C. R,, T. XX, p. i6i5>. (2 juin i

Les principes généraux que j'ai posés dans de précédents articles, et surtout dans le Mémoire du 17 mars de cette année, fournissent, quand on les applique à l'Astronomie, des résultats qui paraissent mériter l'attention des géomètres. Ces résultats seront l'objet spécial du présent Mémoire et de quelques autres que je me propose d'offrir plus tard à l'Académie. Les formules auxquelles je suis parvenu sont très simples et, par cela même, très propres au calcul des perturbations planétaires. Pour donner une idée des avantages que peut offrir leur emploi dans les calculs astronomiques, je vais énoncer ici deux théorèmes remarquables qui se déduisent immédiatement de ces formules.

Considérons le système de deux planètes m, m', et la fonction perturbatrice relative à ce système, ou plutôt la partie R de cette fonction qui est réciproquement proportionnelle à la distance des deux planètes. On calculera aisément les perturbations périodiques de la planète m, si l'on a d'abord développé la fonction R suivant les puissances entières des exponentielles trigonométriques qui ont pour arguments les anomalies moyennes, ou même les anomalies excentriques, le développement qu'on obtient dans le premier cas pouvant aisément se déduire de celui qu'on obtiendrait dans le second, à l'aide des transcendantes de M. Bessel. Cherchons, en particulier, le premier développement, et concevons qu'il s'agisse d'obtenir un terme correspondant à des perturbations d'un ordre élevé, c'est-à-dire un terme correspondant à des puissances très élevées des deux exponentielles. Ce terme sera évidemment connu, si l'on en connaît une valeur

particulière correspondante à des valeurs particulières données des deux anomalies moyennes. Or on obtiendra sans peine une telle valeur en opérant comme il suit.

Construisons une surface auxiliaire qui ait pour abscisses rectangulaires les deux anomalies moyennes, et pour ordonnée z le carré de la distance mutuelle. Supposons d'ailleurs que, après avoir mené un plan tangent à cette surface par un point donné P, on cherche, sur le plan tangent, un autre point S qui ait pour abscisses les deux abscisses du point P augmentées de deux nombres entiers n' et n. Par la droite PS faisons passer un plan normal à la surface; projeton,s sur l'axe des :; le rayon de courbure de la section normale ainsi obtenue, et concevons que la moitié de la projection algébrique de ce rayon de courbure soit substituée, dans la fonction perturbatrice, au carré de la distance mutuelle des deux planètes. Enfin, multiplions le résultat ainsi trouvé par le rapport de la distance des deux points P et S à la circonférence dont le rayon est l'unité. Le produit auquel on parviendra sera une nouvelle fonction des anomalies moyennes, que nous appellerons la fonction auxiliaire et qui renfermera, outre ces anomalies, les deux nombres entiers n! , n. Cela posé, on peut énoncer la proposition suivante :

Théorème I. — Concevons que Von développe la fonction perturbatrice relative au système de deux planètes m, m\ ou plutôt la partie de cette fonction qui est réciproquement proportionnelle à leur distance mutuelle, en une série ordonnée suivant les puissances entières de deux variables x, x' représentées par les exponentielles trigonométriques qui ont pour arguments les anomalies moyennes. Cherchons d'ailleurs, dans le développement ainsi formé, un terme proportionnel à des puissances très élevées, l'une négative, l'autre positive, de ces deux variables, les exposants des deux puissances étant, aux signes près, n et n' . Le terme dont il s'agit deviendra sensiblement égal à la fonction auxiliaire, pour un système particulier de valeurs imaginaires de deux variables x, x' , savoir, pour des valeurs imaginaires qui, en réduisant à zéro la distance mutuelle de

deux planètes, réduiront le module du rapport qu'on obtient en divisant l'unité par le produit des deux puissances à an module principal.

Il est bon d'observer que l'expression analytique de la fonction auxiliaire peut être présentée sous une forme très simple. En effet, pour obtenir cette fonction auxiliaire, il suffit de diviser par la circonférence dont le rayon est l'unité le résultat qu'on obtient lorsque dans la fonction perturbatrice on substitue au carré de la distance mutuelle des deux planètes la moitié de la différentielle seconde de ce même carré, différentié deux fois de suite par rapport aux anomalies moyennes, après avoir remplacé, dans cette différentielle seconde, les différentielles des anomalies moyennes des planètes m et m' par les nombres entiers n' et n.

