C. R., T. XXI, p. 273 ( 3o juillet i

Les résultats obtenus dans ce Mémoire seront développés dans les prochaines séances.

Géométrie analytique. — Sur divers théorèmes de Géométrie analytique. C. R., T. XXI, p. 3o5 (4 août 1845 ).

On connaît l'élégant théorème de Géométrie analytique qui fournit le cosinus de l'angle compris entre deux droites dont les positions sont déterminées à l'aide des cosinus des angles que forment ces droites avec trois axes rectilignes et rectangulaires. Suivant ce théorème, si l'on multiplie l'un par l'autre les cosinus des deux angles que les deux droites forment avec un même axe, la somme des trois produits de cette forme, correspondants aux trois axes, sera précisément le cosinus de l'angle compris entre les deux droites. Concevons maintenant que les trois axes donnés, cessant d'être rectangulaires, comprennent entre deux des angles quelconques, et au système de ces trois axes joignons un second système d'axes respectivement perpendiculaires aux plans des trois premiers. Les axes primitifs seront euxmêmes perpendiculaires aux plans formés par les nouveaux axes, et les deux systèmes d'axes seront ce que nous appellerons deux systèmes A' axes conjugués. Nous dirons, en particulier, que l'un de ces axes, pris dans l'un des deux systèmes, a pour conjugué celui des axes de l'autre système qui ne le coupe pas à angles droits. Gela posé, le

théorème rappelé ci-dessus, et relatif à un système d'axes rectangulaires, se trouve évidemment compris dans un théorème général dont voici l'énoncé :

Théorème. — Considérons, d'une part, deux droites quelconques , d'autre part, deux systèmes d'axes conjugués. Supposons d'ailleurs que, en attribuant à chaque droite et à chaque axe une direction déterminée, on multiplie l'un par l'autre les cosinus des angles que forme un axe du premier système avec la première droite, et l'axe conjugué du second système avec la seconde droite, puis que l'on divise le produit ainsi obtenu par le cosinus de l'angle que ces deux axes conjugués comprennent entre eux. La somme des trois quotients de cette espèce, correspondants aux trois couples d'axes conjugués, sera précisément le cosinus de l'angle compris entre les deux droites données.

Pour démontrer immédiatement ce théorème, il suffît de projeter la première droite sur la seconde, en observant que cette droite peut être considérée comme la diagonale d'un parallélépipède dont les arêtes seraient parallèles aux axes du second système.

Il est bon d'observer qu'on peut échanger entre elles les deux droites données sans échanger entre eux les deux systèmes d'axes ; d'où il suit que le théorème énoncé fournit deux expressions différentes du cosinus de l'angle renfermé entre les deux droites.

On pourrait aussi, au cosinus de l'angle que forme un axe du second système avec la seconde droite ou avec l'axe conjugué du premier système, substituer le sinus de l'angle que cette droite ou cet axe conjugué forme avec le plan des deux autres axes du second système. Toutefois, en opérant cette substitution, on devrait convenir de regarder l'angle formé par une droite avec un plan tantôt comme positif, tantôt comme négatif, suivant que la direction de cette droite pourrait être représentée par une longueur mesurée à partir du plan donné, d'un certain côté de ce même plan ou du côté opposé. On se trouverait ainsi ramené à une formule qui ne diffère pas au fond de celles qu'ont proposées, pour la transformation des coordonnées

obliques, divers auteurs, et spécialement M. Français. On pourrait d'ailleurs, de ces dernières formules, revenir directement au théorème énoncé. Ainsi ce théorème peut être considéré à la rigueur comme implicitement renfermé dans des formules déjà connues. Observons néanmoins que les auteurs de ces formules les avaient établies sans parler de la convention que nous avons indiquée, et qui nous paraît nécessaire pour dissiper toute incertitude sur le sens des notations adoptées.

J'ajouterai ici une remarque qui, je crois, n'avait pas encore été faite, c'est que, du théorème particulier relatif au cas où les axes sont rectangulaires, on peut déduire, immédiatement et sans figure, la formule que Lagrange a donnée pour base à la Trigonométrie sphérique.

Enfin je joins à cette Note une formule dont je donnerai la démonstration dans un autre article, et qui fait connaître une propriété remarquable de deux courbes quelconques tracées à volonté sur une surface courbe.

