C. R., T. XXI, p. 125 (i4 juillet i
On connaît les formules générales que j'ai données dans le Tome III des Exercices de Mathématiques (32^ livraison, p. 218) (*), pour la détermination des pressions exercées, dans un système de molécules ou plutôt de points matériels, contre trois plans rectangulaires menés par l'un de ces points (^). Ainsi que je l'ai observé dans une
( 1 ) Œuvres de Cauchy. S. II, T. VIII, p. aSg.
(2) Des formules équivalentes se trouvent à la page 875 d'un Mémoire publié par M. Poisson, dans le Tome VIII des Mémoires de l'Académie des Sciences, et relatif au mouvement des corps élastiques. Si je n'ai pas mentionné ce fait dans l'article que renferme le Compte rendu de la séance du 23 juin, cela tient à ce que, ayant écrit cet article à la campagne, je n'ai pu consulter que mes souvenirs. Il est bien vrai, comme je l'ai dit, que les équations du mouvement des corps élastiques, déduites, dans le Mémoire de M. Poisson, de la considération des actions moléculaires, étaient précisément les équations particulières qu'avait obtenues M. Navier. Mais, après avoir donné des valeurs générales des pressions. M. Poisson avait transformé deux sommations en intégrations, et particularisé ainsi ces valeurs avant de les substituer dans les équations de mouve-
Note lue à l'Académie le 23 juin dernier, ces formules peuvent se déduire immédiatement de la définition qui consiste à regarder la pression supportée par un élément de surface plane comme la résultante des forces dont les directions traversent cet élément, et dont les centres sont situés d'un même côté par rapport au plan de l'élément, c'est-à-dire, en d'autres termes, de la définition qui a été adoptée par M. de Saint-Venant, et même, avant lui, par M. Duhamel. Afin de ne pas trop allonger l'article qui a été imprimé dans le Compte rendu, je m'étais abstenu d'y insérer la démonstration nouvelle que j'avais trouvée pour les formules dont il s'agit, me réservant de la donner dans les Exercices d' Analyse et de Physique mathématique. J'ai appris depuis que cette même démonstration, trouvée aussi par M. de Saint- Venant, sans que j'en eusse connaissance, avait été verbalement exposée par lui, dans une séance de la Société philomathique. Elle ne différait pas d'ailleurs de celle que M. de Saint-Venant a présentée lundi dernier à l'Académie, ce qui me dispensera de la transcrire. Mais je veux aujourd'hui joindre à ces observations diverses une remarque importante. Les formules ci -dessus mentionnées fournissent seulement des valeurs approximatives des pressions supportées dans un corps solide ou fluide par des éléments de surfaces planes. Or on peut obtenir, pour ces mêmes pressions, des valeurs beaucoup plus exactes, des valeurs dont l'exactitude serait rigoureuse s'il était permis de considérer le corps solide ou fluide comme une masse continue. C'est ce que je vais expliquer en peu de mots.
ment tirées des formules que j'avais moi-mômo établies {voir le Tome II des Exercices de Mathématiques) («) comme propres à fournir les relations qui existent, dans l'état d'équilibre d'un corps solide ou fluide, entre les pressions ou tensions et les forces accélératrices. J'ajouterai que la date de la présentation du Mémoire de M. Poisson, rappelée en tête de ce Mémoire même, est antérieure à l'époque à laquelle a paru la Sa* livraison des Exercices, quoique cette époque précède celle de la publication du Tome VIII des Mémoires de l'Académie. Je remarquerai enfin que, à la place do la densité, qui entre comme facteur dans les formules du Tome III des Exercices, on trouvait, dans les formules de M. Poisson, l'intervalle moléculaire moyen et que, dans son Mémoire, M. Poisson n'avait pas suffisamment défini cet intervalle moyen qu'il supposait être le môme en tous sens.
(«) OEuvres de Cauc/ty, S. Il, T. VIT, p. 141.
Analyse.
Considérons un corps solide ou fluide comme une masse continue, dont les divers éléments se trouvent sollicités par des forces d'attraction ou de répulsion mutuelle; et soient, au bout du temps t,
X, Y, z les coordonnées rectangulaires d'un point 0, choisi arbitrairement dans ce corps solide ou fluide;
p la densité du corps au point 0;
L, M, Ntrois points quelconques du plan mené par le point 0, perpendiculairement à l'axe des x-,
s une très petite surface, comprise dans le plan LMN, et renfermant le point 0;
V le volume du corps.
