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En d'autres termes, toute substitution semblable à P sera le produit de

EXTRAIT N° 30i. 349

trois facteurs dont les deux extrêmes seront inverses l'un de Vautre, le facteur moyen étant précisément la substitution donnée P. Réciproquemont, YoM^/?roc?w«V de trois facteurs dont les deux extrêmes seront deux substitutions inverses l'une de l'autre, le facteur moyen étant la substitution P, sera une substitution semblable à P.

Concevons maintenant que P, Q soient deux substitutions quelconques semblables ou dissemblables. Les produits

PQ, QP

seront, dans tous les cas, non seulement des substitutions de même ordre, comme je l'ai remarqué dans un précédent article, mais encore des substitutions semblables entre elles. En effet, si l'on pose

R = PQ, S^QP,

on en conclura, d'une part,

et, par suite,

R=Q-iSQ;

d'autre part,

QznP-'R et, par suite,

Si=P-'RP.

§ III. — Des systèmes de substitutions régulières et conjuguées. Considérons un système de n variables

Soient d'ailleurs a un nombre entier égal ou inférieur à //, et ha un multiple de h contenu dans n. Enfin, concevons qu'avec ah variables, prises au hasard, on forme h groupes divers composés chacun de a lettres, et nommons

h substitutions circulaires de l'ordre a, dont chacune soit formée avec

les variables comprises dans un seul groupe. Ces substitutions étant permutables entre elles, le système de ces mêmes substitutions et de leurs dérivées sera de l'ordre

Ajoutons que, si a est un nombre premier, le système dont il s'agit renfermera seulement des substitutions régulières de l'ordre a, dont quelques-unes, savoir les substitutions (i) et leurs puissances, se réduiront à des substitutions circulaires de l'ordre a.

Soient maintenant h un nombre égal ou inférieur à A, et kh un multiple de h contenu dans h. Avec plusieurs des précédents groupes que j'appellerai groupes de première espèce, on pourra composer des groupes de seconde espèce, dont chacun embrasse h groupes de première espèce, et dont le nombre soit égal à k. Cela posé, nommons

des substitutions dont chacune consiste à permuter circulairement entre eux les h groupes de première espèce compris dans un seul groupe de seconde espèce. Chacune des substitutions (2), exprimée à l'aide des variables primitives, sera une substitution régulière équivalente au produit de a facteurs circulaires dont chacun sera de l'ordre h\ et ces substitutions seront permutables, non seulement entre elles, mais encore avec les substitutions (i). Par suite, le système des substitutions (i) et (2) et de leurs dérivées sera de l'ordre

Ajoutons que, si a et h sont des nombres premiers, le système dont il s'agit se composera uniquement de substitutions régulières, les unes de l'ordre «, les autres de l'ordre h.

En continuant ainsi, on établira généralement la proposition suivante :

Théorème I. — Considérons un système de n variables x, y, s,

Soient d'ailleurs a un nombre entier, égal ou inférieur à n, et i ■= ha un multiple de a contenu dans n. Soient encore b un nombre entier, égal ou

inférieur à h, et kb un multiple de h contenu dans h. Soient pareillement c un nombre entier, égal ou inférieur à k, et le un multiple de c contenu dans k. On pourra toujours former, avec i variables arbitrairement choisies, un système de substitutions conjuguées dont l'ordre sera représenté par le produit

les facteurs circulaires de l'une quelconque de ces substitutions étant tous des puissances de substitutions circulaires de l'ordre a, ou de l'ordre b, ou de l'ordre c, .... Par suite, si les divers nombres a, b^ c, ... sont tous des nombres premiers, le système dont il s'agit se composera uniquement de substitutions régulières dont chacune sera de l'ordre a, ou de l'ordre b, ou de l'ordre c, ....

Corollaire. — En supposant les nombres a, b, c, ... tous égaux à un même nombre premier/), on déduit immédiatement du théorème I la proposition suivante :

Théorème II. — Considérons un système de n variables. Soit d'ailleurs p un nombre premier égal ou inférieur à n. Soient encore i = hp un multiple de p contenu dans n, kp un multiple de p contenu dans h, Ip un multiple de p contenu dans k, .... Avec i variables arbitrairement choisies, on pourra toujours former un système de substitutions conjuguées et régulières, dont chacune sera de l'ordre p, l'ordre du système étant représenté par le produit

Corollaire. — Rien n'empêche d'admettre que, dans le théorème précédent, on désigne par hp le plus grand multiple de p contenu dans n, par kp le plus grand multiple de p contenu dans h, par Ip le plus grand multiple de/? contenu dans k, Alors

se réduit à la plus haute puissance de/^ qui divise exactement le produit

et par suite on obtient, à la place du théorème II, la proposition suivante :

Théorème III. — Considérons un système de n variables x, y, z, .... Soient d'ailleurs p un nombre premier, égal ou inférieur à n, i le plus grand multiple de p contenu dans /z, et p^ la plus haute puissance de p qui divise exactement le produit

Avec plusieurs des variables x,y, z, . . . , choisies arbitrairement en nombre égal à i, on pourra toujours former un système de substitutions régulières conjuguées, dont chacune sera de l'ordre p, l'ordre du système étant j/.

§ IV. — Sur diverses propriétés remarquables des systèmes de substitutions

conjuguées.

Soient

les divers arrangements qui peuvent être formés avec n variables

X, y, Zy • • • ,

et qui sont en nombre égal à N, la valeur de N étant

7Vr=l.2.3...«.

Les substitutions

(a> il)' (a)- ••••

dont le nombre est encore A^, et dont la première se réduit à l'unité, formeront toujours un système de substitutions conjuguées, l'ordre de ce système étant précisément le nombre N. Soit maintenant

un système de substitutions conjuguées qui, étant d'un ordre Mmîé-

EXTRAIT N° 30i. 353

rieur à N, renferme seulement quelques-uns des termes compris dans la suite (i), et désignons par U, V, W, ... des substitutions qui fassent partie de la suite (i), sans être comprises dans la suite (2). Si Ton désigne par m le nombre des termes de la suite