Analyse.

§ I. — Sur quelques théorèmes de Géométrie analytique.

Les énoncés de plusieurs des théorèmes fondamentaux de la Géométrie analytique se simplifient lorsqu'on a soin de distinguer les projections absolues d'un rayon vecteur, sur des axes coordonnés rectangulaires, des projections algébriques de ce même rayon vecteur, ainsi que je l'ai fait dans les préliminaires de mes Leçons sur les applications du Calcul infinitésimal à la Géométrie. On peut même, avec avantage, étendre la distinction des projections absolues et des projections algébriques au cas où le rayon vecteur est projeté sur des droites quelconques, les projections pouvant d'ailleurs être ou orthogonales ou obliques. Entrons à ce sujet dans quelques détails.

Soient r, s deux longueurs mesurées sur deux droites distinctes, et dans des directions déterminées, savoir, la première entre deux

points donnés A et B, dans la direction AB; la seconde entre deux autres points G et D, dans la direction CD. Pour projeter la longueur r, et ses deux extrémités A, B, sur la droite CD, il suffira de mener, par les points A et B, deux plans parallèles à un plan fixe donné. Les points a et b, où ces deux plans rencontreraient la droite CD, seront précisément les projections des deux points A, B; et si l'on nomme p la distance qui sépare le point b, c'est-à-dire la projection du point B, du point a, c'est-à-dire de la projection du point A, cette distance p, mesurée dans la direction ab, sera précisément [2i projection orthogonale ou oblique de la longueur r, savoir, \ià projection orthogonale, si le plan fixe donné est perpendiculaire à la droite CD, et \2i projection oblique dans le cas contraire. D'ailleurs les directions des longueurs s, p, mesurées sur une même droite, la première dans le sens CD, la seconde dans le sens ab, seront nécessairement, ou une seule et même direction, ou deux directions opposées l'une à l'autre. Cela posé, la projection absolue p, prise dans le premier cas avec le signe +, dans le second cas avec le signe —, sera précisément ce que nous appellerons \'à projection algébrique de la longueur r sur la direction de la longueur s.

Concevons maintenant que, en faisant usage de la notation généralement adoptée, on désigne par (r, s) l'angle aigu ou obtus que forment entre elles deux longueurs r, s, mesurées chacune dans une direction déterminée. Alors, en supposant les projections orthogonales, on aura évidemment

p z= r cos(/-, p).

De plus, la projection algébrique de r, sur la direction de s, sera -t- p ou — p, suivant que la direction de p sera la direction même de s, ou la direction opposée; et, comme on aura, dans le premier cas,

cos(r, p) = cos(/', s),

dans le second cas

cos(/-, p) =— cos(/-, s),

il en résulte que la projection algébrique de r sur la direction de s

sera représentée, dans l'un et l'autre cas, par le produit

(i) rcos{r,s).

Supposons à présent que les projections, au lieu d'être orthogonales, soient obliques, et, après avoir mené une droite perpendiculaire au plan fixe, nommons t une longueur mesurée sur cette droite dans une direction déterminée. Alors les projections absolues et même les projections algébriques des longueurs r et p, sur la direction de t, seront évidemment égales entre elles. On aura donc

pcos{p, t):= r cos{r, t) et, par suite,

cos(r, t)

cos(p, 0

De plus, pour obtenir la projection algébrique de la longueur r sur la direction de s, il suffira de prendre p avec le signe + ou avec le signe—, suivant que la direction de p sera la direction de s ou la direction opposée; il suffira donc de remplacer, dans le second membre de la formule (2), la quantité cos(p, /) par la quantité cos(^, t) égale, au signe près, à la première. Donc la projection algébrique de r sur la direction de s sera

(3) ^.cos(/-, t) ^

Supposons maintenant qu'un point mobile P passe de la position A à la position B, en parcourant, non plus la longueur r, mais les divers côtés u, V, w, ... d'une portion de polygone qui joigne le point A au point B, et attribuons à chacun de ces côtés la direction indiquée par le mouvement du point P. Soit d'ailleurs p la projection du point mobile P sur la droite CD, et nommons toujours a, b les projections respectives des deux points A, B sur la même droite. Tandis que le point mobile P passera de la position A à la position B, en parcourant successivement les diverses longueurs u, v, w, . . . , le point mobile p passera de la position a à la position b, en parcourant successivement

