V = US

s = PQ-' étant un terme de la suite (2). Donc alors, dans le Tableau (4), le premier terme V de la troisième suite serait déjà un des termes de la seconde. Donc tous les termes du Tableau (4) seront distincts les uns des autres, si le premier terme de chaque suite est pris en dehors des suites précédentes. Or, concevons que, en remplissant toujours cette condition, l'on ajoute sans cesse au Tableau (4) de nouvelles suites, en faisant croître ainsi le nombre m. On ne pourra être arrêté dans cette opération qu'à l'instant où le Tableau (4) renfermera les Affermes compris dans la suite (i). Mais alors on aura évidemment

("*) /V=mM.

OEuvres de C. — S. I, t. IX. /p

Z^k. COMPTES RENDUS DE L'ACADÉMIE.

Donc M sera un diviseur de N, et l'on peut énoncer la proposition suivante :

Théorème I. — L'ordre d'un système de substitutions conjuguées, relatives à n variables, est toujours un diviseur du nombre N des arrangements que l'on peut former avec ces mêmes variables.

Corollaire. — Il est bon d'observer qu'au Tableau (4) on pourrait substituer un autre Tableau de la forme

i U, PU, QU, RU,

(6) V, PV, QV, RV,

1 W, PW, QW, RW,

Soit maintenant

un nouveau système de substitutions conjuguées, et nommons OlL l'ordre de ce système. Soient, de plus.

quelques-unes des substitutions situées en dehors de la suite (7), et

formons le Tableau

t), ^tD, ^t), at),

#, ^^, ^^, sv^, . . , • • • , • • • ) • • • >

Chacune des substitutions comprises dans ce Tableau, étant l'une de celles que l'on peut former avec les n variables x, y, z, . . . , se confondra nécessairement avec l'un des termes du Tableau (4)- De plus, si deux termes compris dans une même ligne horizontale du Tableau (9), par exemple ^o et ^o, se retrouvent dans une même ligne horizontale.

par exemple dans la troisième du Tableau (4)» en sorte qu'on ait

(10) ^t) = VR, ^X9~VS,

R, S étant doux termes quelconques de la suite (2), on tirera des équations (10), non seulement

t)-»^-'=rR-iV-',

mais encore

(11) t)-'^-'^XD — R-»S,

et par suite la substitution $-*^, que représente un terme de la suite (7), sera semblable à la substitution R-* S, qui représente un terme de la suite (2). Enfin, si deux termes compris dans deux lignes horizontales du Tableau (9), par exemple

^•Ç et ^t),

se retrouvent dans une même ligne horizontale du Tableau (4), en sorte qu'on ait, par exemple,

ÇPt? = VR, ^XD = VS,

on en conclura, non seulement

Donc alors la suite horizontale qui renfermerait le facteur x^ dans le Tableau (4) renfermerait aussi un terme (f'^o évidemment compris dans la troisième suite horizontale du Tableau (9). Cela posé, pour que les divers termes du Tableau (9) soient distincts les uns des autres, et appartiennent tous à des suites horizontales distinctes du Tableau (4), il suffira évidemment : 1° qu'aucune des substitutions

<S, % Si, ...

ne soit semblable à l'une des substitutions

2^ que, après avoir formé une ou plusieurs lignes horizontales dii Tableau (9), on prenne toujours pour premier terme de la ligne suivante une substitution située, non seulement en dehors des lignes précédentes, mais encore en dehors des lignes horizontales du Tableau (4) qui renferment les divers termes appartenant aux lignes déjà écrites du Tableau (9). Or, en supposant ces deux conditions remplies, concevons que l'on allonge de plus en plus le Tableau (9), en ajoutant sans cesse à ce Tableau de nouvelles suites horizontales. On ne pourra être arrêté dans cette opération qu'à l'instant où le Tableau (9) renfermera un terme pris dans chacune des lignes horizontales du Tableau (4); et comme d'ailleurs, à cet instant, deux termes distincts du Tableau (9) seront encore deux termes qui appartiendront à deux lignes horizontales distinctes du Tableau (4)» il est clair que le nombre m de ces lignes horizontales sera égal au nombre des termes du Tableau (9), par conséquent à un multiple du nombre OlL des

termes

I, <$, % Si, ...,

renfermés dans la première ligne horizontale du Tableau (9). On peut donc énoncer la proposition suivante :

Théorème II. — Soient

I, a\ % Si, ...

deux systèmes de substitutions conjuguées, et relatives à n variables diverses. Désignons par M et par D1L les ordres de ces deux systèmes, et posons, non seulement

mais encore

Si aucune des substitutions

n'est semblable à l'une des substitutions

alors OÏL sera un diviseur de m, et M un diviseur de m, en sorte que chacun des rapports égaux

m m N mm

sera un nombre entier.

