CHAPITRE PREMIER

De l'évidence de raison.

Jr ouR bien raisonner, il faut savoir exactement ce que c'est que l'évidence , et pouvoir la reconnaître à un signe qui exclue absolument toute sorte de doute.

Une proposition est évidente par elle-même; ou elle l'est, parce qu'elle est une conséquence évidente d'une autre proposition qui est par ellemême évidente.

Une proposition est évidente par elle-même, lorsque celui qui connaît la valeur des termes ne peut pas douter de ce qu'elle affirme ; telle est 'celle-ci : un tout est égal a ses parties prises ensemble.

Or, pourquoi celui qui connaît exactement les idées qu'on attache aux différens mots de cette proposition , ne peut-il pas douter de son évidence ? C'est qu'il voit qu'elle est identique, ou qu'elle ne

signifie autre chose, sinon qu'un tout est égal à lui-même.

Si l'on dit, un tout est plus grand qu'une de ses parties , c'est encore une proposition identique ; car c'est dire qu'un tout est plus grand que ce qui est moins grand que lui.

L'identité est donc le signe auquel on reconnaît qu'une proposition est évidente par elle-même ; et on reconnaît l'identité , lorsqu'une proposition peut se traduire en des termes qui reviennent à ceux-ci , le même est le même.

Par conséquent une proposition évidente par elle-même est celle dont l'identité est immédiatement aperçue dans les termes qui l'énoncent.

De deux propositions , l'une est la conséquence évidente de l'autre , lorsqu'on voit , par la comparaison des termes , qu'elles affirment la même chose, c'est-à-dire lorsqu'elles sont identiques. Une démonstration est donc une suite de propositions où les mêmes idées , passant de l'une à l'autre , ne diffèrent que parce qu'elles sont énoncées différemment ; et l'évidence d'un raisonnement consiste uniquement dans l'identité.

Supposons qu'on ait cette proposition à démontrer : La mesm^e de tout triangle est le produit de sa hauteur par la moitié de sa base.

Il est certain qu'on ne voit pas dans les termes l'identité des idées. Cette proposition n'est donc pas évidente par elle-même; il faut donc la démon-

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trer , il faut faire voir qu elle est la conséquence évidente d'une proposition évidente , ou qu'elle est identique avec une proposition identique : il faut faire voir que l'idée que je dois me former de la mesure de tout triangle, est la même chose que l'idée que je dois avoir du produit de la hauteur de tout triangle par la moitié de sa base.

Pour cela, il n'y a qu'un moyen , c'est d'abord d'expliquer exactement l'idée que j'attache à ces mots, mesurer une surface ^ et ensuite de comparer cette idée avec celle que j'ai du produit de la hauteur d'un triangle par la moitié de sa base.

Or, mesurer une surface, ou appliquer successivement sur toutes ses parties une autre surface d'une grandeur déterminée , un pied carré par exemple , c'est la même chose. Ici l'identité est sensible à la seule inspection des termes. Cette proposition est donc du nombre de celles qui n'ont pas besoin de démonstration.

Mais je ne puis pas appliquer immédiatement sur une surface triangulaire un certain nombre de surfaces carrées d'une même grandeur ; et c'est ici qu'une démonstration devient nécessaire , c'est-àdire qu'il faut que, par une suite de propositions \ identiques , je parvienne à découvrir l'identité de cette proposition \la mesure de tout triangle est le produit de sa hauteur par la moitié de sa base. Peutêtre cela vous paraîtra-t-il d'abord bien difficile : rien cependant n'est ni si simple.

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Je VOUS ferai d'abord remarquer que connaître la mesure d'une grandeur, ou connaître le rapport qu'elle a avec une grandeur dont la mesure est connue , c'est la même chose : il n'y a point de différence, par exemple, entre savoir qu'une surface a un pied carré, ou savoir qu'elle est la moitié d'une surface qu'on sait avoir deux pieds carrés.

Après cela, vous comprendrez facilement que si nous trouvons une surface sur laquelle nous puissions appliquer successivement un certain nombre de surfaces carrées d'une même grandeur, nous connaîtrons la mesure d'un triangle, aussitôt que nous découvrirons le rapport de sa grandeur à la grandeur de la surface que nous aurons mesurée.

Prenons pour cet effet un rectangle , c'est-à-dire p J^s, une surface terminée par quatre lignes perpendiculaires. Vous voyez que vous pouvez le considérer composé de plusieurs petites surfaces de même grandeur, toutes également terminées par des lignes perpendiculaires , et vous voyez encore que toutes ces petites surfaces prises ensemble sont la même chose que la surface entière du rectangle.

