TT
vérifie les deux conditions
(3) cosu = cosw, sinu = sinco, en sorte qu'on ait généralement
i désignant une quantité entière positive, nulle ou négative. Alors, à la place des formules (i) et (2), on obtiendra les deux équations
(6) kn-— \ e-''W-if(a))rfu, dont la seconde peut s'écrire comme il suit :
k„= — e-«^vFîf(2i7H-u)rfu.
En partant des formules (5) et (7), on pourra aisément intégrer une ou plusieurs fois de suite la fonction f((o) par rapport à la
OF.iivrci de C. — S. I, t. IX. 25
variable la, ou, ce qui revient au même, par rapport à la variable u. Concevons, pour fixer les idées, que l'on cherche la valeur de l'intégrale
(Do désignant une valeur particulière de cd. Gomme on aura
' f ( 0) ) <ici) =r 1 f(6û)û?a) — / f(&))<ioi), Wo *^o «^0
le seul problème à résoudre sera évidemment de trouver la valeur de l'intégrale
' f(ûL))C^ûl).
Il y a plus : comme on aura encore
f f(&L))<ia)=/ f {(ù) dùi -i- I {{(3i) du
et
' f((i)) û?co = / f(&i)) c/u,
il est clair que, si l'on pose, pour abréger,
J^2i'iî x,2t:
I {{(ù)d(ù—l jf(u) + f(27: + u)+... 4-f[2(t — i)7: + u]|rfu,
on aura définitivement
(g) f i{(ù)dai — Q+ff{(^)dv,
et, par suite, eu égard à la formule (5),
Pour montrer une application très simple des formules (5) et (7),
posons
f(co) = e>^"N/^,
X désignant une quantité constante. Alors la formule (7) donnera
(II) A-^^-.«x,u^/risina-^__^X(a)-u)uv/=lsin(X-/.)7r
(A — n)7r (X — Ai)7t
On aura donc
(la) e>'"s/-i=e>(«-u)v/^ y !ill(AjZJ^e«uv/=^
^ (X — rt)7r
§ II. — Sur l'application des formules établies dans le § I, au calcul des inégalités périodiques des mouvements planétaires.
Soient
^ la distance mutuelle de deux planètes m, m' ; r, r' les distances de ces planètes au Soleil; B leur distance apparente, vue du centre du Soleil; p, p' les longitudes des deux planètes; C7, ct' les longitudes de leurs périhélies;
XI, II' les distances apparentes de ces périhélies à la ligne d'intersection des orbites; 1 l'inclinaison mutuelle de ces orbites; 7', T les anomalies moyennes des deux planètes; ^, \' leurs anomalies excentriques; £, e' les excentricités des deux orbites;
et posons, pour abréger,
On aura, non seulement
(i) t^ = r2-Hr'*— 2//-'cosô,
mais encore
- , ( cos(5 = cos(/? — cT4-n — o'+Gî' — n')
( — 2vsin(/? — GT-4-n)sin(/?'— nr' + II').
On aura, de plus,
(3) r=4> — esin^/,
cos'J; — e . , , (i-£^)^sin4>
(4) cos(/>-n.)=^3:f^^, sm{p-r^)= ,,^^,^ '
et les formules (3), (4) continueront de subsister, quand on y remplacera
p, T, 4^, CT, £
par
p', r, ^', rj5', e'.
D'ailleurs, en supposant £, i' et v assez petits pour qu'on puisse, sans erreur sensible, les remplacer par zéro dans les formules (2), (3), (4), . . ., on tirera de ces formules
p-XD=z^=T, p'-m' = ^'=T',
C0S5=: COSCO,
la valeur de co étant
On pourra donc prendre alors
et généralement on peut dire que, pour des valeurs peu considérables de £, £', V, la valeur de co déterminée par la formule (5) représentera une valeur approchée de S.