Le théorème II entraîne évidemment la proposition suivante : Théorème III. — Soient

I, (S, % Si, ...

deux systèmes de substitutions conjuguées, et relatives a n variables diverses. Soient d'ailleurs M, OÏL les ordres de ces deux systèmes. Si le produit MdW' n'est pas un diviseur du produit

7Vr= I .2.3. . .«,

alors l'une au moins des substitutions

sera semblable à l'une des substitutions

Soient maintenant/? un nombre premier égal ou inférieur à n, et// la plus haute puissance de/? qui divise le produit

On pourra, d'après ce qui a été dit dans le § III, supposer que la suite

représente un système de substitutions régulières conjuguées dont chacune soit de l'ordre/?, l'ordre an- du système étant égal kp^. D'autre part, si le nombre m n'est pas un multiple de/?^, le rapport

dont le numérateur N est un multiple de p^, sera certainement un nombre divisible par/?. Donc le théorème III entraînera la proposition suivante :

Théorème IV. — Soit M V ordre d' un certain système

de substitutions conjuguées. Si p est un facteur premier de M, le système dont il s' agit renfermera au moins une substitution régulière de l'ordre p.

Corollaire 1. — Il suit, par exemple, du théorème précédent que, si l'ordre du système de substitutions conjuguées est un nombre pair, ce système renfermera au moins une substitution régulière du second ordre.

Corollaire IL — Lorsque le nombre/? est supérieur à -> la substitution régulière de l'ordre p, comprise dans le système donné, ne peut être évidemment qu'une substitution circulaire.

§ V. — Conséquences remarquables des principes établis dans les paragraphes précédents.

Les principes établis dans les précédents paragraphes entraînent avec eux plusieurs conséquences, qu'il importe de signaler, relativement au nombre des valeurs égales ou distinctes que peut acquérir une fonction de n variables indépendantes, lorsqu'on permute ces variables entre elles de toutes les manières possibles. Ainsi, en particulier, les théorèmes II, III et IV du § IV entraînent immédiatement les propositions suivantes :

Théorème I. — Soient ù une fonction de n variables

et m le nombre des valeurs distinctes de cette fonction. Soit encore Dïl l'ordre d'un certain système de substitutions conjuguées,

Si aucune des substitutions

n'est semblable à l'une des substitutions

gui possèdent la propriété de ne pas altérer la valeur de (2, m sera divisible parDJl.

Nota. — On pourrait établir directement ce dernier théorème, en

observant que, si

représentent lés valeurs distinctes de la fonction donnée, toute substitution semblable à l'une de celles qui n'altéreront pas Çl aura certainement la propriété de ne pas altérer une des fonctions ii', il",

Théorème II. — Soient ù une fonction de n variables

^j ff ^> • • • >

et m le nombre des valeurs distinctes de cette fonction. Soit, de plus. DK, l'ordre d'un certain système de substitutions conjuguées

i, % % Si, ....

Si OIL n'est pas un diviseur de m, l'une au moins des substitutions

qui possèdent la propriété de ne pas altérer la valeur de la fonction £2, sera semblable à l'une des substitutions

Corollaire L — Rien n'empêche de supposer que les substitutions Ç, ^, .a, ... se réduisent à une seule substitution circulaire dont l'ordre soit un nombre premier quelconque/?. Alors, à la place du théorème II, on obtient la proposition suivante :

Théorème III. — Soient £1 une fonction de n variables, m le nombre des valeurs distinctes de cette fonction, et p un nombre premier quelconque inférieur à n. Si p n'est pas un diviseur de m, alors, parmi les substitutions circulaires de l'ordre p, on pourra en trouver une ou plusieurs qui auront la propriété de ne pas altérer la valeur de Çl.

Corollaire L — Il suit, en particulier, du théorème précédent que, si le nombre m des valeurs distinctes de O est un nombre impair, on pourra, sans altérer cette fonction, opérer au moins une substitution circulaire du second ordre. Donc alors cette fonction sera symétrique au moins par rapport au système des deux variables. Telle est, par exemple, quand on pose n — 4. la fonction

qui offre trois valeurs distinctes.

Corollaire IL — Il suit encore du théorème précédent que, si une fonction (2 de n variables indépendantes admet, sans être symétrique, un nombre impair de valeurs distinctes, elle sera toujours intransitive par rapport à /z ou à /z — i variables.

Théorème IY. — Soient £l une fonction de n variables x, y, z, ... et M le nombre des valeurs égales de cette fonction. Si M est divisible par un certain nombre premier p, on pourra trouver une ou plusieurs substitutions régulières de l' ordre p qui posséderont la propriété de ne pas altérer la valeur de Çl. Dans d'autres articles, f indiquerai encore d'autres conséquences importantes des principes ci-dessus établis.

Analyse mathématique. — Mémoire sur diverses propriétés remarquables des substitutions régulières ou irrégulières , et des systèmes de substitutions conjuguées (suite).