XV

Nous venons de voir que cette synthèse est précisément le contraire de l'analise. Elle nous met hors du chemin des découvertes; et cependant le grand nombre des mathématiciens s'imaginent que cette méthode est la plus propre à l'instruction. Ils le croient si bien, qu'ils ne veulent pas qu'on en suive d'autre dans leurs livres élémentaires.

Clairaut a pensé autrement. Je ne sais pas si MM. Euler et La Grange ont dit ce qu'ils pensent à ce sujet : mais ils ont fait comme s'ils l'avaient dit; car, dans leurs élémens d'algèbre, ils ne suivent que la méthode analitique f.

écrits pleins d'invention, cette méthode prend un nouvel essor; et ils sont grands mathématiciens, parce qu'ils sont grands analistes. Ils écrivent supérieurement l'algèbre , de toutes les langues celle où les bons écrivains sont plus rares, parce qu'elle est la mieux faite.

1 Les Élémens de M. Euler ne ressemblent à aucuns de ceux qu'on a faits avant lui. Dans la première partie , l'analise déterminée est traitée avec une méthode simple , claire, qui est toute à l'auteur. Seulement la théorie des équations est quelquefois trop sommaire. Sans doute M. Euler a dédaigné d'entrer dans des détails qui ont été tant rebattus par d'autres; mais il laisse des regrets au lecteur qui veut s'instruire.

L'analise indéterminée , qui est si peu connue en France, et aux progrès de laquelle MM. Euler et La Grange ont tant contribué , est l'objet de la seconde partie , qui est un chefd'œuvre et qui comprend les additions de M. La Grange.

Le suffrage de ces mathématiciens peut être compté pour quelque chose. Il faut donc que les autres soient singulièrement prévenus en faveur de la synthèse , pour se persuader que i'analise , qui est la méthode d'invention, n'est pas encore la méthode de doctrine, et qu'il y ait, pour apprendre les découvertes des autres, un moyen préférable à celui qui nous les ferait faire.

Si I'analise est en général bannie des mathématiques toutes les fois qu'on y peut faire usage de la synthèse, il semble qu'on lui ait fermé tout: accès dans les autres sciences , et qu'elle ne s'v introduise qu'à l'insu de ceux qui les traitent. Voilà pourquoi, de tant d'ouvrages des philosophes anciens ou modernes, il y en a si peu qui soient faits pour instruire. La vérité est rarement reconnaissable quand I'analise ne la montre pas, et qu'au contraire la synthèse l'enveloppe dans un ramas de notions vagues, d'opinions, d'erreurs, et se fait un jargon qu'on prend pour la langue des arts et des sciences.

Pour peu qu'on réfléchisse sur I'analise on re- . Toutes ut

a . r . . , sciences seraient

connaîtra quelle doit répandre plus de lumière exactes,.; eiies

1 *• . * parlaient toutes

à proportion qu'elle est plus simple et plus pré- simple"6"6 f°rt cise; et si l'on se rappelle que l'art de raisonner

L'excellence de cet ouvrage vient de la méthode analitique que ces deux grands géomètres connaissent parfaitement. ('eux qui ne la connaîtront pas tenteront inutilement d'écrire sur les élé nions des sciences.

se réduit à une langue bien faite, on jugera que la plus grande simplicité et la plus grande précision de l'analise ne peuvent être que l'effet de la plus grande facilité et de la plus grande précision du langage. Il faut donc nous faire une idée de cette simplicité et de cette précision afin d'en approcher dans toutes nos études autant qu'il sera possible. On nomme sciences exactes celles où l'on démontre rigoureusement. Pourquoi donc toutes les sciences ne sont-elles pas exactes? Et s'il en est où l'on ne démontre pas rigoureusement, comment y démontre-t-on? Sait-on bien ce qu'on veut dire, quand on suppose des démonstrations qui , à la rigueur, ne sont pas des démonstrations?

Une démonstration n'est pas une démonstration, ou elle en est une rigoureusement. Mais il faut convenir que, si elle ne parle pas la langue qu'elle doit parler, elle ne paraîtra pas ce qu'elle est. Ainsi ce n'est pas la faute des sciences si elles ne démontrent pas rigoureusement; c'est la faute des savans qui parlent mal.