Œuvres de C. — S. I, t. IX. 33

sur la droite CD les projections des diverses longueurs u, v, w, . . ., et l'une quelconque de ces projections, celle de u par exemple, sera parcourue dans le sens indiqué par la direction du rayon vecteur p ou dans le sens opposé, suivant que la projection algébrique de la longueur w sur la direction de p sera positive ou négative. 11 en résulte que la longueur p, ou la projection algébrique de la longueur r sur la direction de p, sera équivalente à la somme des projections algébriques des longueurs m, ç, w, ... sur la même direction. Par suite aussi, puisque la direction de s est toujours, ou la direction même de p, ou la direction opposée, si l'on projette, d'une part, la longueur r, d'autre part, les longueurs u, i^, w, . .. sur la direction de s, on obtiendra une projection algébrique de r équivalente à la somme

des projections algébriques de u, i^, w, Donc, en supposant les

projections orthogonales, on trouvera

(4) /•COS(r, s) =r u COS(«, s) -h ('COS((', s) -{- «^cos(hp', 5) +. . . .

Ces prémisses étant établies, concevons que les positions des différents points de l'espace soient rapportées à trois axes obliques qui partent d'un même point 0. Nommons x, y, z trois longueurs portées sur les trois axes, et mesurées chacune, à partir du point 0, dans une direction déterminée. Soient encore

trois longueurs mesurées, à partir du point 0, sur trois axes respectivement perpendiculaires aux plans

yz, zx, xy.

Concevons, de plus, que l'on construise un parallélépipède dont la longueur r soit la diagonale, les trois arêtes u, v, w étant respectivement parallèles aux axes sur lesquels se mesurent les longueurs x, y, z, et attribuons à ces trois arêtes les directions indiquées par le mouvement d'un point qui passe, en parcourant ces mêmes arêtes, de l'extrémité A de la diagonale r à l'extrémité B. Enfin, projetons cette

diagonale et les trois arêtes sur la direction d'une longueur quelconque s. On aura, en vertu de la formule (4),

(5) rcos{r,s)-=:ucos{u,s)-hi'COs{i',s)-+-wcos,{iv,s), ou, ce qui revient au même,

(6) cos(r, s) —. - cos(m, 5)+ - cos((', s) + ~ cos(mp', s).

D'ailleurs, u étant précisément la projection absolue qu'on obtient pour la longueur r, quand on projette cette longueur sur l'axe de a-, à l'aide de plans parallèles au plan fixe des yz, on aura, en vertu de la formule (2),

/ N cos(r, X)

cos(m, X)

par conséquent,

/gv u __ cos(r, X)

r ~' cos(m, X)'

et cette dernière formule continuera évidemment de subsister quand on y remplacera u par ç, et X par Y, ou u par w, et X par Z. Donc l'équation (6) donnera

(q) cos(r s) =z cos(r,X)cos(M,^) cos(r, Y) cos((% 5) cos(r, Z) cos(iv,^) ^ ^ cos(«,X) cos((^Y) "^ cos((4',Z)

D'autre part, il est clair qu'on n'altérera pas le second membre de la formule (9) si l'on y remplace, séparément ou simultanément, u par X, (^ par y, «^ par z. En effet, la direction de u étant ou la direction de X ou la direction opposée, on aura, dans le premier cas,

cos(w, 5) — C0S(X,.9), cos(«, X) = cos(x, X),

dans le second cas,

cos(«, 5) — — cos(x, s), cos(m, X) =— cos(x, X),

et dans les deux cas,

cos{u,s) cos(x, 5)

cos(w, X) ~ cos(x, X) *

Donc la formule (9) pourra être réduite à la suivante :

, . , , cos(/-, X) cos(,ç, x) cos(r, Y) cos(5, y) cos(r, Z) cos(5, z)

<"" ""^"-'^'^ cos(x,X) +— c^sly.Y) + cos(z,Z) '

Ajoutons que les axes sur lesquels se mesurent les longueurs

X, Y, Z étant, par hypothèse, perpendiculaires aux plans

yz, zx, xy, les axes sur lesquels se mesurent les longueurs

seront eux-mêmes perpendiculaires aux plans

YZ, ZX, XY.

