C. R., T. XXI, p. 407 (18 août
Les résultats auxquels je suis parvenu dans ce Mémoire devant être publiés dans les Exercices d'Analyse et de Physique mathématique, je me bornerai à indiquer ici, en peu de mots, quelques-uns d'entre eux.
§ L — Théorèmes divers d'Analyse.
Soient
^ny ^ny ^m • • • > "«
des quantités représentées par n lettres diverses
auxquelles on applique successivement les n indices
en sorte que le nombre total de ces quantités soit n'^. Soient, de plus,
n autres quantités, et
U, Vy W, ...
n fonctions linéaires de x, y, z, ..., déterminées par n équations de la forme
Ia^x -\- biy -\- CiZ + . . .^=z u, a^x -\- bzY + C2S +. . .= p,
tts^-L- 637+ C3S-I-. . .= W,
Enfin, supposons que les valeurs des variables
et d'une nouvelle variable s soient déterminées par la formule
^ ' ce y z
jointe aux équations (i). En vertu de cette formule, s vérifiera généralement une certaine équation de condition
dont le degré sera n, et dont le premier membre sera ce que devient la fonction alternée
quand on y suppose chacune des n quantités
«1, 0-2, C3, • • . j fin
diminuée de la variable s, c'est-à-dire quand on y remplace ^, par a, — Sf puis ^2 P^r b^ — s, .. ., puis, enfin, h„ par h^ — s. Il en résulte que l'expression (4) sera précisément égale au produit des n racines de l'équation (3).
Il est bon d'observer que, pour obtenir l'équation (3), il suffit généralement d'éliminer ce, y, z, ... de la formule (2), en tenant compte des équations (i). A la vérité, dans certains cas particuliers, l'élimination, effectuée d'une certaine manière, abaisserait le degré de l'équation (3) au-dessous du nombre n. Mais on retrouverait alors l'équation complète du degré n, en commençant par éliminer x, y, z, . . . des équations
substituées à la formule (2), et en posant ensuite dans l'équation résultante s = s, s^ = s, ..., après avoir réduit le premier membre de
cette équation à une fonction linéaire de chacune des quantités s, j,, 5, , . . ., en faisant disparaître, au besoin, les dénominateurs. Concevons maintenant que, à la place des n variables
on considère n^ quantités nouvelles
^2> Jl^ Zl> • • • 1
•^3» y il z%t ■ • ■■»
qui se trouvent représentées à l'aide des indices
successivement appliqués à ces variables; et désignons encore par
"i, ^'i, «^1, •••, ou par
«î, Pî, w^, ...,
ou par
les valeurs qu'on obtiendra pour
en appliquant aux lettres
l'indice i, ou l'indice 2, ou l'indice 3, .... Enfin, supposons que, n variables nouvelles étant représentées par
on assujettisse ces dernières variables et la variable s à vérifier, non plus la formule (2), mais la suivante
' oc 6 y
L'équation
produite par l'élimination de a, p, y, . . ., aura pour premier membre s ce que devient la fonction alternée
(8) S(± Mit'2«^3.. .)
quand on y suppose chacune des n quantités
Hy V^, VV3,
diminuée de la variable s\ et le produit des n racines de cette équation sera précisément la fonction (8).
Mais, d'autre part, si Ton pose, pour abréger,
la formule (6) deviendra
ai^&4- 6i^4- Cl 3b -+-... a2<X + 02^4-022)+... asX + 63^-4- c,2) -+-... a 6 y
Posons maintenant
et nommons
A^, A2, A3, . . . , A^, Bi, B^, J?3, . . ., Bn,
//l, H^, IJ3, . , ., Ifn
les coefficients respectifs des quantités
ai, a2, «3, . . . , «ï;,,
hi, hi, Aj, ..., hny
dans le second membre de la formule (12). On aura dès lors, identiquement,
] Aibi-{- A^b^^. . .-{- Anbn = o, ..., H^by-^ H^b^-^-. . .+ Hf^bn^o,
et par suite on tirera de la formule (10)
(QX=s{Ai(x-hA^6-h ^sy + ...),
(i3) ^ m ^s{BiOi-hB,e-hB,y+...),
