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N sera le nombre des valeurs diverses, égales ou distinctes, qu'une fonction de n variables acquerra successivement quand on déplacera de toutes les manières, en les substituant l'une à l'autre, les variables dont il s'agit.
On appelle permutation ou substitution l'opération qui consiste à déplacer les variables, en les substituant les unes aux autres, dans une valeur donnée de la fonction ù, ou dans l'arrangement correspondant. Pour indiquer cette substitution, nous écrirons le nouvel arrangement qu'elle produit au-dessus du premier, et nous renfermerons le système de ces deux arrangements entre parenthèses. Ainsi, par exemple, étant donnée la fonction
^ = jr + 2/ -I- 3^,
OÙ les variables x, y, z occupent respectivement la première, la seconde et la troisième place, et se succèdent en conséquence dans l'ordre indiqué par l'arrangement
xyz,
si l'on échange entre elles les variables j, z qui occupent les deux dernières places, on obtiendra une nouvelle valeur ^' de 12, qui sera distincte de la première, et déterminée par la formule
D'ailleurs, le nouvel arrangement correspondant à cette nouvelle
valeur sera
xzy,
et la substitution par laquelle on passe de la première valeur à la seconde se trouvera représentée par la notation
œzy xyz
qui indique suffisamment de quelle manière les variables ont été déplacées. Les deux arrangements xzy, xyz compris dans cette substitution forment ce que nous appellerons ses deux termes, ou son numérateur et son dénominateur. Comme les numéros qu'on assigne aux diverses places qu'occupent les variables dans une fonction sont entièrement arbitraires, il est clair que l'arrangement correspondant à une valeur donnée de la fonction est pareillement arbitraire, et que le dénominateur d'une substitution quelconque peut être l'un quelconque des N arrangements formés avec les n variables données. On arrivera immédiatement à la même conclusion en observant qu'une substitution quelconque peut être censée indiquer un système déterminé d'opérations simples, dont chacune consiste à remplacer une lettre du dénominateur par une lettre du numérateur, et que ce système d'opérations ne variera pas si l'on échange entre elles d'une manière quelconque les lettres du dénominateur, pourvu que l'on échange entre elles, de la même manière, les lettres correspondantes du numérateur. Il en résulte qu'une substitution, relative à un système de n variables, peut être présentée sous N formes diff'érentes' dont nous indiquerons l'équivalence par le signe =. Ainsi, par exemple, on aura
(<=ozy\^fxyz\^fyxz\ \xyz) \xzy) \zxyj ••••
Observons encore que l'on peut, sans inconvénient, eff^acer toute lettre qui se présente à la même place dans les deux termes d'une substitution donnée, cette circonstance indiquant que la lettre ne doit pas
OEuvrcs de C. — S. I, t. IX. 36
être déplacée. Ainsi, en particulier, on aura
xzy \ / zy
Lorsqu'on a ainsi éliminé d'une substitution donnée toutes les lettres qu'il est possible d'effacer, cette substitution se trouve réduite à sa plus simple expression.
he produit d'un arrangement donné xyz par une substitution ( "-^ \
sera le nouvel arrangement œzy qu'on obtient en appliquant cette substitution même à l'arrangement donné. Le produit de deux substitutions sera la substitution nouvelle qui fournit toujours le résultat auquel conduirait l'application des deux premières, opérées l'une après l'autre, à un arrangement quelconque. Les deux substitutions données seront les à^ux/acteurs du produit. Le produit d'un arrangement par une substitution ou d'une substitution par une autre s'indiquera par l'une des notations qui servent à indiquer le produit de deux quantités, le multiplicande étant placé, suivant la coutume, à la droite du multiplicateur. On trouvera ainsi, par exemple,
a;zy\
"^ xyzzzi xzv xyz) ^ •"
fyxuz\^fyx\ /as\ \xyzu) \xy)\zu)
Il y a plus : on pourra, dans le second membre de la dernière équation, échanger sans inconvénient les deux facteurs entre eux, de sorte
qu'on aura encore
fyxuz\^/uz\fyx\^
\œyzu ) \zuj\xyj
Mais cet échange ne sera pas toujours possible, et souvent le produit de deux substitutions variera quand on échangera les deux facteurs entre eux. Ainsi, en particulier, on trouvera
\xyj \yz
/^^\ et ( ^y\ ( y^\ - ( ^^y
xyz) \y^j \^y J \^y
Nous dirons que deux substitutions ^oni permutables entre elles, lorsque leur produit sera indépendant de l'ordre dans lequel se suivront les deux facteurs.