Ajoutons que l'on peut, sans inconvénient, remplacer tout à la fois dans la construction de la surface auxiliaire, dans la fonction auxiliaire et dans le théorème énoncé, les anomalies moyennes des deux planètes par leurs anomalies excentriques.

Gomme l'ont remarqué les géomètres, les termes qu'il importe surtout de calculer, parce qu'ils peuvent fournir des perturbations sensibles, sont ceux qui répondent au cas où les nombres entiers n, n' sont à très peu près en raison inverse des moyens mouvements des deux planètes. En supposant cette condition remplie, on obtient, outre le premier théorème, un second théorème qui paraît digne de remarque, et dont voici l'énoncé :

Théorème II. — Les mêmes choses étant posées que dans le théorème 1, cherchons, dans le développement de la fonction perturbatrice, un terme dans lequel les exposants n, n' soient à très peu près en raison inverse des moyens mouvements [jl, u,' des deux planètes. Alors, pour obtenir la fonction auxiliaire, il suffira de multiplier le rapport de tx à n' par le rapport du rayon à la circonférence, et par la valeur que prend la fonction perturbatrice quand on y remplace le carré de la distance des deux planètes par la moitié de la dérivée seconde de ce carré différentié deux fois de suite- par rapport au temps.

On peut observer que, dans ce dernier cas, les équations simultanées desquelles on doit tirer les valeurs imaginaires des anomalies moyennes se réduisent, à très peu près, aux deux équations qu'on obtient quand on égale à zéro la distance mutuelle des deux planètes et la dérivée première de cette distance différentiée par rapport au temps.

Les propositions que je viens d'énoncer réduisent, comme on le voit, le calcul des perturbations d'un ordre élevé à la résolution d'équations simultanées qui doivent être vérifiées par des valeurs imaginaires des variables. Il importait donc d'obtenir un moyen facile de calculer les racines imaginaires de plusieurs équations simultanées. J'ai été assez heureux pour trouver une méthode générale et rigoureuse qui permet d'évaluer immédiatement ces racines, en réduisant leur recherche à la résolution d'équations simultanées du premier degré. Cette méthode sera indiquée succinctement dans le dernier paragraphe du présent Mémoire.

Analyse.

I I. Sur le développement de la fonction perturbatrice.

Soient, au bout du temps t,

X la distance de deux planètes m^ m'\ T, T' leurs anomalies moyennes; (]>, -y leurs anomalies excentriques.

La fonction perturbatrice relative à la planète m offrira un terme proportionnel k -• On pourra d'ailleurs développer ce terme suivant les puissances entières des exponentielles

OU bien encore suivant les puissances entières des exponentielles

et, si l'on nomme

le coefficient de

dans le développement de - on aura, d'une part,

t d'autre part,

(2) ^=22cil.,-,„e""'+'-""'î"^'=^,

les sommes qu'indiquent les signes 2 s'étendant à toutes les valeurs entières positives, nulle et négatives de n et de n'.

Ajoutons que, sans altérer les formules (i) et (2), on pourra évidemment y changer le signe de n ou de n' . On pourra donc aux équations (i) et (2) substituer les suivantes

(3) ^=22Av,-„e"'"^'-''^'v^=^,

(4) -=llXn' -ne"'^''"^'^',

les sommes qu'indiquent les signes S s'étendant toujours à toutes les valeurs entières positives, nulle et négatives de n et de n' . Faisons maintenant, pour abréger,

et

On

aura,

en

conséquence.

et la formule (3) donnera simplement

Oeuvres de C. — S. 1, t. IX.

Supposons d'ailleurs que, n, n' étant positifs, on attribue à x, x' des valeurs imaginaires qui, en réduisant la distance t à zéro, et par suite x' à une fonction de x, réduisent le module du rapport

à un module principal minimum. Les valeurs imaginaires correspondantes des anomalies moyennes T, T' vérifieront les deux équations simultanées

(7) A — o, /i'Drc'a4-nDr<îft.=:o;

et, en attribuant à T, T' ces mêmes valeurs, puis à n et n' des valeurs positives très considérables, on déduira aisément des principes établis dans la séance du 17 mars dernier une valeur très approchée du terme

qui, dans le développement de -, est proportionnel à l'exponentielle

ou, ce qui revient au même, au produit

On trouvera ainsi

(8) A. ^^„,,„.v,„n,/rT^ i + a/'/^'^Dr-^+2/m-DrDr^ + /^^Df-.^y^

a étant infiniment petit pour des valeurs infiniment grandes de n et de n'.