Or il n'y a point de différence entre diviser un rectangle en surfaces carrées de même grandeur, ou appliquer successivement sur toutes ses parties une surface d'une grandeur déterminée.

Je considère donc un rectangle ainsi divisé, et je vois que le nombre des pieds carrés qu'il a en

Planche t.

hauteur se répète autant de fois qu'il y a de pieds dans la longueur de sa base. Si, sur le premier pied de sa base , il a exactement trois pieds carrés de haut , il a aussi exactement trois pieds carrés sur le second, sur le troisième, et sur tous les autres. Cette vérité est sensible à l'œil : mais il est aisé de la prouver par des propositions identiques.

En effet un rectangle est une surface dont les quatre côtés sont perpendiculaires les uns aux autres.

Dans une surface dont les côtés sont perpendiculaires, les côtés opposés sont parallèles , c'està-dire également distans dans tous les points opposés de leur longueur.

Une surface dont les deux côtés opposés sont également distans dans tous les points opposés de leur longueur, a la même hauteur dans toute la longueur de sa base.

Une surface qui a la même hauteur dans toute la longueur de sa base a autant de fois le même nombre de pieds en hauteur que sa base a de pieds en longueur.

Toutes ces propositions sont identiques. Elles ne sont que différentes manières de dire, un rectangle est un rectangle.

Par conséquent mesurer un rectangle , appliquer successivement sur les parties de sa surface une grandeur déterminée , diviser sa surface en carrés égaux , prendre le nombre de pieds qu'il a

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en hauteur autant de fois qu'il a de pieds dans la longueur de sa base, ce n'est jamais que faire la même chose de plusieurs manières différentes.

Cela étant , il n'est plus nécessaire ni de diviser la surface en petits carrés, ni d'appliquer successivement sur les différentes parties une surface d'une grandeur déterminée : en prenant le nombre de pieds en hauteur autant de fois qu'il y a de pieds dans la base , on aura la mesure exacte.

On peut donc substituer cette proposition , mesurer un rectangle j c'est prendre le nombre de pieds en hauteur autant de fois qu'il a de pieds dans sa base, à celle-ci , par où nous avons commencé , mesurer un rectangle, c'est appliquer successi^^ement sur ses différentes parties une surface d'une grandeur déterminée,

A la vérité , nous n'avons pas connu , à l'inspection des termes, que ces deux propositions n'en sont qu'une seule : mais l'identité n'a pu nous échapper, lorsque nous l'avons cherchée dans la suite des propositions intermédiaires. Nous avons vu la même idée passer des unes aux autres, et ne changer que par la manière dont elle est exprimée.

Démontrer, c'est donc traduire une proposition évidente, lui faire prendre différentes formes, jusqu'à ce qu'elle devienne la proposition qu'on veut prouver. C'est changer les termes d'une proposition, et arriver, par une suite de propositions identiques, à une conclusion identique avec la

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proposition d'où on la tire immédiatement. Il faut que l'identité , qui ne s'aperçoit point quand on passe par-dessus les propositions intermédiaires , soit sensible à la seule inspection des termes, I lorsqu'on va immédiatement d'une proposition à l'autre.

La proposition que nous venons de démontrer, mesurer un rectangle c^ est prendre le nombre de pieds quHl a en hauteur^ autant de fois qull a de pieds dans la longueur de sa base^ est la même chose que multiplier sa hauteur par sa base; et celle-ci est encore la même chose que prendre le produit de sa hauteur par sa base.

Or, cette proposition , la mesure d'un rectangle est le produit de sa hauteur par sa base, est un principe d'où il faut aller, par une suite de propositions toujours identiques, jusqu'à cette conclusion : La mesure de tout triangle est le produit de sa hauteur par la moitié de sa base.

Mais j'ai déjà remarqué que la mesure du rectangle nous étant connue, nous découvrirons la mesure du triangle, lorsque nous saurons le rapport de l'une de ces figures à l'autre : car il n'y a \ pas de différence entre connaître une grandeur, ou savoir son rapport à une grandeur connue. Fig. 3. Un rectangle divisé par sa diagonale offre deux

triangles , dont les surfaces prises ensemble sont égales à la sienne. Or, dire que ces deux surfaces sont égales à celles du rectangle, c'est la même

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chose que de dire, que les deux triangles ont été formés dans le rectangle par la diagonale qui le divise en deux.

Vous remarquerez de plus que ces deux triangles sont égaux en surface : vous voyez même à l'œil la vérité de cette proposition ; mais il faut vous en démontrer l'identité.