Pour abréger, nous représenterons souvent par de simples lettres
ou par des lettres affectées d'indices.
Al, A2, A3, . • ■ ,
les arrangements formés avec plusieurs variables. Alors la substitution qui aura pour termes A et B se présentera simplement sous la forme
et l'on aura
il]
Qiiy
De plus, si, en appliquant à l'arrangement C la substitution ( ), on produit l'arrangement D, on aura, non seulement
mais encore
Le nombre total des substitutions relatives au système de n variables X, y, z, ... est évidemment égal au nombre IV des arrangements que l'on peut former avec ces variables, puisqu'en prenant pour dénominateur un seul de ces arrangements, le premier par exemple, on peut prendre pour numérateur l'un quelconque d'entre eux. La substitution dont le numérateur est le dénominateur même peut être
censée se réduire à l'unité, puisqu'on peut évidemment la remplacer par le facteur i dans les produits
DU
mHs.
Une substitution ( . ), multipliée par elle-même plusieurs fois de
suite, donne pour produits successifs son carré, son cube, et généralement ses diverses puissances, qui sont naturellement représentées par les notations
D'ailleurs, la série qui aura pour termes la substitution f ^ j et ses diverses puissances, savoir
l\ (!)' il
ne pourra jamais offrir plus de A^ substitutions réellement distinctes. Donc, en prolongeant cette série, on verra bientôt reparaître les mêmes substitutions. On prouve aisément que la première de celles qui reparaîtront sera équivalente à l'unité, et qu'à partir de celle-ci les substitutions déjà trouvées se reproduiront périodiquement dans le même ordre. Donc le nombre i des termes distincts de la série sera toujours la plus petite des valeurs entières de i pour lesquelles se vérifiera la formule
Le nombre i ainsi déterminé, ou le degré de la plus petite des puissances de (^) équivalentes à l'unité, sera ce que nous appellerons le degré ou Vordre de la substitution l^j-
Supposons maintenant qu'une substitution réduite à sa plus simple
expression se présente sous la forme
( yz. . . vwx \ \ccy . . . uvw )
c'est-à-dire qu'elle ait pour objet de remplacer x par y, puis j par 2, . . ., et ainsi de suite jusqu'à ce que l'on parvienne à une dernière variable w, qui devra être remplacée par la variable x de laquelle on était parti. Pour effectuer cette substitution, il suffira évidemment de ranger sur la circonférence d'un cercle indicateur, divisée en parties égales, les diverses variables
^, X, ^, . • • , «, t', iv,
en plaçant la première, la seconde, la troisième, . . . sur le premier, le second, le troisième, . . . point de division, puis de remplacer chaque variable par celle qui, la première, viendra prendre sa place, lorsqu'on fera tourner dans un certain sens le cercle indicateur. Pour ce motif, nous donnerons à la substitution dont il s'agit le nom de substitution circulaire. Nous la représenterons, pour abréger, par la notation
(^, j, s, ...,«, V, w); et il est clair que, dans cette notation, une quelconque des variables
pourra occuper la première place. Ainsi, par exemple, on aura identiquement
L'ordre n d'une substitution circulaire sera évidemment le nombre même des lettres qu'elle renferme. Il est d'ailleurs facile de s'assurer que, n étant l'ordre de la substitution circulaire
Impuissance Z'^'"'' de cette substitution, savoir
i^,y,z, ...,«, t-, wy,
sera une nouvelle substitution de l'ordre n, si / et n n'ont pas de facteurs communs, ou, en d'autres termes, si / est premier à n. Si, au contraire, /cesse d'être premier à n, alors, k étant le plus grand commun diviseur des nombres /, n, et h étant le quotient de la division de
Il par k, la substitution
{oc, y,z, .. ., Il, v,wy
sera le produit de h substitutions circulaires de l'ordre k. Ainsi, par exemple, on aura, en posant /i = 4»
{jo,y,z, uf={x,z){y, u), {x, y, z, uf-=: {œ, u, z, y)',
et l'on trouvera pareillement, en posant /i = 6,
{x, y, z, u, V, wY= {x, z, ç) {y, u, w), {x, y,z, u, v,wy=^{x, ii){y,v) {z,w), {x, y, z, u, V, wY^i.x, V, z) {y, w, u), (x, y, z, u, V, wY={x, w, V, u, z,y).