Si, au contraire, on assigne à ^, 'Y des valeurs imaginaires qui, en réduisant v à zéro, réduisent le module de l'exponentielle

considérée comme fonction des variables e^^ , é^^\ à un module principal minimum, ces valeurs imaginaires vérifieront les équations simultanées

(9) <iR-r=o, /i'D^^ + /iD^'cifl = o;

ot, en attribuant à ^, ^' ces mêmes valeurs, puis kneilun' des valeurs

positives très considérables, on trouvera

(lO) tU,,' „e — 1 . I ,

a étant infiniment petit pour des valeurs infiniment grandes de n et de n'.

Il est bon d'observer que, si l'on nomme £, £' les excentricités des orbites décrites par les planètes m, m', on aura

7^— (I; — esirn];, r'= J/'— s' sin-V et, par suite.

Lorsque, n, n' étant de grands nombres, les excentricités £, s' sont assez petites pour que les produits

n'aient pas des valeurs considérables, on peut en dire autant des deux exponentielles

n £ sin ']/ ^— 1 — II' S.' s\n<h'\/—i

qui offrent des arguments proportionnels à ces produits; et alors une valeur très approchée de A„',„ peut se déduire de la formule (lo) jointe à la suivante

V'; ^n .-n^ '" — =/io„-^„e ^ ^ (i — ecosu;)(i — £ cosi]> ).

Les valeurs de A,,;„, auxquelles correspondent des perturbations sensibles des planètes m et m', sont principalement celles qu'on obtient dans le cas où le rapport des nombres entiers n, n' est à très peu près égal, non pas au rapport direct des moyens mouvements [X et [x' des deux planètes, mais au rapport inverse, en sorte qu'on ait sensiblement

(12) -rrzii.

Or, comme on a rigoureusement

(i3) fjLDr'^4-i^'Dr^ = D,<a

et

(i4) ixBl-si + ^ixix'DtDt^ -f- ix'^B^r^ = ^f^,

il est clair que, dans le cas dont il s'agit, on pourra remplacer la formule (8) par la suivante

(i5) A„..„e<"'^'-«^)v^=l±^iiflD?.R^ ',

a étant toujours infiniment petit pour des valeurs infiniment grandes de n et de n' .

Ajoutons que, dans le même cas, les valeurs imaginaires de r, T\ tirées des équations (7), seront très voisines des valeurs J, T' déterminées par les formules

(16) SK. — 0, D<<R = o.

Néanmoins, on ne pourra pas toujours les substituer les unes aux autres, quand il s'agira d'évaluer les produits

et de fixer par suite la valeur de l'exponentielle

En effet, pour obtenir une valeur très approchée du produit nT par exemple, il est nécessaire de conserver, dans T, les quantités de l'ordre du rapport -•

Il est aisé de s'assurer que le premier membre de chacune des équations (7), (9) se réduit à une fonction algébrique et rationnelle des deux exponentielles

Par suite, la résolution des deux équations (7) ou des deux équa-

lions (9) peut être réduite à la résolution d'une seule équation dont le premier membre soit une fonction entière d'une seule de ces exponentielles.

Remarquons encore que la résolution des équations (7) fournira généralement, non pas un seul système, mais plusieurs systèmes de valeurs imaginaires des exponentielles

D'ailleurs ces systèmes seront conjugués deux à deux, de telle sorte que, dans le passage de l'un de ces systèmes au système conjugué, chacune des expressions imaginaires x, x' conserve le même argument, en prenant un module inverse; et, pour éviter des calculs inutiles, il conviendra de se borner à rechercher celui de ces systèmes qui, étant substitué dans la formule (8), fournira la valeur approchée de A„',„. Or, en vertu des principes exposés dans la séance du 17 mars, la fonction Si. devra évidemment rester continue, tandis que les modules des expressions imaginaires

primitivement égaux à l'unité, varieront et se rapprocheront indéfiniment des modules des valeurs de x, x\ déterminées par les équations (7). Il en résulte que, parmi les différentes valeurs de x, x' propres à vérifier ces équations, on devra chercher seulement celles qui offriront les modules les plus voisins de l'unité. Deux systèmes conjugués de valeurs de x, x' satisfont à cette dernière condition; et un seul de ces deux systèmes, savoir, celui que fournira pour le produit

un module inférieur à l'unité, offrira les valeurs de x et de x', ou plutôt de T et de 7", qui devront être substituées dans la formule (8). Observons d'ailleurs : i** que le module de x ou de x' se rapprochera de l'unité, lorsque dans T ou dans T' le coefficient de y — i se

rapprochera de zéro; 2^ que le module du produit

sera inférieur à l'unité, lorsque dans la différence

nT—n'T'

le coefficient de y — i sera positif.