Soit maintenant R la fonction perturbatrice relative à la planète m, ou plutôt la partie de cette fonction qui se rapporte aux deux planètes m, m', on aura
„ m' m'rco&S
(6) R = -- + — pi-'
et, parmi les variations périodiques des éléments elliptiques de la planète m, celles qui seront du premier ordre par rapport aux masses se calculeront aisément si l'on sait intégrer une ou deux fois de suite, par rapport au temps, la fonction R et ses dérivées partielles prises
par rapport aux éléments dont il s'agit. Or, une semblable intégration ne pouvant s'effectuer en termes finis, on est obligé, pour résoudre la question, de recourir à l'intégration par série, et par conséquent de développer la fonction R en une série dont chaque terme puisse être facilement intégré par rapport au temps. Cette condition se trouve remplie lorsque, en suivant la marche généralement adoptée, on développe R en une série ordonnée suivant les puissances entières des deux exponentielles
Mais le développement ainsi obtenu a l'inconvénient d'être une série double, et la convergence de cette série est quelquefois assez lente pour obliger les géomètres à conserver, dans le calcul, un grand nombre de termes. Or il importe d'observer, en premier lieu, qu'on peut réduire la série double à une série simple en opérant comme il suit.
Soient [x et \l' les moyens mouvements des planètes m, m\ et posons-, pour abréger.
On aura
De plus, comme les valeurs de r, T seront de la forme
on en conclura
T-T'=(^-p.')t-{ij.z-ix'z').
Donc les parties variables des quantités
T, T', co
seront respectivement
lit, ii't, (^ — ^');,
et, par suite, les exponentielles
seront proportionnelles aux exponentielles
Cela posé, concevons que, la fonction R étant développée suivant les puissances entières de x et ce', on nomme
le coefficient du produit
dans le développement dont il s'agit. On aura
ou, ce qui revient au même, eu égard à la formule (7),
par conséquent 8) R=r2A«,„'„e'''^^e'^'>''wv/=7.
Soit d'ailleurs u celui des angles, renfermés entre les limites — t:, +7:, qui vérifie les deux conditions
(9) cosu=:cosw, sinu = sin&).
La différence
sera un multiple de 211; et, en nommant / une quantité entière quelconque, on tirera de la formule (12) du § I
En conséquence, la formule (8) donnera
OU, ce qui revient au même,
/ \ T. ■«■ 1 sinin'V — 1)ti ,.,, , ,— • r—
et, par suite,
(11) R=:2A„e'»yv^,
la valeur de A^ étant
(12) An=Z > ^ — 4 , , „ , pn'K'((j}~\J)<f-ï
\ f "*« ^ (/i'X'— /)Tr ^^«-/.«'-«+' ^ '" '
Ainsi la fonction perturbatrice R peut être développée en une série simple ordonnée suivant les puissances ascendantes de l'exponentielle trigonométrique
et, dans cette série, le coefficient A„ de la n'^""^ puissance de l'exponentielle dont il s'agit est déterminé par la formule (12), en vertu de laquelle il conservera la même valeur pour toutes les valeurs de co comprises entre deux termes consécutifs de la progression arithmétique
..., — ^Tz, —27:, o, 27r, 4îr,
La fonction R étant développée, comme on vient de le dire, en une série ordonnée suivant les puissances entières de
il deviendra facile d'intégrer par rapport à R, ou cette fonction, ou la dérivée de cette fonction différentiée par rapport à l'un des éléments elliptiques. Les formules qu'on obtiendra de cette manière seront analogues à l'équation (10) du paragraphe précédent. D'ailleurs, des intégrales relatives à w on déduira immédiatement les intégrales relatives à t, en ayant égard à la formule
ûfco — {[X — ^j.')dt,
de laquelle on tire
dt= ^^
Des deux parties qui composent la fonction R, une seule est difficile à développer, savoir celle qui est réciproquement proportionnelle à la
distance v. Considérons séparément cette partie, ou, ce qui revient au même, le rapport -• Si, en opérant comme on vient de le dire, on développe ce rapport en une série simple ordonnée suivant les puissances entières de l'exponentielle
la série obtenue sera, il est vrai, une série simple, mais elle pourra n'être pas très rapidement convergente. Pour rendre la convergence plus rapide, il suffira, conformément au principe établi dans un précédent Mémoire, de décomposer la fonction - en deux facteurs, dont le premier, étant d'une forme très simple, diffère peu de -> puis de laisser ce premier facteur inaltérable, et de développer le second facteur suivant les puissances entières de l'exponentielle
Si l'on nomme a, a' les demi grands axes des orbites décrites par les planètes m, m\ une première valeur approchée du rapport - sera l'expression
à laquelle on pourra réduire le premier facteur de -• On pourra, d'ailleurs, dans cette hypothèse, intégrer par rapport à t les divers termes du développement de -> à l'aide de formules analogues aux équations (26), (27) de la page 182. Ajoutons qu'il sera facile de modifier ces équations de manière qu'elles deviennent applicables à toutes les époques du mouvement, et subsistent pour des valeurs quelconques de t.
