C. R., T. XXI, p. 895 (20 octobre i
§ I. — Sur les systèmes de substitutions permutables entre eux. Considérons n variables
et formons avec ces variables deux systèmes de substitutions conjuguées, l'un de l'ordre a, l'autre de l'ordre b. Représentons d'ailleurs par
(0 ■ I, Pi, P2, ..., P«-,
les substitutions dont se compose le premier système, et par
(2) I, Q„ Q2, ..., Qô-,
celles dont se compose le second système. Nous dirons que les deux systèmes sont permutables entre eux, si tout produit de la forme
est en même temps de la forme
Il pourra d'ailleurs arriver, ou que les indices A et >^ restent invariables dans le passage de la première forme à la seconde, en sorte qu'on ait
PaQa^q.P/o
ou que les indices heik varient dans ce passage, en sorte qu'on ait
OEuvrcs de C. — S. I, t. IX. ^g
h, k' étant de nouveaux indices, liés d'une certaine manière aux nombres h et k. Dans le premier cas, l'une quelconque des substitutions (i) sera permutable avec l'une quelconque des substitutions (2). Dans le second cas, au contraire, deux substitutions de la forme P^, Qa cesseront d'être généralement permutables entre elles, quoique le système des substitutions de la forme P^ soit permutable avec le système des substitutions de la forme Q^.
Supposons maintenant que, les systèmes (1) et (2) étant permutables entre eux, on nomme S une dérivée quelconque des substitutions comprises dans les deux systèmes. Cette dérivée S sera le produit de facteurs dont chacun sera de la forme P^ ou Qa, et l'on pourra, sans altérer ce produit : i** échanger entre eux deux facteurs dont l'un serait de la forme P^, l'autre de la forme Qa, pourvu que l'on modifie convenablement les valeurs des indices ^ et ^; 2*^ réduire deux facteurs consécutifs de la forme P^ à un seul facteur de cette forme; 3° réduire deux facteurs consécutifs de la forme Qa à un seul facteur de cette forme. Or il est clair que, à l'aide de tels échanges et de telles réductions, on pourra toujours réduire définitivement la substitution S à l'une quelconque des deux formes
P^Q^t, Q>fcP/..
On peut donc énoncer la proposition suivante : Théorème I. — Soient
(t) I, Pi, P2, ••., Pa-J
et
(2) I, Qi, Qi, ••, Qi-i
deux systèmes de substitutions conjuguées, permutables entre eux, le premier de l'ordre a, le second de l'ordre b. Toute substitution S, dérivée des substitutions {i) et {2), pourra être réduite à chacune des formes
PaQa, Q^P/m
Corollaire.
Tableaux
et
Concevons maintenant que l'on construise les deux
I, Pi, P2,
Q„ Q, Pi, Qi P2,
Q2, U2 Pi, V2 "ly
Qb-i> Qô— iPi, Qô-i P2,
Pi,
Qi,
PiQi,
Qi
Pa-
Pa-
-lP«-
-iQi,
Pa-lQ6-1.
Deux termes pris au hasard, non seulement dans une même ligne horizontale, mais encore dans deux lignes horizontales différentes du Tableau (3), seront nécessairement distincts l'un de l'autre, si les séries (i) et (2) n'offrent pas de termes communs autres que l'unité. Car, si en nommant A, A' deux entiers inférieurs à a, et k, k' deux entiers inférieurs à h, on avait, par exemple,
sans avoir à la fois
PaQ^^P^^Qa,
h'— h et k'—k, l'équation (5) entraînerait la formule
en vertu de laquelle les deux séries offriraient un terme commun qui serait distinct de l'unité. Donc, dans l'hypothèse admise, les divers termes du Tableau (3), qui offrira toutes les valeurs possibles du produit
Q^Pa,
seront distincts les uns des autres, et par suite les dérivées distinctes des substitutions (i) et (2) se réduiront aux termes de ce
Tableau. Donc le système de substitutions conjuguées, formé par ces dérivées, sera d'un ordre représenté par le nombre des termes du Tableau (3), c'est-à-dire par le produit ab. On pourra d'ailleurs évidemment remplacer le Tableau (3) par le Tableau (4), et, par conséquent, on peut énoncer la proposition suivante :
Théorème II. — Les mêmes choses étant posées que dans le théorème I, les dérivées des substitutions (i) et (i) formeront un nouveau système de substitutions qui seront toutes comprises dans le Tableau (3), ainsi que dans le Tableau (4); ^^ l'ordre de ce système sera le produit ab des ordres a, b des systèmes (i) et (2).