§ II. — Sur la résolution des équations simultanées.

L'emploi des formules générales que nous avons établies dans le paragraphe précédent exige la résolution d'équations simultanées, par exemple la détermination des valeurs imaginaires de T, T' propres à vérifier les équations (7). D'ailleurs, en vertu des remarques faites à la fin de ce paragraphe, on devra résoudre ces équations de manière que les modules des exponentielles

se rapprochent le plus possible de l'unité, et que le produit x^x'-"' offre un module inférieur à l'unité. Enfin, en négligeant dans un premier calcul certaines quantités, par exemple les excentricités des deux orbites, ou l'une des excentricités et l'inclinaison, lorsque ces quantités sont très petites, on peut obtenir facilement des valeurs approchées des variables x, x' assujetties à vérifier les équations (7). On pourra ensuite achever la détermination des racines cherchées à l'aide d'une méthode générale qui fournit la résolution d'un système quelconque d'équations algébriques ou transcendantes, et que je vais indiquer en peu de mots.

Soient

n fonctions de n variables

et supposons que ces fonctions restent continues, du moins pour des

modules de x,y, z, ... compris entre certaines limites. Soient encore

les valeurs particulières de u, i^, w, ... correspondantes à certaines valeurs réelles ou imaginaires

des variables x,y, z, . . . , les modules de x, y, z, . . . étant renfermés entre les limites dont il s'agit, et nommons

Au, Av, Aw, . . .

les accroissements de u, v, w, ... correspondants à certains accroissements

Ax, Ay, Az, ...

de X, y, z, .... Enfin, désignons par

Ui, Vi, w,, ...,

Us, V3, W3, ...,

par puis par

etc., des fonctions entières de Ax, Ay, Az, ... qui soient respectivement du premier, du second, du troisième degré, et qui représentent les termes des divers ordres dans les développements de Au, Av, Aw, . . . fournis par la série de Taylor, en sorte qu'on ait, par exemple,

i u 1 = Dx u Ax + Dy u Ay -I- . . . , (0 \ V, = D^v Ax H- Dy V Ay -}-. . . ,

Alors, pour de très petits modules des accroissements Ax, Ay, Az, . . . , on aura rigoureusement

/ Au = U,4-U2+U3 + ...,

( ^ ) '1 Av = Vi + V2 + V3 H- . . • ,

et, à très peu près,

(3) Au=Ui, Av = Vi, ....

Cela posé, concevons qu'il s'agisse de trouver des valeurs de w, y, z, ... propres à résoudre les équations simultanées

S'il existe de telles valeurs qui différent peu de x, y, z, . . . , on devra les obtenir en attribuant à x, y, z, ... certains accroissements Ax, Ay, Az, . . . , choisis de manière à vérifier rigoureusement les équations

( 5 ) u -f- Au = o, V + Av = o, w + Aw = o, . . . ,

et, approximativement, eu égard aux formules (3), les équations

(6) UH-Ui=0, V + Vi=:0, \V-hWi=0, ....

Ces dernières équations seront du premier degré par rapport aux

accroissements

Ax, Ay, Az, ....

Nommons

l, -ri, K, ■ .-

les valeurs qu'elles fournissent pour ces mêmes accroissements. Si, en posant

(7) X — X + l, y = j-\-f], ^=:Z-hÇ, ...,

on obtient pour

u + Au, V + Av, w + Aw,

des expressions dont les modules soient inférieurs à ceux de u, v, w, ... ; alors, en passant des valeurs de a?, j, s, ... , représentées par X, y, z, . . . , aux nouvelles valeurs représentées par x -+- ?, y H- y]» z-\-t, . . . , on aura fait un pas vers la résolution des équations (4). Dans le cas contraire, on devra aux valeurs

substituer des valeurs de la forme

xH-9x, y-+-Oy, z + 6z, ...,

0 désignant un nombre inférieur à l'unité, et réduire successivement le facteur 0 aux divers termes de la progression géométrique