Donc ces deux systèmes d'axes, que nous nommerons systèmes d'axes conjugués (l'axe sur lequel se mesure X étant le conjugué de l'axe sur lequel se mesure x, etc.), pourront être échangés entre eux dans la formule (10), et l'on aura encore

, , , - cos(r, x) cos(5, X) cos(r, y) cos(5, Y) cosfr, z) cos(5, Z)

^ ^ V » / cos(x, X) cos(y, Y) cos(z, Z)

Chacune des formules (10), (11) est une expression analytique du théorème fondamental énoncé dans le préambule du présent article. Si, en faisant coïncider le point A avec le point 0, et les demi-axes des coordonnées positives avec les directions des longueurs

X, y, z, on nomme

les coordonnées rectilignes du point A, rapportées à ces demi-axes, alors X sera précisément la projection algébrique du rayon vecteur r sur la direction de x, la projection étant effectuée à l'aide de plans parallèles au plan des yz, et perpendiculairement à X. Donc alors on

obtiendra x en remplaçant, dans l'expression (3), s par x, et t par X;

en sorte qu'on aura

cos(r, X) , »

X =zr ; — :i— . On trouvera de même

cos(x, X)

cos(r, Y) ces (y, Yy

cos(r, Z) cos(z, Z)

Alors aussi on pourra évidemment, dans la formule (5), remplacer les quantités u, v, w par les coordonnées x,y, z, qui seront respectivement égales, aux signes près, à ces mêmes quantités, pourvu que l'on remplace en même temps les trois angles

par les angles

respectivement égaux aux trois premiers ou à leurs suppléments. On aura donc encore

(i3) /•cos(r, s) = a;cos(x, s) +y cos(y, s) -f- scos(z, s).

On peut immédiatement déduire des formules (12) et (i3) celles qui servent à la transformation des coordonnées obliques. En effet, soient

Je nouvelles coordonnées du point B, relatives à de nouveaux axes rectilignes qui continuent de passer par le point 0 ; et supposons que, pour le nouveau système d'axes, les longueurs, précédemment représentées par

deviennent

Alors, en vertu des formules (12), on aura, par exemple,

(.4) /cosCr.X)

' cos(x„ XJ

et, d'ailleurs, la formule (i3) donnera

(i5) r cos(r, X,) = ^cos(x, X,) + j cos(y, X,) -h z cos(z, X,),

On trouvera donc

^cos(x, X,) -+- jcos(y, X,) -h zcos{z, X,)

cos(x, X,)

Quant aux valeurs de j,, ^,, on les obtiendra en remplaçant X, par Y ou par Z, dans les deux termes de la fraction qui représente ici la valeur de cc^, et, de plus, x par y ou par z dans le dénominateur.

Si les axes coordonnés deviennent rectangulaires, alors les axes sur lesquels se mesurent les longueurs x, y, z se confondront avec les axes sur lesquels se mesurent les longueurs X, Y, Z, et, par suite, les formules (lo), (12), (16) donneront simplement, comme on devait s'y attendre,

(17) cos(r, 5) = cos(r, x) cos(5, x) + cos(r, y) cosC^, y) + cos(/-, z) cos{s,2),

(18) a; = rcos{r,x), y = rcos(r,y), z = rcos{r,z),

(19) 0^,= ^cos(x, x,) 4- jcos(y, X,) + 5Cos(z, x,).

§ II. — Sur la formule que Lagrange a donnée pour base à la Trigonométrie sphérique.

Considérons un angle solide trièdre, dont les côtés soient prolongés, à partir du sommet 0, dans des directions déterminées OA, OB, OC. Nommons r, s, t trois longueurs mesurées à partir du point 0 dans ces mêmes directions, et représentons par

cf, b, c

is,t), {t,r), {r,s).

a, 6, y les angles dièdres opposés à ces angles plans. On pourra, comme

les angles plans Enfin soient

Lagrange l'a fait voir, déduire toute la Trigonométrie sphérique de la seule formule

(i) cosa == cos6 cosc + sinZ» sine cosa.

J'ajoute que cette formule est comprise, comme cas particulier, dans celle qui sert à évaluer l'angle de deux droites dont les positions sont rapportées à un système d'axes rectangulaires, c'est-à-dire que la formule (i) est une conséquence immédiate de la formule (17) du § I. C'est ce que je vais démontrer en peu de mots.

