UP=:PU

Donc alors U sera nécessairement l'une des solutions de la formule (i). Mais il pourra se confondre avec l'une quelconque de ces solutions, dont le nombre est précisément co. Ajoutons que, en vertu des principes établis dans le précédent Mémoire, on devra, pour obtenir U, écrire au-dessus de la substitution P la même substitution sous une seconde forme semblable à la première, puis réduire les deux formes de la substitution P à de simples arrangements, en supprimant les parenthèses et les virgules placées entre les variables, et prendre ces

arrangements pour les deux termes de la substitution cherchée. Comme, en passant de la première forme de P à la seconde, on peut échanger entre eux arbitrairement les facteurs circulaires du premier ordre, formés avec les variables immobiles qui disparaissent quand on réduit la valeur de P à sa plus simple expression, il en résulte que, dans la substitution cherchée U, ces variables peuvent composer des facteurs circulaires quelconques. Donc, pour obtenir les diverses valeurs de U, il suffira de multiplier les diverses substitutions formées avec les variables immobiles de P par les diverses valeurs de U qu'on obtiendrait en laissant de côté ces mêmes variables, et en supposant la valeur de P réduite à sa plus simple expression.

Ainsi la question peut toujours être ramenée au cas où les variables données seraient toutes comprises dans la substitution P, sans qu'il fût nécessaire de les mettre en évidence.

Plaçons-nous maintenant dans cette dernière hypothèse, et, pour bien voir ce qui arrivera, examinons encore les différents cas qui peuvent s'offrir à nous, en commençant par ceux qui sont les plus simples.

Si d'abord la substitution P se réduit à un seul facteur circulaire, en écrivant, dans ce facteur, à la suite de chaque variable celle qui devra lui être substituée, il n'y aura plus d'arbitraire que le choix do la variable placée en tête du facteur dont il s'agit, et les deux arrangements auxquels on réduira la première et la seconde forme de P représenteront les deux termes d'une nouvelle substitution qui sera une puissance de P. Donc, la substitution U se confondra nécessairement avec l'une de ces puissances. Si la seconde forme de P n'était pas distincte de la première, la puissance de P qui représenterait la substitution U se réduirait évidemment à l'unité.

Supposons, en second lieu, que P soit une substitution régulière équivalente au produit de /facteurs circulaires de l'ordre «. Si l'un de ces facteurs ne change pas de place, quand on passe de la première forme de P à la seconde, il se trouvera remplacé par une de ses puissances dans la substitution U. Mais il en sera autrement si plu-

sieurs facteurs circulaires de P, dont chacun soit de l'ordre a, sont échangés entre eux. Nommons

ces facteurs circulaires dont nous représenterons le nombre par i, et supposons qu'ils soient échangés entre eux dans l'ordre indiqué par la substitution circulaire

Concevons d'ailleurs que, après avoir réduit les deux formes de P à deux arrangements, on écrive à la suite l'une de l'autre les variables qui se correspondent mutuellement dans les facteurs circulaires de U,

dont quelques-uns,

seront formés avec les variables qui entraient dans la composition des

facteurs

de la substitution P. Nommons/ le nombre des facteurs circulaires

Soit, de plus, b le nombre des variables comprises dans D, et repré-' sentons par

a, ê, y, ..., \, fx, V, ..., cp, X' ^' •••

ces mêmes variables, en sorte qu'on ait

(2) t)=:(a, g,y, ...,^,fx,v, ...,<^,X,^, ...)• La suite des variables

(3) a, ê, y, ..., >., [S., V, ..., cp, x, 4>, ...

pourra être évidemment décomposée en plusieurs autres suites

l Cf., ê, y, . . . , ] X, [l, V, .. .,

formées chacune avec des variables qui se succéderont dans l'ordre indiqué par la substitution

en sorte que, dans chacune des suites horizontales du Tableau (4)> Iti premier terme représente une variable tirée du facteur Ç?, le second terme une variable tirée du facteur ^, le troisième terme une variable tirée du facteur ^, etc. Cela posé, si l'on nomme 0 le nombre des suites horizontales que renferme le Tableau (4), le nombre total b des termes de ce Tableau sera le produit du nombre 0 par le nombre «des

facteurs circulaires

On aura donc

(5) b = ei,

et par conséquent l'ordre b de la substitution XD sera un multiple de i. Soient maintenant

(6) a', ê', /, ..., V, ix', v', ..., 9', j^', ^', ... les variables qui, dans les facteurs circulaires

% ^, Si, ...,

ou plutôt dans les cercles indicateurs correspondants, suivent immédiatement les variables

oc, ê, y, ..., l, IX, V, ..., cr,, 1, i\,,

Soient pareillement

(7) a", &', f, ..., V, IX", V", ..., o", x% V> •••

les variables qui, dans les mêmes cercles indicateurs, suivent immédiatement les variables

«', 6', /, ..., X', II', v', ..., 9', yj, -y, ..., etc. Chacune des suites (6), (7), ... se composera de termes propres

OEuvres de C— SA, t. IX. 55

à représenter les diverses variables qui succéderont les unes aux autres dans un des facteurs circulaires

On pourra donc supposer

( ^={a',e',y', ..., X', fx', v', ..., c?',x',^', ...),

D'autre part, les variables qui succéderont les unes aux autres dans le facteur $ seront évidemment

ce, a', a", ..., X, V, l", ..., 9, 9', 9", ....

On pourra donc supposer encore

(9) ^={cc,a',cc",..., 6,g',6", ..., 9,9',9", ...),

et l'on trouvera de même

Donc les variables

ce, ê, y, ..., >, fi, V, ..., 9, j^, ^|>,

c'est-à-dire celles qui se trouvent renfermées, d'une part, dans les

facteurs circulaires

^, t, Si, ...

de la substitution P, d'autre part, dans les facteurs circulaires

de la substitution U, entreront dans la composition de ces facteurs

suivant le mode indiqué par les équations (2), (8), (9) et (10). Si l'on nomme /le nombre total de ces variables, on aura évidemment

(12) l:=ai=z bj,

puisque a représentera le nombre des variables comprises dans chacun de «facteurs circulaires $, ^, <R, . . ., et è le nombre des variables comprises dans chacun des j facteurs circulaires X), \^, xg>, D'ailleurs, on tirera de l'équation (12)

et, de cette dernière, combinée avec la formule (5), on conclura

(14) a = Bj.

Donc, non seulement l'ordre b de chacun des facteurs t), -<?, xjj>, ... sera un multiple du nombre i des facteurs ^, ^, ^, . . ., mais, réciproquement, l'ordre a de chacun des facteurs $, ^, <R, ... sera un multiple du nombre/ des facteurs t5, t?, xg), — Au reste, il serait facile d'établir directement l'équation (i4)> puisque les variables comprises dans $ se confondent avec les divers termes du Tableau

qui renferme un nombre 0 de lignes horizontales, et un nombre y de lignes verticales.

Concevons maintenant que le produit des facteurs circulaires qui renferment les variables comprises dans le Tableau (11) soit désigné par s dans la substitution P, et par s dans la substitution U. Alors, en vertu des deux équations

(16) ^ — ($^Sl..., Gr^X?'^?^...,

8 et G seront deux substitutions régulières, la première de l'ordre

436 COxMPTES RENDUS DE L'ACADÉMIE.

a = (ij\ la seconde de l'ordre b = ^i. D'ailleurs, le Tableau (ii) pourra être évidemment décomposé en plusieurs autres