Q, PQ

qui sera du quatrième ordre. Pareillement, si l'on pose

f -- 6 — - 3 X 2, alors, avec les six variables

rangées sur deux lignes horizontales et sur trois lignes verticales, on pourra composer les deux substitutions régulières

qui seront permutables entre elles; et ces deux substitutions formeront, avec leurs dérivées, un système de substitutions conjuguées qui sera du sixième ordre. Au reste, ce dernier système ne sera autre chose que le système des puissances de la substitution circulaire

dont P et Q représentent les facteurs primitifs. ^

Au lieu de ranger les «variables données sur a lignes horizontales et sur b lignes verticales, on pourrait représenter ces variables par une seule lettre s affectée de deux indices, et représenter même les deux systèmes d'indices par deux nouveaux systèmes de lettres

o(, ê, y, ..., }., IX, y,

Ainsi, par exemple, on pourrait représenter les six variables

par

et alors les substitutions

s'offriraient sous les formes

CEuvrcs Je C. - S. 1, t. IX. 44

qui rendraient sensibles les propriétés qu'ont ces deux substitutions d'être permutables entre elles.

Concevons maintenant que le nombre entier

i=z abc. . .

soit décomposable en plusieurs facteurs a, b,c, ..., égaux ou inégaux. Alors on pourra représenter i variables diverses

Xy y, z, ...

par une seule lettre s affectée de plusieurs indices, le nombre / de ces indices étant égal au nombre des facteurs «, ^, c, ..., et représenter même les divers systèmes d'indices par divers systèmes de lettres

Cela posé, les substitutions P, Q, ... qui, étant exprimées à l'aide des lettres a, ê, y, . . . , X, [jl, v, . . . , 9, 7^, '|, . . . , se présenteront sous les formes

(3) P = (a,6,y, ...). Q=:(X,fx,v, ...), R = (9,x,4', ...),

seront évidemment des substitutions permutables entre elles, la première de l'ordre «, la seconde de l'ordre b, la troisième de l'ordre c, ..., et elles composeront, avec leurs dérivées, un système de substitutions conjuguées dont l'ordre sera

i= abc. . . .

Ajoutons que, si les substitutions (3) sont exprimées à l'aide des i lettres

chacune d'elles sera une substitution régulière qui renfermera toutes ces lettres, P étant le produit de - facteurs circulaires de l'ordre a,

Q étant pareillement le produit de ^ facteurs circulaires de l'ordre b^ ....

Dans le cas particulier où les /facteurs a, b, c, ... deviennent égaux entre eux, on a

/ rr; a',

et les substitutions

forment avec leurs dérivées un système de a' substitutions diverses qui sont toutes de l'ordre a, si a est un nombre premier, à l'exception de celle qui se réduit à l'unité.

§ II. — Des substitutions semblables.

Soient

quatre arrangements formés avec n variables

En vertu des définitions adoptées, les deux substitutions

neront semblables entre elles, si elles diffèrent uniquement par la forme des lettres qui, dans ces deux substitutions, occupent les mêmes -places. Alors, non seulement les deux substitutions P, Q seront du même ordre, mais elles offriront le même nombre de facteurs circulaires et le même nombre de lettres dans les facteurs circulaires correspondants. Alors aussi on aura

et réciproquement, si la condition (2) est remplie, les deux substitutions

seront semblables l'une à l'autre.

348 COMPTES RENDUS DE L'ACADÉxMIE.

Concevons maintenant que l'on pose

Alors on tirera de la formule (2), non seulement

mais encore

D'ailleurs, on aura identiquement

H^)il){'c

Donc, eu égard aux formules

on aura encore

Q^RPR*.

Si l'on posait

la formule (3) deviendrait

(4) Q:==S-iQS.

Nous pouvons donc conclure de ce qui précède que, P étant une substitution quelconque, toute substitution semblable à P sera de la

forme

RPR-i

ou, ce qui revient au même, de la forme