II

dont le nombre sera 6, et dont chacun renfermera, non seulement i lignes verticales, mais encorey lignes horizontales. Enfin, on conclura des formules (9) et (10) que, pour obtenir l'un quelconque des

facteurs circulaires

de la substitution ^, il suffit d'écrire à la suite les unes des autres, en les plaçant entre deux parenthèses et les séparant par des virgules, les variables qui appartiennent, dans les Tableaux (17), (18), (19), ..., à une ligne verticale de rang déterminé. On conclura, au contraire, des formules (2) et (8), que, pour obtenir l'un quelconque des facteurs circulaires

de la substitution s, il suffit d'écrire, à la suite les unes des autres, en les plaçant entre deux parenthèses et les séparant par des virgules, les variables qui appartiennent, dans les Tableaux (17), (18), (19), .-., à une ligne horizontale de rang déterminé.

Les observations que nous venons de faire relativement aux variables comprises dans le Tableau (ii) s'appliquent évidemment à tout système de variables comprises dans des facteurs circulaires de P, qui se trouvent échangés entre eux quand on passe de la première forme de P à la seconde. De telles variables sont toujours du nombre de celles qui se montrent à la fois, sans qu'il soit nécessaire de les mettre en évidence, dans les deux substitutions P, U, supposées permutables entre elles; et, parmi les facteurs circulaires de ces deux substitutions, ceux qui renferment de telles variables donnent toujours pour produits respectifs deux substitutions régulières S, S qui peuvent être formées, à l'aide de divers Tableaux analogues aux Tableaux (17), (18), (19), . . . , suivant le mode que nous avons indiqué.

D'ailleurs, d'après ce qu'on a vu précédemment, si, des deux substitutions P, U, supposées permutables entre elles et réduites à leurs plus simples expressions, l'une renferme des variables qui ne soient pas comprises dans l'autre, ces variables pourront y être groupées arbitrairement de manière à composer des facteurs circulaires quelconques. En conséquence, on peut énoncer la proposition suivante :

Théorème I. — Soient P, U deux substitutions formées avec n variables x, y, z, . . . , et supposons ces deux substitutions réduites à leurs expressions les plus simples. Si elles sont permutables entre elles, leurs facteurs circulaires, dans le cas le plus général, seront de deux espèces. Les uns renfermeront les variables comprises dans une seule des deux substitutions P, U, et pourront être des facteurs quelconques . Quant aux facteurs circulaires qui renfermeront les variables communes aux deux substitutions, non seulement ils pourront être groupés entre eux de manière à offrir pour produits des substitutions régulières qui, prises deux à deux, représenteront des facteurs complexes et correspondants de V et de U, formés avec les mêmes variables, mais, de plus, les substitutions régulières qui représenteront les facteurs complexes et correspondants de V et del] pourront être réduites à la forme de celles qu'on obtient dans le cas où, avec plusieurs systèmes de variables, on construit divers Tableaux, qui renferment tous

un même nombre de termes compris dans un même nombre de lignes horizontales et verticales, et où, après avoir placé ces Tableaux, à la suite les uns des autres, dans un certain ordre, on multiplie entre eux, d'une part, les facteurs circulaires dont l'un quelconque offre la série des variables qui, dans les divers Tableaux, appartiennent à une ligne horizontale de rang déterminé; d'autre part, les facteurs circulaires dont l'un quelconque offre la série des variables qui, dans les divers Tableaux, appartiennent à une ligne verticale de rang déterminé. Ajoutons que, réciproquement, si les diverses conditions que nous venons d'énoncer sont remplies, les deux substitutions P, U seront permutables entre elles.

Corollaire I. — Pour éclaircir ce qu'on vient de dire par un exemple, supposons que, avec les variables

oo, y, z, u, (', w, s, t,

on construise les deux Tableaux

z, u et

Les facteurs circulaires du quatrième ordre, dont chacun renfermera les quatre variables comprises dans les premières ou dans les secondes lignes verticales des deux Tableaux, seront

{a^,z,v,s) et (f,u,w,t).

Au contraire, les facteurs circulaires du quatrième ordre, dont chacun renfermera les quatre variables comprises dans les premières ou dans les secondes lignes horizontales des deux Tableaux, seront

{a:,y,v,w) et (z, u, s, t).

Cela posé, il résulte du théorème I que, si l'on prend

et

P, Q seront deux substitutions permutables entre elles. Pour s'assurer qu'effectivement ces substitutions vérifient la formule