La langue des mathématiques, l'algèbre, est la plus simple de toutes les langues. N'y aura-t-il donc des démonstrations qu'en mathématiques? Et parce que les autres sciences ne peuvent pas atteindre à la même simplicité, seront-elles condamnées à ne pouvoir pas être assez simples pour convaincre qu'elles démontrent ce qu'elles démontrent ?

LA LOGIQUE. [fin

C'est l'analise qui démontre dans toutes; et elle y démontre rigoureusement toutes les fois qu'elle parle la langue qu'elle doit parler. Je sais bien qu'on distingue différentes espèces d'analise; analise logique, analise métaphysique) analise mathématique : mais il n'y en a qu'une ; et elle est la même dans toutes les sciences , parce que, dans toutes, elle conduit du connu à l'inconnu par le raisonnement, c'est-à-dire par une suite de jugemens qui sont renfermés les uns dans les autres. Nous nous ferons une idée du langage qu'elle doit tenir, si nous essayons de résoudre des problèmes qu'on ne résout d'ordinaire qu'avec le secours de l'algèbre*. Nous choisirons un des plus faciles, parce qu'il sera plus à notre portée : d'ailleurs il suffira pour développer tout l'artifice du raisonnement.

Ayant des jetons dans mes deux mains, si j'en Problème qui

le prouve.

fais passer un de la main droite dans la gauche, j'en aurai autant dans l'une que dans Vautre; et si> j'en fais passer un de la gauche dans la droite, j'en aurai le double dans celle-ci. Je vous demande quel est le nombre de jetons que j'ai dans chacune.

Il ne s'agit pas de deviner ce nombre en faisant des suppositions : il le faut trouver en raisonnant, en allant du coinm à l'inconnu par une suite de [Ugemens.

Il y a ici deux conditions données; <>u, potn

parler comme les mathématiciens, il y a deux données : l'une, que si je fais passer un jeton de la main droite dans la gauche, j'en aurai le même nombre dans chacune ; l'autre, que si je fais passer un jeton de la gauche dans la droite, j'en aurai le double dans celle-ci. Or vous voyez que, s'il est possible de trouver le nombre que je vous donne à chercher, ce ne peut être qu'en observant les rapports où ces deux données sont l'une à l'autre ; et vous concevez que ces rapports seront plus ou moins sensibles, suivant que les données seront exprimées d'une manière plus ou moins simple.

Si vous disiez : Le nombre que vous avez dans la main droite, lorsqu'on en retranche un jeton , est égal à celui que vous avez dans la main gauche, lorsqu'à celui-ci on en ajoute un; vous exprimeriez la première donnée avec beaucoup de mots. Dites donc plus brièvement : Le nombre de votre main droite, diminué d'une unité, est égal à celui de votre gauche, augmenté d'une unité; ou, Le nombre de votre droite, moins une unité, est égal à celui de votre gauche, plus une unité; ou enfin plus brièvement encore , La droite moins un, égale à la gauche plus un.

C'est ainsi que, de traduction en traduction, nous arrivons à l'expression la plus simple de la première donnée. Or, plus vous abrégerez votre discours, plus vos idées se rapprocheront ; et plus

elles seront rapprochées, plus il vous sera facile de les saisir sous tous les rapports : il nous reste donc à traiter la seconde donnée comme la première ; il la faut traduire dans l'expression la plus simple.

Par la seconde condition du problème, si je fais passer un jeton de la gauche dans la droite, j'en aurai le double dans celle-ci. Donc le nombre de ma main gauche, diminué d'une unité, est la moitié de celui de ma main droite, augmenté d'une unité; et par conséquent vous exprimerez la seconde donnée en disant : Le nombre de votre main droite, augmenté d'une unité, est égal à deux fois celui de votre gauche, diminué d'une unité.

Vous traduirez cette expression en une autre plus simple , si vous dites : La droite, augmentée d'une unité, est égale à deux gauches, diminuées chacune d'une unité; et vous arriverez à cette expression, la plus simple de toutes : f^a droite, plus un, égales à deux gauches, moins deux. Voici donc les expressions dans lesquelles nous avons traduit les données :

La droite moins un égale à la gauche plus un;

La droite plus on égale a doux gauches moins deux.

Cé8 sortes d'expressions se nomment en mathe matiquebéquatiom. Kllessoni composées de deux membres égaui : /..-/ d/oitc moins un , est le pic

mier membre de la première équation; La gauche plus un, est le second.