Supposons d'ailleurs que les deux parties, dans lesquelles le volume V est divisé par le plan LMN, soient décomposées chacune en éléments très petits, et nommons
v' l'un quelconque des éléments de V, situés par rapport au plan LMN du côté des x positives ;
v^ l'un quelconque des éléments de V, situés par rapport au plan LMN du côté des x négatives;
m' la masse comprise sous le volume v' ',
m, la masse comprise sous le volume v^;
07 -t- x', j + y', 5-1- z' les coordonnées d'un point P compris dans le volume v' ;
or — X , j — y,, z — z, les coordonnées d'un point Q compris dans le volume v^ ;
r la distance du point Q au point P;
a, 6, Y les cosinus des angles formés par la droite QP avec les demiaxes des coordonnées positives;
m'm^î(r) l'action mutuelle des masses élémentaires m' etm , la fonction f(r) étant positive ou négative suivant que les deux masses s'attirent ou se repoussent.
Enfin, soient
les projections algébriques des pressions exercées au point 0, et du
côté des coordonnées positives, contre trois plans parallèles aux plans
coordonnés. Les produits
A s, Fs, Es
devront représenter les sommes des projections algébriques, non pas de toutes les actions de la forme
exercées par les masses élémentaires m' sur les masses élémentaires //z,, mais seulement de celles d'entre ces forces dont les directions traverseront la surface élémentaire s. D'ailleurs, les projections
algébriques de la force
m' nij f{r),
considérée comme représentant l'action de m' sur m^, seront respectivement
m' m^{{r) cosa, m'/?ï, f(/') cos6, m' m^({r) cosy.
On aura donc
As = è[m'm^{{r)cos<x],
Fs=zS[m'm,f{r)cosQ], Es = S>[m'mi f(/") cosy],
les sommes qu'indique le signe S s'étendant aux projections algébriques des seules forces dont les directions traversent la surface s. Considérons en particulier l'équation
(i) v4 5=: S[m'm, f(r) cosa],
et nommons p', p, les valeurs de la densité p correspondantes aux points P et Q. On aura, sans erreur sensible,
OF.iivres tfe C. — S. I, t. IX. 3o
et, par suite,
(2) As=:S[p'pJ{r)cosot.u'ç,];
puis, en supposant que les éléments des volumes ç', v^ se réduisent à deux parallélépipèdes rectangles, et infiniment petits, dont l'un ait pour sommet le point P, l'autre le point Q, on transformera l'équation (2) en celle-ci
( 3 ) As =////// p' 9, Hr) cos oc dx' dy' dz' dx, dy, dz„
l'intégrale sextuple devant être étendue à toutes les valeurs des
variables
qui permettront à la droite PQ de traverser la surface s, en demeurant d'ailleurs comprises entre les limites inférieures
x'=o, y' = — oc, z' = — oc, X,— o, y, = —00, z, = — 00
et les limites supérieures
X'=00, y' =00, Z'=CC, X,= QO, y, = 00, Z,=:00.
Il est vrai qu'en adoptant ces limites on semble supposer les dimensions du corps infinies, tandis qu'elles sont finies en réalité. Mais, pour tenir compte de cette dernière circonstance, il suffira de considérer la densité p comme une fonction de x, y, z, qui s'évanouira toujours quand le point 0 cessera d'être un point intérieur du corps. Soit U5(x,y, z) une telle fonction, et supposons que l'on ait
(4) p=GT(^,y,5).
On aura encore, dans la formule (3),
(5) p' = îa(^ -h x', 7 H- y', s -4- z'), p, r=: cj (.r - x„ j - y„ g - z, ). Posons maintenant, pour plus de commodité,
Alors
seront évidemment les coordonnées de l'extrémité R d'une droite OR = r menée par le point 0 parallèlement à la droite QP; et, si dans le second membre de la formule (3) on substitue aux variables x,, y,, z, les variables x, y, z, on aura, en vertu de l'équation (6),
( 7 ) As = ffffffp'Pi ^( '' ) ^^^ ^ ^^' ^^y' '■^^' ^^ ^y ^'^'
On peut supposer, dans la formule (7), les intégrations effectuées : i** par rapport aux variables x, y, z entre les limites inférieures
X = 0, yzz:— 00, Z=: — 00
et les limites supérieures
X=:oo, yrzioo, zrrroo;
2** par rapport à la variable x' entre les limites
':i° par rapport aux variables y' et z' entre des limites telles que la droite "QP reste renfermée dans le cylindre droit ou oblique dont la surface s est la base, et dont la génératrice est parallèle à OR. Or, en adoptant cette supposition, on aura, non seulement
ffdy'dz' = s,
mais encore, à très peu près, pour de très petites valeurs de s,
X y z' et, par suite, en prenant
on trouvera sensiblement
('o) x'=9x, y'=9y, z'=Qz.
