A/ ^-VC

seront semblables l'une à l'autre, puisque, en vertu de la formule (i5), elles devront déplacer de la même manière les variables qui se correspondent dans les deux termes de la substitution

Il importe d'observer que les deux membres de la formule (i4) sont les produits qu'on obtient en multipliant les deux substitutions semblables P et Q par une nouvelle substitution R dont la première puissance entre, dans l'un des produits, comme multiplicande, et dans l'autre produit, comme multiplicateur. Pour obtenir cette nouvelle substitution R, il suffit d'exprimer la substitution P à l'aide de ses facteurs circulaires, en mettant toutes les variables en évidence, et d'écrire au-dessus de P la substitution Q, présentée sous une forme semblable à celle de P, puis de transformer les deux substitutions Q, P en deux arrangements C, A par la suppression des parenthèses et des virgules placées entre les variables. Ces deux arrangements C, A

seront les deux termes d'une substitution R qui vérifiera la formule (i4)- Il y a plus : d'après ce qui a été dit ci-dessus, toute valeur de R propre à vérifier cette formule sera évidemment fournie par la comparaison des deux substitutions semblables P, Q, superposées l'une à l'autre, ainsi qu'on vient de l'expliquer. D'ailleurs, comme, en laissant P sous la même forme, on pourra donner successivement à Q diverses formes semblables à celle de P, et semblables entre elles, dont le nombre sera précisément celui que nous avons représenté par w, il en résulte que la substitution R admet un nombre w de valeurs distinctes. Donc, si l'on résout par rapport à R la formule (i4)» c'està-dire V équation symbolique et linéaire à laquelle doit satisfaire la substitution R, on obtiendra un nombre w de solutions diverses correspondantes aux diverses formes de la substitution Q.

Si, en supposant connues, non plus les substitutions semblables P, Q, mais l'une d'elles, P par exemple, et la substitution R, on demandait la valeur de Q déterminée par l'équation (i4)> oHi ce qui revient au même, par la suivante

(i6) Q=rRPR-',

on remarquerait que, pour passer de la valeur de P, donnée par la formule (4), à la valeur de Q, donnée par la formule (5), il suffit do faire subir aux variables x, y, z, . . . les déplacements par lesquels on passe de la valeur de A, donnée par la formule (6), à la valeur de C, donnée par la formule (7), c'est-à-dire les déplacements qui sont indiqués par la substitution R. En opérant ainsi, on obtiendrait la seule valeur de Q qui vérifie la formule (16).

Nous savons donc maintenant résoudre les deux problèmes suivants :

Problème I. — Étant données n variables œ, y, z, . . ., et deux substitutions semblables P, Q, formées avec ces variables, trouver une troisième substitution R qui soit propre à résoudre l'équation linéaire

QR = RP

Solution. — Exprimez la substitution P à l'aide de ses facteurs circulaires, en mettant toutes les variables en évidence, puis écrivez audessus de la substitution P la substitution Q, présentée sous une forme semblable à celle de P. Supprimez ensuite les parenthèses et les virgules placées entre les variables. Les deux substitutions Q, P seront ainsi transformées en deux arrangements qui seront propres à représenter les deux termes de la substitution R.

Corollaire. — Les substitutions P, Q peuvent ne renfermer qu'une partie des variables x, y, z, ... ; mais, pour obtenir toutes les solutions de l'équation

QR = RP

on devra, comme nous l'avons dit, mettre toutes les variables en évidence, même celles qui ne seraient renfermées dans aucune des deux substitutions P, Q, si ces substitutions étaient réduites à leur plus simple expression. Il en résulte que, les substitutions P, Q restant les mêmes, le nombre des solutions de l'équation symbolique linéaire

QR = RP

croîtra en même temps que le nombre des variables x, y, z,

Pour éclaircir ce qu'on vient de dire, supposons que les substitutions P, Q, réduites à leur plus simple expression, soient deux substitutions circulaires du second ordre, et que l'on ait

Si les variables x,y, z, ... se réduisent à trois, alors, P étant présenté sous la forme

Q pourra être présenté sous l'une des formes semblables

(■^, -)(/)» (-,^)(y), et par suite la valeur de R devra se réduire à l'une des substitutions

xyzj' \œyz

ou, ce qui revient au même, à l'une des substitutions

Si, au contraire, l'on considère quatre variables x, y, z-, u, alors, P étant présenté sous la forme

Q pourra être présenté sous l'une quelconque des formes semblables

{^,^)iy){ii), {z,a:){y){u), {a:, z) (u) (y), {z,œ){u)(y),

et par suite R pourra être l'une quelconque des quatre substitutions

^xzyu\ /zxyu\ / xzuy\ / zxuy\ \xyzu} \xyzuj \xyzu )^ \œyzu)

ou, ce qui revient au même, l'une quelconque des quatre substitutions

Problème II. — Etant données n variables x, y, z, . . . , et deux substitutions semblables P, Q^, formées avec ces variables, trouver la substitution Q semblable àV, et déterminée par la formule

QmRPR-'.

Solution. — Exprimez la substitution P à l'aide de ses facteurs circulaires, puis effectuez dans P les déplacements de variables indiqués par la substitution R, on opérant comme si P représentait un simple arrangement..

Corollaire. — Pour résoudre ce second problème, il n'est pas nécessaire de mettre toutes les variables en évidence, comme on doit le faire généralement quand il s'agit d'obtenir toutes les solutions du premier, et l'on peut se servir de substitutions réduites à leurs plus simples expressions. Si, pour fixer les idées, on prend

alors, en appliquant la règle ci-dessus établie, on trouvera, quel que

soit d'ailleurs le nombre des variables données,

RPR-»=(z,^), PRP-'=iy,z,x).

Si l'on supposait, au contraire,

on trouverait

Analyse jiâthématique. — Mémoire sur les substitutions permutables

entre elles. ^