§ II. — Propriétés diverses des substitutions, et décomposition d'une substitution donnée en substitutions primitives.
Il est facile de s'assurer qu'une substitution quelconque, relative à un nombre quelconque de variables, est toujours un produit de substitutions circulaires; ainsi, par exemple, on a
Cela posé, soit ( ) une substitution de l'ordre i, relative à un
nombre n de variables
( ^ ) sera nécessairement ou une substitution circulaire, ou le produit
de plusieurs substitutions circulaires dont quelques-unes pourront renfermer une seule lettre et se réduire à l'unité. Ces substitutions cir-
culaires seront ce que nous appellerons les facteurs circulaires de . .
Deux quelconques d'entre elles, étant composées de lettres diverses, seront évidemment permutables. Donc tous les facteurs circulaires
de ( . ) seront permutables entre eux et représenteront des substitutions qui pourront être effectuées dans un ordre quelconque. Il y a plus : comme deux substitutions égales seront nécessairement permutables entre elles, si l'on élève ( a ) ^ ^^^ puissances quelconques, on
obtiendra de nouvelles substitutions qui seront permutables entre elles, ainsi que leurs facteurs représentés par des puissances des facteurs circulaires de (. )•
Supposons, pour fixer les idées, que les variables comprises dans les divers facteurs circulaires de ( . ] soient respectivement
Dans le premier facteur a, ê, y,
Dans le second facteur 1, ix, v, . . .
Dans le troisième facteur ... 9, y, (];, ... > • f • > • • • f
en sorte qu'on ait
(0 L j = (a> ê, y, . . .) {l, ij., V, . . .) (cp, X, ^, • • •).
Alors, /étant un nombre entier quelconque, on aura encore
et, pour que /vérifie l'équation
il faudra qu'on ait séparément
(3) (a, g, y, ...)/ = I, (X,fZ,v, ...)'• — 1, (9,-^,(1;, ...)'— I,
Or les seules valeurs de / propres à vérifier l'équation (2) seront
l'ordre i de la substitution ( i ) et les multiples de i. Pareillement les valeurs de / propres à vérifier l'une quelconque des formules (3) seront l'ordre du facteur circulaire qui entre dans cette formule et les multiples de cet ordre. Cela posé, soient
les nombres qui représentent les ordres respectifs des substitutions circulaires
(a, g, y,...), (^fz, V, ...), (9, X, ^, ...)» •••; non seulement on aura
attendu que les divers groupes
devront renfermer en somme les n lettres auxquelles se rapporte la substitution ( 1 )' mais, de plus, on conclura sans peine de ce qui précède que l'ordre i de la substitution ( . j sera le plus petit nombre divisible à la fois par a, par 6, par c, etc. Lorsque deux substitutions
1} il
différeront uniquement par la forme des lettres qui, dans ces deux substitutions, occuperont les mêmes places, et qu'en conséquence ces deux substitutions offriront le même nombre de facteurs circulaires et le même nombre de lettres dans les facteurs circulaires correspondants, nous dirons qu'elles sont semblables entre elles. Alors on aura nécessairement
et, par suite, aussi
Il est facile de calculer le nombre des substitutions
il}
semblables entre elles et à ( . )» que l'on peut former avec n lettres. Soit SfL ce nombre, et supposons que la substitution ( ) ait pour fac-
teurs g substitutions circulaires de l'ordre a, h substitutions circulaires de l'ordre b, k substitutions circulaires de l'ordre c, etc. On aura, non seulement
(4) ga -h hb-'r kc + . . .=: n,
mais encore
Si maintenant on désigne par
la somme des valeurs de 3L correspondantes aux divers systèmes de nombres qui peuvent représenter des valeurs de a, b, c, . . .propres à vérifier l'équation (i), en d'autres termes, si l'on désigne par 113K, la somme des valeurs de siL correspondantes aux diverses manières de partager le nombre n en parties égales ou inégales, alors I>3L devra être précisément le nombre total des substitutions que l'on peut former avec n lettres. On aura donc
et, par suite,
<7> lu
Cette dernière équation paraît digne de remarque. Si, pour fixer les
OEwres de C. — S. I, t. IX. 87
idées, on pose n = 5, on trouvera
=:3+l + I = 2 + 24-l3=2-l-I-HH-I = l-i-I + l4-I-4-l,
et par suite l'équation (7) donnera