L'étendue d'une surface est marquée par les lignes qui la terminent, et par les angles que font ces lignes. Par conséquent dans deux surfaces sont égales et dans deux surfaces sont terminées par des lignes égales y faisant les mêmes angles, il n'y a qu'une seule proposition exprimée de deux manières.

Donc les surfaces de deux triangles sont égales ou les cotés de ces triangles sont égaux , et font les mêmes angles, sont encore deux propositions identiques. Les deux triangles que renferme un rectangle, divisé par sa diagonale, ont donc deux surfaces égales , si leurs côtés sont égaux , et s'ils font les mêmes angles.

Or, dire que deux triangles sont ainsi renfermés dans un rectangle, c'est la même chose que si l'on disait, qu'ils ont un côté commun dans la diagonale du rectangle , et qu'ils ont encore même base et même hauteur , faisant le même angle ; et dire qu'ils ont un côté commun dans la diagonale du rectangle, et qu'ils ont encore même base et même hauteur, faisant le même angle, c'est dire qu'ils

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ont les trois côtés égaux , et une surface égale , ou plus brièvement , qu'ils sont égaux en tout.

Mais dire qu'ils sont égaux en tout , c'est dire que chacun des deux est avec le rectangle dans le rapport d'une moitié à son tout : proposition qui n'est que la traduction de celle-ci , le rectangle est divisé en deux triangles égaux.

Or, dire qu'un triangle est avec un rectangle qui a même base et même hauteur, dans le rapport d'une moitié à son tout , ou dire que la mesure de ce triangle est la moitié de la mesure de ce rectangle, ce sont, par les termes mêmes, deux propositions identiques.

Mais nous avons vu que la mesure du rectangle est le produit de la hauteur par la base. Cette proposition , la mesure de ce triangle est la moitié de la mesure de ce rectangle, sera donc identique avec celle-ci , la mesure de ce triangle est la moitié du produit de la hauteur par sa base, ou, comme on s'exprime ordinairement, est le produit de la hauteur par la moitié de la base.

Il ne s'agit plus que de savoir si la mesure de toute autre espèce de triangle est également le produit de la hauteur par la moitié de la base.

Quelle que soit la forme d'un triangle dont on veut connaître la grandeur, on peut du sommet abaisser une perpendiculaire ; et cette perpendiculaire tombera dans l'intérieur sur la base, ou au dehors.

Si elle tombe dans l'intérieur, elle le divise en *^'s- 3. deux triangles , qui ont deux de leurs côtés perpendiculaires l'un à l'autre , et qui sont par conséquent de même espèce que celui que nous avons mesuré. La mesure de chacun d'eux est donc le produit de la hauteur par la moitié de la base.

Or, connaître la mesure de ces deux triangles, ou connaître celle du triangle que nous avons divisé en abaissant la perpendiculaire , c'est la même chose. Cette surface est la même , qu'elle soit renfermée dans un seul triangle, ou qu'elle soit partagée en deux. C'est donc encore la même chose de dire du grand triangle ou des deux petits , que la mesure est le produit de la hauteur par la moitié de la base.

Si la perpendiculaire tombe hors du triangle , Fig. 4. nous n'avons qu'à continuer la base jusqu'au point où ces deux lignes se rencontreront , et nous formerons un triangle de la même espèce que celui que nous avons d'abord mesuré.

Par cette opération vous avez deux triangles renfermés dans un , et vous voyez que la surface est la même, soit que vous la considériez dans le grand , soit que vous la considériez dans les deux qui le partagent. ,, ,. '

Ce sera donc la même chose de mesurer cette surface , en prenant le produit de la hauteur du grand triangle par la moitié de sa base , qu'en^prenant séparément le produit de la hauteur des deux;

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petits par la moitié de leur base. Ces deux opérations reviennent au même, et il n*y a d'autre différence , sinon que dans Tune on fait en deux fois ce que dans Tautre on fait en une.

L'identité est donc sensible dans les deux propositions suivantes : le grand triangle que nous avons formé y en continuant la base jusqu'à la perpendiculaire, a pour mesure le produit de sa hauteur par la moitié de sa base : chacun des triangles renfermés dans le grande a pour mesure le produit de sa hauteur par la moitié de sa base.

Mais quelque forme qu'ait un triangle, vous pouvez toujours tirer du sommet une perpendiculaire qui tombera dans l'intérieur sur la base , ou qui, tombant au dehors, coupera encore la base que vous aurez continuée. Vous pouvez donc toujours vous assurer , par une suite de propositions identiques, que sa mesure est le produit de la moitié de sa hauteur par sa base. La démonstration est donc applicable à tous les triangles, et cette vérité ne souffre aucune exception : la mesure de tout triangle est le produit de sa hauteur par la moitié de sa base.

