il est facile d'assigner la valeur, tandis que la seconde partie est une fonction finie de l'anomalie moyenne relative à Vune des planètes et d' une nouvelle variable liée aux deux anomalies moyennes par une équation très simple.

Ce dernier théorème réduit l'intégration de la fonction perturbatrice à l'intégration d'une autre fonction qui peut être développée, à l'aide de la formule de Lagrange, en une série simple et rapidement convergente, ordonnée suivant les puissances ascendantes d'une fonction linéaire des deux excentricités.

J'ajouterai que, à l'aide des principes ci-dessus énoncés, on peut développer, ou la fonction perturbatrice, ou un facteur de cette fonction en une série simple ordonnée suivant les puissances ascendantes, non plus de deux exponentielles trigonométriques, mais d'une seule exponentielle dont l'argument soit proportionnel au temps. On pourrait, d'ailleurs, prendre pour cet argument, ou l'une des anomalies moyennes, ou, ce qui paraît préférable, un angle équivalent, soit à la différence des anomalies moyennes, soit à cette différence augmentée d'une quantité constante.

§ I. — Sur la série qu'on obtient quand on développe deux fonctions d'une seule variable suivant les puissances ascendantes de V exponentielle trigonométrique qui a pour argument cette même variable.

Soit f(a)) une fonction de la variable w qui reste finie et continue pour toutes les valeurs réelles de w comprises entre les limites

En vertu des principes établis dans le second Volume des Exercices de Mathématiques (^), f(oj) sera généralement développable en série ordon-

(>) OEuvres de Cauchy, S. II, T. VII, p. 366 et suiv.

née suivant les puissances entières de l'exponentielle trigonométrique

et, si l'on pose en conséquence

(i) f(co) = 2Â:„e''"v/^,

la somme qu'indique le signe S s'étendant à toutes les valeurs entières positives, nulle et négatives de n, on aura

(2) A:«=— Ç e-«"v/=^f(w)^co.

Supposons maintenant que la fonction f(a)) reste finie et continue pour toutes les valeurs réelles et finies de la variable co; et nommons u, l'angle variable qui, étant compris entre les limites