On peut encore démontrer facilement la proposition suivante qui peut être considérée comme réciproque du second théorème :
Théorème III. — Soient
(2) I, Q„ Q,, ..., Qô-i
deux systèmes de substitutions conjuguées, le premier de l'ordre a, le second de l'ordre b, qui n'offrent pas de termes communs autres que l'unité. Si les dérivées de ces deux systèmes forment un nouveau système de substitutions conjuguées, dont l'ordre se réduise au produit ab, toutes ces dérivées seront comprises dans chacun des Tableaux (3) et (4), et par conséquent les systèmes (i) et (2) seront permutables entre eux.
Démonstration. — En effet, dans l'hypothèse admise, chacun des Tableaux (3), (4) se composera de termes qui seront tous distincts les uns des autres, et qui seront en nombre égal à celui des substitutions dérivées des substitutions (i) et (2). Donc il renfermera toutes ces substitutions, dont chacune sera tout à la fois de la forme Qy^P^ et de la forme P^Q*.
Corollaire. — Les conditions énoncées dans le théorème III seront certainement remplies si aucune des substitutions comprises dans les systèmes (i) et (2) n'altère la valeur d'une certaine fonction ù des
variables x, y, z, ..., et si d'ailleurs le nombre des valeurs égales de cette fonction est précisément le produit ab. On peut donc énoncer encore la proposition suivante :
Théorème IV. — Soient
(2) I, Qi, Q,, ..., Q,,
deiùx systèmes de substitutions conjuguées, le premier de l'ordre a, le second de l'ordre b, qui n'ocrent pas de termes communs autres que l'unité. Soit d'ailleurs ù une fonction dont la valeur ne soit altérée par aucune des substitutions (i) ou (2). Si le nombre des valeurs égales de la/onction ù est précisément le produit ab, les systèmes (i) et (2) seront permutables entre eux, et par conséquent l'une quelconque des dérivées des substitutions comprises dans ces deux systèmes sera tout à la fois de la forme P^Q^ et de la forme P^Qa-
Exemple, — Posons /^ = 4; la fonction
offrira deux valeurs distinctes seulement, par conséquent 12 valeurs égales; et, parmi les substitutions qui n'altéreront pas la valeur de cette fonction, se trouveront, d'une part, les substitutions du second ordre
Pi= (-^,7) (-,«), V^={x,z){y,u), V,^{x,u){y,z),
qui forment avec l'unité un système de substitutions régulières conjuguées du quatrième ordre; d'autre part, les substitutions du troisième ordre
qui forment, avec l'unité, un système de substitutions conjuguées du troisième ordre. Cela posé, le produit 3 x 4 des ordres des deux systèmes étant précisément le nombre 12 des valeurs égales de la fonc-
tion lî, on conclura du théorème IV que les deux systèmes de substitutions
I> Pl> P2> Ps»
sont permutables entre eux, et que les dérivées de ces substitutions, c'est-à-dire les diverses substitutions en vertu desquelles Q, ne changera pas de valeur, sont toutes comprises dans chacun des Tableaux
I» Pl> PîJ "s>
Q, Q Pi, Q P2, Q P3,
QS Q^Pi, Q^P^, Q^Ps;
i> Pi, P2, P3,
QS PlQ^ P^QS PaO^
D'ailleurs les termes équivalents du premier et du second Tableau seront ce qu'indique la formule
pourvu que l'on considère les deux notations
comme exprimant une seule et même substitution, dans le cas où la différence des indices A, h' est divisible par 3.
§ II. — Sur le partage des variables que renferme une fonction donnée en plusieurs groupes arbitrairement choisis.
Soit ù une fonction de n variables indépendantes x, y, z, ..., et supposons ces variables partagées en plusieurs groupes arbitrairement choisis, dont chacun, après une substitution quelconque, soit censé comprendre toujours les seules variables qui, dans la fonction, occupent certaines places. Parmi les substitutions qui n'altéreront pas la valeur de (2, deux quelconques produiront des valeurs égales de 12 qui
EXTRAIT No 305. 367
offriront, ou les mêmes groupes tous composés de la même manière, ou deux modes distincts de composition des divers groupes. Cela posé, soient
les substitutions qui n'altèrent, ni la valeur de ù, ni le mode de composition des divers groupes. Ces substitutions formeront évidemment un système de substitutions conjuguées, et l'ordre / de ce système représentera le nombre des valeurs égales de ù qui correspondront à un mode quelconque de composition des divers groupes. Cela posé, si l'on nomme OlL le nombre des divers modes de composition que les divers groupes peuvent offrir, DXiI sera évidemment le nombre total M des valeurs égales de la fonction ù. On peut donc énoncer la proposition suivante :
Théorème. — Soit Q, une fonction de n variables indépendantes
et partageons ces variables en groupes arbitrairement choisis, dont chacun, après une substitution quelconque, soit censé comprendre les seules variables qui, dans la fonction (2, occupent certaines places. Soit d'ailleurs I l'ordre du système des substitutions conjuguées
qui, sans altérer ù, se borneront à déplacer des variables dans les divers groupes ; et nommons OîL le nombre des divers modes de composition que les divers groupes pourront offrir, sans que la valeur de O soit altérée. Le nombre total DTL des valeurs égales de ù sera déterminé par l'équation
(2) M=DyiI.