jusqu'à ce que, aux valeurs de ce, y, z, . . . , représentées par

X + 0C, y + ^Y), z + ôç, ..., correspondent des modules de

u+Au, V + Av, w -f- Aw, ..., respectivement inférieurs aux modules de

Or, c'est ce qui finira nécessairement par arriver; car, puisque, en posant

Ax=:^, Ay — Y5, Az=rÇ, ...,

on aura, en vertu des formules (6),

(8) Ui = — u, Vi=:— V, W-, = — W,

et, par suite,

( ^DxU -h Y)l)y u +. . .— -— u,

( ^ D^ V + rî Dj V + . . . = — V, il est clair que, en posant

(lo) ^\ = Bl, Ay = Or], Az — ÔC, ...,

on tirera des formules (i)

(n) Ui — — 0U, \\=:—d\, ....

Or, en vertu de ces dernières équations, jointes aux formules (5), on

aura

iu + Au = ( I — ô ) u + U2 -1- Uj -f . . . , V 4- Av n: (l — 0)V -}- V2 4- V3-+-. . ., >

OEui-res de C. ~ S.], \.\\. a8

et, comme, eu égard aux équations (lo),

seront proportionnels à ô^,

proportionnels à 0% etc., on conclura des formules (12) que, pour de très petites valeurs positives de G, le module de u 4- Au deviendra inférieur à celui de u, le module de v -t-Av inférieur à celui de v,

En résumé, quelles que soient les valeurs de œ, y, z, . . . , représentées par X, y, z, . . . , on pourra modifier ces valeurs par une première opération, de manière à faire décroître le module du premier membre de chacune des équations (4). Une seconde opération, semblable à la première, fera décroître encore les mêmes modules; et, ce décroissement n'ayant pas de terme, du moins tant que les fonctions proposées ne cessent pas d'être continues, on finira par résoudre ainsi les équations (4).

' Lorsque les équations proposées se réduisent à une seule, les équations (6) ou (9) se réduisent à la seule formule

(i3) ID^H=— u,

de laquelle on tire

Cette dernière équation n'est autre que la formule donnée par Newton comme propre à fournir des valeurs approchées successives d'une racine réelle d'une équation donnée. Alors aussi la méthode que nous avons exposée s'éloigne peu de celle que Legendre a donnée pour la résolution approximative d'une seule équation, dans la dernière édition de la Théorie des nombres. Seulement, afin d'obtenir une règle positive de calcul, il nous a paru nécessaire de fixer avec précision les valeurs qu'il convenait d'attribuer successivement au nombre 0. L'indication de ces valeurs, omise par Legendre, vient en aide au cal-

culateur embarrassé de savoir comment il devait opérer pour passer, sans beaucoup de peine, d'une première à une seconde valeur approchée de la racine x.

La marche indiquée ne pourrait plus être suivie si, parmi les valeurs de

Ui, Vi, Wi, ...,

déterminées par les équations (i), une ou plusieurs devenaient identiquement nulles, indépendamment des valeurs attribuées à

Ax, Ay, ....

Alors, toutefois, on pourrait encore modifier la méthode de manière à obtenir la résolution des équations (4). Supposons, pour fixer les idées, que, le nombre des variables x, y, ... étant réduit à deux, une ou plusieurs des expressions

et même une ou plusieurs des expressions

deviennent identiquement nulles, u^ étant, dans la suite u,, u^, ..., et v,„ dans la suite v, , Vo, . . . , les premiers termes qui ne se réduisent pas identiquement à zéro. Alors, pour déterminer les valeurs de ^x, Aj ci-dessus représentées par ^ et y], on devra recourir, non plus aux équations

U-+-U,=:0, V + Vi=:0,

mais aux deux suivantes

Or la recherche des valeurs de Ao?, Aj propres à vérifier simultanément les formules (i5) pourra être réduite à la recherche des valeurs

Av de ^ qui vérifieront la seule équation

ou même la seule équation

d étant le plus grand commun diviseur des nombres entiers /, m. Donc la résolution des deux équations simultanées

dépendra, dans le cas d'exception indiqué, de la résolution de la seule équation (i6). On pourra d'ailleurs appliquer à cette dernière équation la méthode relative au cas où l'on considère une seule variable. Ajoutons que l'équation (i6) pourra être résolue directement en termes finis, si le plus petit des nombres entiers, divisibles par / et par m, ne surpasse pas le nombre 4-

Rapport sur la singulière aptitude d'un enfant de six ans et demi

pour le calcul.