Gela posé, pour de très petites valeurs de s, la formule (7) donnera sensiblement
As =is
1 / ^ ({r) cos xdxdy dz
et, par suite,
/ / i2f(r)cosac/x^yrfz,
la valeur de 12 étant
(12) Çl= C p'p,dx'
ou, ce qui revient au même, eu égard à la première des formules (lo),
Il est bon d'observer que, dans l'équation (i3), p' et p, seront des fonctions de 6 déterminées par le système des formules (5), jointes aux équations (6) et (lo); en sorte qu'on aura
p' = Tn{x-\-ex,y-h9y, z + Qz),
p, = rs[x - {i - e)x, y - {i - B)y, z - {i - Q)zl
En d'autres termes, p' et p, devront, dans l'équation (i3), représenter la densité du corps en deux points G, H dont les coordonnées seront,
d'une part,
a? + 9x, y + Oy, z-\-Qz,
d'autre part,
D'ailleurs, ces deux points seront évidemment situés sur la droite OR, à la distance r l'un de l'autre, et à des distances du point 0 représentées par les produits
Br, {i-B)r,
la distance 6r étant mesurée, à partir du point 0, dans le sens des X positives, et la distance (i — G)r dans le sens des x négatives.
En adoptant les valeurs de p', p, déterminées par les équations (i4), et posant, pour abréger.
(i5) 0)=: r p'p,dB,
on tirera de l'équation (i 3)
et par suite la formule (i i) donnera
(i6) A =: I I I (,i\f{r)cosxd\dydz.
On trouvera de même
(17) F=z I I I (ô\ï{r) cosQdxdydz et
(18) ^—j f I &Jxf(r)cosyc?xc?yc^z.
D'ailleurs la droite OR = r étant égale et parallèle à la droite QP, on aura nécessairement
et
(20) cosa=-) cosê=i^, cosy=--
Donc les formules (16), (17), (18) donneront
[^=f f f (ù\^^-^dxdydi,
(21) {^ ~f I I w xy -^ û?x ûfy <iz, »
\ E =z I I I oixz -^^dxdydz.
Knfin, comme on n'altérera pas le produit p' p^ en y remplaçant G par I — 0, et en substituant aux quantités x, y, z les quantités — x, — y, — z, on conclura de la formule (i5) que cette dernière substitution n'altère pas la valeur de w. Donc, par suite, on pourra, dans les formules (21), substituer au signe
le signe
OU même le signe
pourvu que, dans Je dernier cas, on réduise chacun des seconds membres à sa moitié. On aura donc encore
i^={ fff^""" ^ ^^ '^^ ^=^'
( 22 ) ^ F = - I j 1 oixy -^ d\ dy dz,
] E =^^ C f fc^xz^-^dxdydz,
pourvu que chaque intégration soit effectuée entre les limites —ce et 4- oo de la variable x, ou y, ou z.
Par des raisonnements semblables à ceux qui précèdent, on obtiendrait sans peine les valeurs de
ou de
et l'on trouverait définitivement
' [A^lfj'J^r-^SLÏdxdydz,
(23) //? = Ifff''^' ^-^dxdydz, C = '-fffcoz-^^-^dxdydz, D='-ffJ^yz^-^dxdydz,
(24) \e :=-[ f Çt^z\^-^dxdydz, F =zlj j j (o xy --^ dx dy dz,
chaque intégration étant effectuée entre les limites —oc, 4- ce de la variable x, y ou z.
Si l'on suppose l'espace décomposé en volumes élémentaires de dimensions très petites, et dont l'un quelconque, représenté par v, renferme le point R, les équations (23), (24) pourront être, sans erreur sensible, réduites aux formules
(25) ^:::,lsLx2Î^^^,
(26) i) = is[coyz^^.],
les sommes qu'indique le signe S s'étendant à tous les volumes élémentaires V qui renfermeront des points pour lesquels co ne s'évanouira pas.
Adoptons maintenant l'hypothèse généralement admise, savoir, que les actions moléculaires décroissent très rapidement quand les molécules s'éloignent les unes des autres, et supposons ce décroissement assez rapide pour que, dans les formules (20), (26), on puisse, sans erreur sensible, réduire f(r) à zéro quand r cesse d'être très petit. Alors les limites inférieures et supérieures des variables x, y, z, liées àrpar l'équation (19), pourront être réduites à des quantités négatives et positives, très rapprochées de zéro. Par suite, pour des valeurs de 0 comprises entre zéro et l'unité, les valeurs de p', p,, fournies par les équations (i4), différeront très peu de la valeur de p fournie par l'équation (4), et la formule (i5) donnera sensiblement
Cl) = p^.
Il y a plus : si l'on nomme m la masse comprise sous le volume v, on aura encore, à très peu près,
w — p2, pm = p*i^ = or,
et par suite les formules (25), (26) donneront
(28) ^^es[myzl^-^], ....
Os dernières formules coïncident avec celles que j'ai données dans le Tome III des Exercices de Mathématiques ('), page 218.
Mémoire sur les secours que les sciences de calcul peuvent fournir aux sciences physiques ou même aux sciences morales, et sur l'accord des théories mathématiques et physiques avec la véritable philosophie.
