C. R., T. XXI, p. 593 (i5 septembre

Je m'étais déjà occupé, il y a plus de trente années ( ' ), de la théorie des permutations, particulièrement du nombre des valeurs que les fonctions peuvent acquérir; et dernièrement, comme je l'expliquerai plus en détail dans une prochaine séance, M. Bertrand a joint quelques nouveaux théorèmes à ceux qu'on avait précédemment établis, à ceux que j'avais moi-même obtenus. Mais à la proposition de Lagrange,

(') CEuvres de Caucliy, S. II, T. I.

Voir le Journal de l'École Polytechnique, XVIP Cahier, p. i.

suivant laquelle le nombre des valeurs d'une fonction de n lettres est toujours un diviseur du produit i.2.3.../z, on avait jusqu'ici ajouté presque uniquement des théorèmes concernant l'impossibilité d'obtenir des fonctions qui offrent un certain nombre de valeurs. Dans un nouveau travail, j'ai attaqué directement les deux questions qui consistent à savoir : i" quels sont les nombres de valeurs que peut acquérir une fonction de n lettres; 2° comment on peut effectivement former des fonctions pour lesquelles les nombres de valeurs distinctes soient les nombres trouvés. Mes recherches sur cet objet m'ont d'ailleurs conduit à des formules nouvelles relatives à la théorie des suites, et qui ne sont pas sans intérêt. Je me propose de publier, dans les Exercices d'Analyse et de Physique mathématique ('), les résultats de mon travail avec tous les développements qui me paraîtront utiles; je demanderai seulement à l'Académie la permission d'en insérer des extraits dans le Compte rendu, en indiquant quelques-unes des propositions les plus remarquables auxquelles je suis parvenu.

Analyse.

§ I. — Considérations générales.

Soit ù une fonction de n variables

Ces variables pourront être censées occuper, dans la fonction, des places déterminées; et, si on les déplace, en substituant les unes aux autres, la fonction Î2 prendra successivement diverses valeurs

dont l'une quelconque Q! pourra être ou égale à ù, quelles que soient les valeurs attribuées aux variables x,y,z, ... supposées indépendantes, ou généralement distincte de la valeur primitive O, à laquelle elle ne

(1) OEuvres de Cauclij, S. II, T. XIII.

deviendra égale que pour certaines valeurs particulières de ^, j, ^, ... propres à vérifier l'équation

Dans ce qui suit, je m'occuperai uniquement des propriétés dont les fonctions jouissent, en raison de leur forme, et non pas en raison des systèmes de valeurs que les variables peuvent acquérir. En conséquence, quand il sera question des valeurs égales entre elles que la fonction £2 peut acquérir quand on déplace les variables x, y, z, . . ., il faudra toujours se souvenir que ces valeurs sont celles qui restent égales, quelles que soient les valeurs attribuées aux variables x, y, z, Ainsi, par exemple, si l'on a

<2 = j:-hy,

les deux valeurs que pourra prendre la fonction ù, quand on déplacera les deux variables, savoir

^ -i- y et 7 + ^,

seront égales entre elles, quelles que soient d'ailleurs les valeurs attribuées à a; et ky. Mais si l'on avait

les deux valeurs de la fonction, savoir

a: -j- 2y et j + 2a:,

seraient deux valeurs c?w/mc/e^, qu'on ne pourrait plus ài^i^eler valeurs égales, attendu qu'elles seraient le plus souvent inégales, et ne deviendraient égales que dans le cas particulier où l'on auraity = x.

Si l'on numérote les places occupées par les diverses variables x, y, z, ... dans la fonction (2, et si l'on écrit à la suite les unes des autres ces variables x,y, z, ... rangées d'après l'ordre de grandeur des numéros assignés aux places qu'elles occupent, on obtiendra un

certain arrangement

xyz...,

et, quand les variables seront déplacées, cet arrangement se trouvera

remplacé par un autre, qu'il suffira de comparer au premier pour connaître la nature des déplacements. Cela posé, ces diverses valeurs d'une fonction de n lettres correspondront évidemment aux divers arrangements que l'on pourra former avec ces n lettres. D'ailleurs, le nombre de ces arrangements est, comme l'on sait, représenté par le produit

Si donc l'on pose, pour abréger,