R=PA

et

D = QC

les nouveaux arrangements qu'on obtiendra en appliquant à l'arrangement A la substitution P, et à l'arrangement C la substitution Q. On

trouvera

6 y ...yjafxv ...pX ...(p^i|/ ..., ê'y'. . .Y]'a'/x'v'. . .p'}/. . .cp'^'4>'. . . .

Par conséquent, les variables qui, prises deux à deux, se correspondront encore dans les arrangements A, C, se correspondront encore dans les arrangements B, D; et cela devait être ainsi, puisque les substitutions semblables P, Q, présentées sous les formes semblables (4) et (5), ont eu précisément pour effet de déplacer de la même manière les variables semblablement placées dans les arrangements A et C. On aura donc

Cela posé, faisons, pour abréger.

On aura, par suite,

(12) D=RB, C = RA;

et des équations (12), jointes aux formules (8), on tirera

D = RPA, D = QRA,

par conséquent

(i3) QRA = RPA

et

(i4) QR = RP.

Réciproquement, si les substitutions P, Q sont liées entre elles par une équation semblable à l'équation (i4), alors, en appliquant à un arrangement quelconque A la substitution

QR = RP

Œuvres de C. — S. I, t. IX. 54

on retrouvera l'équation (i3), et, en posant, pour abréger,

ou, ce qui revient au même,

B = PA, C = RA, D = QC,

on tirera de l'équation (i3)

D = RB, R ^^

On aura donc alors

et par suite les substitutions

DHl