sidoc^C^S-^Cy-h

Or, si l'on élimine a, ê, y, . . . de ces dernières formules, jointes aux équations (9), on trouvera

(i4) S[±{(Qa^,-sA,){Œ>y,-sB,){(Qz,-sC,) ...] = o.

L'équation (i4) devant se confondre avec l'équation (7), les coefficients des puissances semblables de s, dans ces deux équations, devront être proportionnels entre eux. On obtiendra ainsi diverses formules dignes de remarque. Si, en particulier, on compare entre eux les coefficients des puissances extrêmes, on trouvera

la valeur de ^ étant

s{±AiBiC,...) D'ailleurs comme, en supposant les quantités

^1, Xi, Xi, ..., ji, 7j, /a, ..., Zi, Zi, «3,

toutes réduites à zéro à l'exception de

^15 JK25 ^3> • • • y

et prenant d'ailleurs

on réduira le système des quantités

Xi, ^2, ^j, ..., 7i, fi, 73, ..., ^1, Zi, Zi, ...

au système des quantités

ai, «2» ^3> •••> ^l> ^2» ^3> •••> ^1> ^2> ^3i •••>

la formule (i5) donnera encore

(17) t){. = s{±aib^Cs...) = Œ).

Donc on tirera des formules (i5) et (16)

(18) S(± «i^'î^'s. . .) = s{±aibiC3.. .)s{±a:iyzZ3.. .)

et

(19) S(±^i^jC3...) = ®"-*-

Les équations (18), (19) étaient déjà connues, et font partie de celles que j'ai données, il y a longtemps, dans le Journal de l'École Polytechnique. Mais la méthode que nous venons de suivre pour y parvenir, et à l'aide de laquelle on peut aussi établir directement d'autres formules du même genre, nous a paru ne pas être sans intérêt.

§ II. — Théorèmes de Calcul intégral.

Considérons une intégrale multiple de la forme

(1) fff...\Ldxdydz...,

le nombre des variables x, y, z, ... étant égal à n, et supposons que l'on substitue aux variables x,y, z, ... d'autres variables u, v, w, ..., liées aux premières par ti équations données. Alors, en adoptant la méthode suivie par Lagrange, pour le cas de trois variables, dans les Mémoires de V Académie de Berlin de 1773, on trouvera

^^^ Sff- '^dxdydz . . .—JJJ\ . .'k.S.dudv dw . . .,

A étant la valeur numérique do la fonction différentielle alternée

D'ailleurs, en vertu des principes établis dans le § I, cette valeur numérique sera précisément le produit des n racines de l'équation

qu'on obtient en éliminant les différentielles

du, dVy dw, de la formule

, dx dy dz

^^^ dû-d^-d^ ' ^ ^'

jointe aux équations qui expriment dx, dy, dz, ... en fonctions linéaires de du, dv, dw, De cette remarque on déduit immédiatement la proposition suivante :

Théorème. — Étant donnée une intégrale multiple relative à n variables X, y, z, . . . , si l'on veut à ces variables en substituer d'autres

liées aux premières, directement ou indirectement, par des équations données, et trouver le coefficient par lequel on doit alors multiplier la fonction sous le signe f, il suffira de former l'équation en s, et du degré n, à laquelle on parvient quand on élimine toutes les différentielles de la formule (4), puis de prendre, pour le coefficient cherché, le produit des n racines de cette équation, ou plutôt la valeur numérique de ce produit.

Cette proposition fournit une règle d'autant plus commode dans la pratique qu'elle s'applique au cas même où les variables x, y, z, ...

dx (!) On ne doit pas confondre -r-i ou le rapport de la différentielle totale de a; à la différentielle du u, avec la dérivée

r, daX

du

qui est le rapport de la différentielle partielle duX k du.

seraient des fonctions implicites des variables nouvelles m, i^, w, . . ., les unes étant liées aux autres par des équations quelconques, qui pourraient même renfermer des variables auxiliaires. Il suifira, dans tous les cas, d'éliminer toutes les différentielles. D'ailleurs, si l'élimination effectuée d'une certaine manière abaissait le degré n de l'équation (3), il suffirait, pour faire disparaître cet inconvénient, de recourir à l'artifice de calcul indiqué dans le § I.

Il importe d'observer que, dans le cas où les racines de l'équation (3) sont toutes réelles, le théorème énoncé peut être démontré directement avec la plus grande facilité, et presque sans calcul.

Remarquons encore qu'à l'équation (3) on pourrait sans inconvénient substituer la formule

du dv dw ' ' '

en fixant arbitrairement le signe qui précède chaque rapport.

Appliquons en particulier le théorème énoncé au cas où il s'agit de remplacer les n variables

par d'autres variables

liées aux premières par des équations de la forme

(6) x — ru, y = rf', z — rw, ...,

la quantité u étant elle-même une fonction de w, ^, tv, . . . , déterminée par l'équation

Alors, en posant, pour abréger,

(8) 0 = f(«, .-,«., ...), on trouvera

OEuvres de C. — s. 1,1. IX. 35

Si 0 se réduit à une fonction de u, i^, w, ... homogène et du premier degré, on aura simplement

La transformation .que nous venons d'indiquer est surtout utile dans le cas où il s'agit de transformer une intégrale

f f I . . .\ dx dy dz. . . ,

étendue à toutes les valeurs de x, y, z, ... qui vérifient la condition

(II) {{œ,y,z,...)tB,

0 désignant une constante quelconque. Alors, en effet, dans l'intégrale transformée, l'intégration relative à la variable rpeut être supposée effectuée entre les limites constantes

Lorsque la fonction ï{u, v,w, .. .) se réduit à la somme

on peut à la transformation précédente faire succéder la transformation connue qui permet de remplacer, dans le cas de deux ou de trois variables, des coordonnées rectangulaires par des coordonnées polaires. Alors aussi, en supposant : i'' que k dépende de deux fonctions de X, y, z, . . . , entières et homogènes, l'une du premier, l'autre du second degré; 2" que l'intégrale (i) s'étende à toutes les valeurs réelles, positives ou négatives, de ^, j, ^, ..., on pourra réduire cette intégrale h une intégrale double, en suivant la marche que j'ai tracée, pour le cas de trois variables, dans la 49*" livraison Aqs Exercices de Mathématiques ('). Il y a plus : l'intégrale (i), dans l'hypothèse admise, pourra être réduite à une intégrale simple, si k est le produit de deux facteurs dont l'un dépende uniquement du rapport

(') OEiivres de Cauchy, S. II, T. IX, p. SjS et suiv.

EXTRAIT i\' 299. 275

qui existe entre la première fonction homogène et la racine carrée de la seconde, l'autre facteur étant une exponentielle dont l'exposant soit proportionnel à cette racine carrée.

Géométrie. — Rapport sur un Mémoire de M. Ossian Bonnet, concernant

quelques propriétés générales des surfaces et des lignes tracées sur les

surfaces.