Les quantités inconnues sont mêlées dans chacun de ces membres, avec les quantités connues. Les connues sont moins un, plus un, moins deux, les inconnues sont la droite et la gauche, par où vous exprimez les deux nombres que vous cherchez.

Tant que les connues et les inconnues sont ainsi mêlées dans chaque membre des équations, il n'est pas possible de résoudre un problème. Mais il ne faut pas un grand effort de réflexion pour remarquer que, s'il y a un moyen de transporter les quantités d'un membre dans l'autre sans altérer l'égalité qui est entre eux, nous pouvons, en ne laissant dans un membre qu'une des deux inconnues, la dégager des connues avec lesquelles elle est mêlée.

Ce moyen s'offre de lui-même : car si la droite moins un est égale à la gauche plus un, donc la droite entière sera égale à la gauche plus deux ; et si la droite plus un est égale à deux gauches moins deux, donc la droite seule sera égale à deux gauches moins trois. Vous substituerez donc aux deux premières équations les deux suivantes :

La droite égale à la gauche plus deux.

La droite égale à deux gauches moins trois.

LA LOGIQUE. 44 l

Le premier membre de ces deux équations est la même quantité, la droite; et vous voyez que vous connaîtrez cette quantité lorsque vous connaîtrez la valeur du second membre de l'une ou de l'autre équation. Mais le second membre de la première est égal au second membre de la seconde, puisqu'ils sont égaux l'un et l'autre à la même quantité exprimée par la droite. Vous pouvez par conséquent faire cette troisième équation :

La gauche plus deux égale à deux gauches moins trois.

Alors il ne vous reste qu'une inconnue, la gauche; et vous en connaîtrez la valeur lorsque vous l'aurez dégagée, c'est-à-dire lorsque vous aurez fait passer toutes les connues du même côté. Vous direz donc :

Deux plus trois égal à deux gauches moins une gauche. Deux plus trois égal à une gauche.

Cinq égal à un gauche.

Le problème est résolu. Vous avez découvert que le nombre de jetons que j'ai dans la main gauche est cinq. Dans les équations, la droite égale à la gauche plus deux, la droite égale à deux gauches moins trois, vous^ trouverez que sept est le nombre que j'ai dans la main droite. Or ces deux nombres, cinq et sept, satisferont aux conditions du problème.

solution de ce Vous voyez sensiblement dans cet exemple

problème avec J *■

ge'tTiquëse.s al" comment la simplicité des expressions facilite le raisonnement ; et vous comprenez que si l'analise a besoin d'un pareil langage, lorsqu'un problème est aussi facile que celui que nous venons de résoudre, elle en a plus besoin encore lorsque les problèmes se compliquent. Aussi l'avantage de l'analise en mathématiques vient-il uniquement de ce qu'elle y parle la langue la plus simple. Une légère idée de l'algèbre suffira pour le faire comprendre.

Dans cette langue on n'a pas besoin de mots. On exprime plus par +, moins par — , égal par =, et on désigne les quantités par des lettres et par des chiffres, x , par exemple, sera le nombre de jetons que j'ai dans la main droite, et y celui que j'ai dans la main gauche. Ainsi x — i =/ + i , signifie que le nombre de jetons que j'ai dans la main droite, diminué d'une unité, est égal à celui que j'ai dans la main gauche augmenté d'une unité; et x -\-ï=.iy — 2, signifie que le nombre de ma main droite, augmenté d'une unité, est égal à deux fois celui de ma main gauche diminué d'une unité. Les deux données de notre problème sont donc renfermées dans ces deux équations :

x — 1 —y -h i , x 4- i = iy — 2 ,

qui deviennent, en dégageant l'inconnue du premier membre,

x=y + a, x = iy — 3 ,

Des deux derniers membres de ces deux équations nous faisons

qui deviennent successivement

a = ij — y — 3 , a -h 3= ajr— .7", a -f- 3=J",

Enfin de x = y -+- a , nous tirons x = 5 + a = 7 ; et de x = ay — 3 , nous tirons également x = 10 — 3 = 7.

Ce langage algébrique fait apercevoir d'une LVvidmced'un

O O D 1 l raisonnement

manière sensible comment les jugemens sont liés JJjJJîî, dannI

, , . — ^ l'identité qui se

les uns aux autres dans un raisonnement. On montre d'un jU-

grment à l'au-

voit que le dernier n'est renfermé dans le pénul- ,retième, le pénultième dans celui qui le précède, et ainsi de suite en remontant, que parce que le dernier est identique avec le pénultième, le pénultième avec celui qui le précède, etc.; et l'on reconnaît que cette identité fait toute l'évident v du raisonnement.