§ III. — Sur une transformation remarquable de la fonction
perturbatrice.
Conservons les notations adoptées dans le précédent paragraphe, et désignons par F('j;, -y), ou la fonction perturbatrice R, ou même, plus
généralement, une fonction donnée des anomalies excentriques '|i, -y, liées aux anomalies moyennes T, T par les deux équations
(i) r— 4> — £ sini];,
(2) 7"r=^'-£'sinJ>'.
Pour des valeurs de £ inférieures à une certaine limite, la fonction
pourra être développée suivant les puissances ascendantes de £, ou à l'aide du théorème de Lagrangc relatif au développement des fonctions implicites, ou encore à l'aide de la formule
de laquelle on tirera
(4) . ^{^,^)-2éC (T^-zr-')
OU, ce qui revient au même,
(5) F(^,f)=:2-^-^^^D^[(i-£C0s7^)siri«rF(7,^')],
la somme qu'indique le signe S s'étendant à toutes les valeurs entières, nulle et positives de n, et le produit i.i. ..n devant être remplacé par l'unité, quand n se réduit à zéro. D'autre part, comme les parties variables de T, T' seront respectivement
si l'on désigne par ^ une fonction quelconque de T, T' ou même de ^y y , on aura généralement
D,e=:|jLDrSH-p'Dr'G
et, par suite,
D, -fxDr+fJl'Dr. 0£MI'^« deC. - S. I, t. IX. 26
Il en résulte que D, sera généralement facteur de la différence
//«D^-(-fx'Dp)-
D5.(-?^-Dr'
et de la différence
Donc l'équation (5) pourra être présentée sous la forme
§ désignant une fonction nouvelle dont il sera facile d'assigner immédiatement la valeur. Ajoutons que, en vertu de la formule de Taylor, l'équation (6) pourra être réduite à
(7) F('4/,4;') = D,S + (i-£COsr)F(7','F),
W désignant une variable nouvelle que l'on déduira de y, en attribuant à T' un accroissement représenté par le produit
Ainsi, dans l'équation (7), W sera une fonction implicite de T et J', déterminée par la formule
(8) W-ssinW^T'-^-^sinT.
Si l'on applique le calcul des résidus à la détermination de la fonction
on trouvera
et, par suite,
D«, {f-£'cosT')l£'smT'- ^-^s\nTYF{T, T')\
La formule (7) réduit la détermination de l'intégrale
à la détermination de l'intégrale
On doit remarquer d'ailleurs que les deux expressions
se trouvent représentées, la première par une série double, et la seconde par une série simple seulement, quand on les réduit l'une et l'autre à des fonctions explicites de J, 7", en appliquant à la première la formule de Lagrange et, à la seconde, la formule (9). Ajoutons que, dans le passage de la série double à la série simple, la convergence pourra devenir sensiblement plus rapide si le rapport — est
notablement inférieur à l'unité. C'est ce qui arrivera en particulier si l'on prend pour m la planète Pallas, et pour m' Jupiter, attendu qu'alors on aura sensiblement
e=7 et !£ — —.
4 u li
§ IV. — Sur la détermination des parties non périodiques de certaines intégrales.
Soit f(a)) une fonction développable suivant les puissances entières de l'exponentielle
en sorte qu'on ait
le signe S s'étendant à toutes les valeurs entières, positives, nulle et négatives de /z. Supposons d'ailleurs que l'équation (i) subsiste pour
une valeur quelconque de w, et prenons
f e^"v/-if(co)rfw,
X étant une quantité constante. On aura, en vertu de la formule (i),
(« + /)v/— I ou, ce qui revient au même,
(3) S = lfc„ ^ ' --S, .
la valeur de e étant
Or, il est important d'observer que la constante e, c'est-à-dire la partie non périodique de s, peut être représentée par une intégrale définie simple. En effet, si, après avoir multiplié les deux membres de l'équation (2) par l'exponentielle e-'^'^^ , on intègre ces deux membres entre les limites
W = — 71, Cl) :=:: 71,
une intégration par parties, appliquée au premier membre de l'équation dont il s'agit, donnera
Dans d'autres articles, nous développerons les conséquences qui se déduisent des formules auxquelles nous sommes parvenu dans celui-ci.
Astronomie. — Mémoire sur des formules et des théorèmes remarquables, qui permettent de calculer très facilement les perturbations planétaires dont l'ordre est très élevé.