Corollaire. — Supposons que les divers groupes soient respectivement formés, le premier, de a variables; le deuxième, de b variables; le troisième, de c variables; etc. Supposons encore que, pour un cer-
tain mode de composition des divers groupes, le premier groupe se
compose des variables
le deuxième des variables le troisième des variables
Enfin, supposons que, dans ce cas, la fonction ù puisse acquérir : 1° A valeurs égales en vertu de substitutions correspondantes à des permutations diverses des variables ce, S, y, . ..; 2^ B valeurs égales en vertu de substitutions qui, sans déplacer a, ê, y, . . . , correspondent à des permutations diverses de X, [x, v, ... ; S*' C valeurs égales en vertu de substitutions qui, sans déplacer ni a, ê, y, . . ., ni X, pi, v, ... , correspondent à des permutations diverses de ç, y^, 'j», . . . , les permutations diverses des variables comprises dans un groupe pouvant d'ailleurs entraîner des permutations correspondantes des variables comprises dans les groupes suivants. Alors on aura évidemment
(3) I=ABC..., et par suite la formule (3) donnera
(4) M=DJIABC....
Analyse mathématique. — Mémoire sur diverses propriétés remarquables des substitutions régulières ou irrégulières, et des systèmes de substitutions conjuguées (suite).
C. R., T. XXI, p. 931 (27 octobre 1845). Soit Çl une fonction de n variables indépendantes
Nommons
(I) Cl, Q', fl^ ...
les valeurs distinctes de cette fonction qui résultent de permutations opérées entre les variables, et soit m le nombre de ces valeurs distinctes. Soient encore
P une substitution de l'ordre i, prise parmi celles qui n'altèrent pas la valeur de 12;
P, P', P", ... les diverses substitutions semblables à P;
CT le nombre des substitutions P, P', P", ... ;
h le nombre de celles des substitutions P, P', P", . . . qui n'altèrent pas la valeur de ù;
k le nombre de celles des fonctions 12, 01 , (2", ... qui ne sont pas altérées par la substitution P.
Si l'on applique successivement à chacune des fonctions
chacune des substitutions
le nombre total des opérations effectuées sera
et, parmi ces opérations, celles qui s'effectueront sans altérer les valeurs des fonctions auxquelles on les applique seront évidemment en nombre égal à chacun des deux produits
hm, krs.
On aura donc nécessairement
(^) hmzrzkrs.
Soient maintenant
OEuvres de C. - S>.\.\.A\. f^-j
ceux des termes de la suite (i) qui sont altérés par la substitution P. Le nombre de ces termes sera évidemment représenté par m — k.
Si l'ordre «de la substitution P se réduit à un nombre premier/?, la suite (3) se décomposera en plusieurs suites nouvelles, composées chacune de/? termes que l'on déduira l'un de l'autre, en appliquant à l'un d'eux les substitutions représentées par les diverses puissances de P. Donc alors m — k sera un multiple de/?, et l'on aura
(4) m — it = o (mod./?).
En vertu de la formule (4), m ne pourra s'abaisser au-dessous du nombre premier p que dans le cas où l'on aura
m zzz ky
et, par suite, en vertu de la formule (2), A = ci, c'est-à-dire dans le cas où la fonction £2 ne serait altérée par aucune substitution semblable à P. Dans ce même cas, si P est une substitution circulaire, la fonction (i sera symétrique ou offrira deux valeurs, en sorte qu'on
aura
/n = A: := I ou 2,
à moins toutefois que l'on n'ait
/nrr:4 et mrrrS.
Ajoutons que le nombre/?, étant l'ordre d'une substitution P qui n'altère pas ù, pourra représenter, dans la formule (4), l'un quelconque des diviseurs premiers du produit
par conséquent, l'un quelconque des nombres premiers inférieurs à n.
Si de l'hypothèse admise on voulait passer au cas où la substitution P n'altérerait aucune des fonctions
£2, 9J, il", ...,
il suffirait de poser dans la formule (4)
mais alors cette formule donnerait simplement
m = o (mod.p);
en sorte que p serait un diviseur de m. On se trouverait ainsi ramené à une proposition évidemment comprise dans le théorème I de la page 359. Si ù était une fonction transitive, alors de la formule (2), jointe à l'équation (5) de la page 289, on pourrait déduire des conséquences remarquables que nous exposerons dans un prochain article.
Analyse" mathématique. — Mémoire sur diverses propriétés remarquables des substitutions régulières ou irrégulières, et des systèmes de substitutions conjuguées (suite).