Lorsqu'un raisonnement se développe avec des mots, l'évidence consiste également dans l'identité qui est sensible d'un jugement à l'autre. En effet la suite des jugemens est la même, et il n'y a que l'expression qui change. Il faut seulement remarquer que l'identité s'aperçoit plus facilement lorsqu'on s'énonce avec des signes algébriques.

Mais que l'identité s'aperçoive plus ou moins facilement , il suffit qu'elle se montre , pour être assuré qu'un raisonnement est une démonstration rigoureuse ; et il ne faut pas s'imaginer que les sciences ne sont exactes, et qu'on n'y démontre à la rigueur, que lorsqu'on y parle avec des x, des a et des b. Si quelques-unes ne paraissent pas susceptibles de démonstration, c'est qu'on est dans l'usage de les parler avant d'en avoir fait la langue, et sans se douter même qu'il soit nécessaire de la faire : car toutes auraient la même exactitude, si on les parlait toutes avec des langues bien faites. C'est ainsi que nous avons traité la métaphysique, dans la première partie de cet ouvrage. Nous n'avons, par exemple, expliqué la génération des facultés de l'âme que parce que nous avons vu qu'elles sont toutes identiques avec la faculté de sentir; et nos raisonnemens faits avec des mots sont aussi rigoureusement démontrés que pourraient l'être des raisonnemens faits avec des lettres.

Les sciences S'il y a donc des sciences peu exactes , ce n'est

pas parce qu'on n'y parle pas algèbre, c'est parce PeUf «des sont que les langues en sont mal faites, qu'on ne s'en |^fufea*lp< ^ aperçoit pas, ou que, si l'on s'en doute, on les refait plus mai encore. Faut-il s'étonner qu'on ne sache pas raisonner, quand la langue des sciences n'est qu'un jargon composé de beaucoup trop de mots, dont les uns sont des mots vulgaires qui n'ont pas de sens déterminé, et les autres des mots étrangers ou barbares qu'on entend mal? Toutes les sciences seraient exactes si nous savions parler la langue de chacune.

Tout confirme donc ce que nous avons déjà prouvé, que les langues sont autant de méthodes analitiques; que le raisonnement ne se perfectionne qu'autant qu'elles se perfectionnent ellesmêmes; et que l'art de raisonner, réduit à sa plus grande simplicité, ne peut être qu'une langue bien faite.

Je ne dirai pas avec des mathématiciens que L'»iea»re l'algèbre est une espèce de langue : je dis qu'elle ■>•■* ï™ est une langue, et qu'elle ne peut pas être autre chose. Vous voyez, dans le problème que nous venons de résoudre, qu'elle est une langue, dans laquelle nous avons traduit le raisonnement que nous avions fait avec des mots. Or, si les lettres et les mots expriment le même raisonnement, il 1 si évident que, puisqu'avec les mots on ne fa il que parler une langue; on ne fait aussi que parler une langue avec les lettres.

On ferait la même observation sur les problèmes les plus compliqués : car toutes les solutions algébriques offrent le même langage, c'està-dire des raisonnemens , ou des jugemens successivement identiques, exprimés avec des lettres. Mais parce que l'algèbre est la plus méthodique des langues, et qu'elle développe des raisonnemens qu'on ne pourrait traduire dans aucune autre, on s'est imaginé qu'elle n'est pas une langue à proprement parler; qu'elle n'en est une qu'à certains égards , et qu'elle doit être quelque autre chose encore.

L'algèbre est en effet une méthode analitique : mais elle n'en est pas moins une langue, si toutes les langues sont elles-mêmes des méthodes analitiques. Or c'est encore un coup, ce qu'elles sont en effet. Mais l'algèbre est une preuve bien frappante que les progrès des sciences dépendent uniquement des progrès des langues; et que des langues bien faites pourraient seules donner à l'analise le degré de simplicité et de précision dont elle est susceptible , suivant le genre de nos études.

Elles le pourraient, dis-je : car, dans l'art de raisonner, comme dans l'art de calculer, tout se réduit à des compositions et à des décompositions; et il ne faut pas croire que ce soit là deux arts différens.