Autre exem- Qe u'cst oas sculcment pour vous donner un

pie qui prouve I F

HgneTivvu exemple, que j'ai choisi cette proposition; cette

dence de raison. , . ,

vérité. Monseigneur, me servira de principe pour vous conduire à d'autres connaissances. Par la même raison , je vais vous démontrer que les trou angles d'un triangle sont égaux a deux angles droits .

car c'est encore une vérité que nous aurons besoin (le connaître.

La ligne droite est celle qui va directement d'un point à un autre. C'est celle dont la direction ne change point , ou qui conserve dans toute sa longueur la direction dans laquelle elle commence : c'est la plus courte entre deux points ; c'est celle qui, tournant sur ses deux extrémités , tourne dans toute sa longueur sur elle-même , sans qu'aucune de ses parties se déplace. Vous voyez que toutes ces expressions ne sont que différentes manières d'expliquer une même idée, et qu'elles supposent l'idée qu'elles paraissent définir.

Quand il s'agit d'une idée composée de plusieurs autres, elle se définit facilement, parce qu'il suffit d'exprimer les idées dont elle se forme. En disant, par exemple, qu'un triangle est une surface terminée par trois lignes, on le définit; et cette définition a un caractère bien différent des prétendues définitions qu'on donne de la ligne droite. En effet, la définition du triangle en donnerait l'idée à quelqu'un qui n'aurait jamais remarqué aucun triangle : au contraire, les définitions de la ligne droite n'en donneraient pas l'idée à quelqu'un qui n'aurait jamais remarqué aucune ligne droite.

C'est que les idées, lorsqu'elles sont simples, ne s'acquièrent pas par des définitions, et qu'elles viennent uniquement des sens. Tracez une ligne

avec un compas , ce sera une ligne courbe : tracez - en une avec une règle , ce sera une ligne droite. Il est vrai que rien ne vous assure que cette ligne soit droite en effet , puisque rien ne vous assure que la règle le soit ellemême; mais enfin une ligne droite est ce que vous paraît une ligne tracée avec une règle; et quoique cette apparence puisse être fausse, elle n'en est pas moins l'idée d'une ligne droite. En considérant la ligne droite et la ligne courbe , vous pouvez remarquer que la première est une proprement, et que la seconde est formée de j)lusieurs lignes qui se couperaient, si elles étaient continuées. Mais quand vous diriez la ligne droite est une, la ligne courbe est multiple^ vous ne les définiriez ni l'une ni l'autre. Vous voyez qu'il y a des choses qu'on ne doit pas songer à définir ^

Une ligne est perpendiculaire à une autre , lorsqu'elle ne penche d'aucun côté, ou qu'elle n'est point inclinée ; lorsqu'elle fait de part et d'autre deux angles égaux, deux angles droits, deux angles qui ont chacun 90 degrés, ou qui sont chacun mesurés par le quart d'une circon-

' Depuis la première édition de mon Cours d'Étude, j'ai fait voir dans ma Logique , que c'est à l'analise seule à faire oonnaitre les choses, et que les définitions se bornent à les montrer. Toute définition qui suppose qu'une cliose est connue, est une définition de mot plutôt qu'une définition de cliose.

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lérence de cercle. Ce ne sont encore là que des expressions synonymes et identiques pour celui qui connaît la valeur des mots.

Une ligne est oblique , lorsque sa direction est inclinée sur la direction d'une autre ligne; lorsque étant continuée jusqu'au point où elle rencontrerait cette autre ligne , elle ferait avec elle deux angles inégaux, deux angles dont l'un aurait plus de 90 degrés, et l'autre moins.

Deux lignes droites sont parallèles, lorsque , dans toute leur longueur, les points de l'une sont également distans des points correspondans de l'autre, ou lorsque des lignes droites, tirées des points de l'une aux points correspondans de l'autre , sont toutes de même longueur.

Vous remarquerez premièrement que la position d'une ligne droite n'est que le rapport de sa direction à la direction d'une autre; et que, par conséquent, sa direction étant donnée , sa position est déterminée.

En second lieu, qu'une ligne ne peut avoir, par rapport à une autre , que trois positions : ou elle est perpendiculaire , ou elle est oblique , ou elle est parallèle.

Qu'enfin la position d'une ligne , par rapport à une autre , est réciproque entre les deux : si l'une est parallèle à l'autre, l'autre lui est parallèle; si l'une est perpendiculaire à l'autre, l'autre lui est perpendiculaire ; si l'une est oblique à l'autre ,