Rapportons la position d'un point quelconque à trois axes rectangulaires menés par le point 0, et prolongés chacun dans une direction donnée. Supposons d'ailleurs que de ces trois axes rectangulaires le premier soit précisément celui sur lequel se mesure la longueur r, le deuxième étant situé dans le plan rs, et dirigé par rapport à r du même côté que la longueur s. Enfin, supposons le troisième axe dirigé par rapport au plan rs du même côté que la longueur t. Si, pour fixer les idées, on nomme s^, /, deux longueurs mesurées sur le deuxième et sur le troisième axe dans les directions de ces mêmes axes, alors la formule (17) du § I, appliquée à la détermination de l'angle a compris entre les directions des longueurs s et t, donnera

(2) cos(5, f) — cos(.ç, r)cos(^, r) -\- co%{s, s,) co={t, s,) -h cos>{s, t,)cos{t, t,).

D'ailleurs, i, étant perpendiculaire au plan rs, et par conséquent à s, on aura

De plus, s^ étant perpendiculaire à r et dirigé par rapport à r du même côté que s, on aura

(4) cos(^, .y,) =:sin(,ç, r).

Enfin, pour obtenir la projection algébrique de t sur la direction de 5,, ou le produit /cos(/,^,), il suffira évidemment de projeter d'abord t sur le plan 5/, perpendiculaire à r, puis la projection

absolue t ainsi obtenue et déterminée par l'équation

T=: tsin(t, r) sur la direction de s^. Donc la projection algébrique de t sur 5 sera

Tsin(T, ^,)=: t?,in{t, /•) cos(t, 5,),

en sorte qu'on aura

tsin{t,s^) z=: tsin{t, r) cos(t, s,)

cos{t,s,)=z sin(^, r) cos(t, 5,).

Mais l'angle (t, ^,), compris entre les longueurs t et 5,, mesurées perpendiculairement à r, dans les deux plans rt, rs, et dirigées, par rapport à r, la première du même côté que la longueur /, la seconde du même côté que la longueur s, sera précisément l'angle dièdre a, compris entre les deux plans rt, rs. On aura donc encore

(5) cos(/^, 5,) = sin(^, /•) cosa.

Si maintenant on substitue dans l'équation (2) les valeurs de

C0S(5, f,), C0S(5, 5,), COS(^, 5,),

fournies par les équations (3), (4), (5), on obtiendra la formule

(6) cos(5, 0 = cos(5, /■)cos(^/-) + sin(5, /•)sin(f, /Ocosot, c'est-à-dire l'équation (i).

§ III. — Sur une propriété remarquable de deux systèmes de lignes tracées sur une surface courbe.

Supposons que la position d'un point mobile P, assujetti à rester sur une certaine surface courbe, soit déterminée à l'aide de deux coordonnées quelconques ou paramètres variables s, t. On pourra tracer sur ces surfaces : i*" un système de courbes dont chacune corresponde à une valeur constante de /; 2"" un système de courbes dont

chacune corresponde à une valeur constante de s. Cela posé, nommons

ç l'arc d'une courbe appartenant au premier système, c'est-à-dire

d'une courbe sur laquelle s seul varie; T l'arc d'une courbe appartenant au second système, c'est-à-dire d'une

courbe sur laquelle t seul varie; 0 l'angle formé en un point P de la surface par les arcs ç, t de deux

courbes qui appartiennent, l'une au premier système, l'autre au

second; ps le rayon de courbure de l'arc ç, mesuré à partir du point P; pt le rayon de courbure de l'arc t, mesuré à partir du point P; p,, p,^ les rayons de courbure principaux de la surface au même point.

Enfin nommons, pour abréger, 6^, 6^ les angles que forment, au point P, le rayon vecteur p^ avec l'arc t, et le rayon vecteur p^ avec l'arc ^; puis désignons par (p,, p^J l'angle qui se trouve compris entre les rayons de courbure principaux p,, p,^, et qui se réduit toujours à o ou à 'K. On aura généralement

cos 9s j. cos 9i J>sï)tCosà '~^ ' pi ^ cos(p„ p„) g.^,^

D,çî)iT D<T . BsÇ p,p„

Dscosd Btcosà /cosSA* /cosôA^ cos 0^ cos 0,

ps Pt

cos9s AD, cos 5