PF LART

l'autre lui est oblique , et chacune fait avec l'autre deux angles dont l'inégalité est la même.

Toutes ces propositions sont identiques à l'inspection des termes, et par conséquent, elles ne sont pas du nombre de celles qu'on doit chercher à démontrer. Il nous reste à aller, par une suite de propositions identiques, à cette conclusion, les trois angles d'un triangle sont égaux a deux droits, fig-s Supposer que EG, est perpendiculaire sur A B, c'est supposer qu'elle fait sur A B , deux angles égaux ou deux angles droits.

Supposer que cette ligne droite est prolongée au-dessous de A B, c'est supposer qu'elle est prolongée dans la direction de E G. Par conséquent, si nous supposons que G F est ce prolongement, ce sera supposer que G F , ainsi que E G , fait sur A B deux angles égaux : car si les deux angles étaient inégaux, l'un serait plus grand qu'un angle droit et l'autre plus petit. G F serait donc incliné ; elle ne serait donc pas le prolon- i gement de EG, ce qui est contre la suppo- { sition.

E F est donc, dans sa partie inférieure, comme dans sa partie supérieure , perpendiculaire sur A B , et c'est la même chose que dire , que A B est perpendiculaire sur E F : car supposer que A B est inclinée sur E F, ce serait supposer que E F est inclinée sur A B : la position d'une ligne par

DE RAISONNER. Îi3

rapport à une autre étant réciproque entre les deux.

Mais la ligne E F, étant prolongée jusqu'au point H, suit la direction donnée par les deux points E, G, et elle est droite dans toute sa longueur.

Cela posé , dire que G D est parallèle à A B , c'est dire qu'elle fait sur E H des angles semblables à ceux que fait A B sur la même ligne; et dire qu'elle fait des angles semblables, c'est dire qu'elle la coupe à angles droits. En effet , si on supposait le contraire, on la supposerait inclinée sur EH; et lui supposant une inclinaison que n'a pas A B, on supposerait qu'elle n'en est pas la parallèle.

Or dire que G D coupe E H à angles droits , c'est dire que E H coupe G D à angles droits , et dire que E H coupe GD à angles droits, c'est dire qu'elle coupe A B à angles droits. Il est donc démontré qu'une ligne droite perpendiculaire à une autre ligne droite , est perpendiculaire à toutes les lignes parallèles, sur lesquelles elle sera prolongée , ou qu'elle fera sur toutes des angles droits.

Donc si cette ligne est inclinée sur une parallèle , elle sera également inclinée sur toiites : car supposer qu'elle ne l'est pas également, ce serait supposer qu'elle n'est pas droite , ou que les lignes qu'elle coupe, ne sont pas parallèles.

F G est donc également inclinée sur A B et sur FJg.e.

u4 DE L*ART

CD. Or (lire qu'elle est également inclinée sur Tune et sur l'autre, c'est dire qu'elle fait, du côté qu'elle penche, des angles égaux sur chaque parallèle; que l'angle ^, extérieur aux deux parallèles, est égal à l'angle intérieur u, et que l'angle intérieur s, est égal à l'angle extérieur^.

Il est de même évident que de l'autre côté de la ligne F G l'angle extérieur est égal à l'angle intérieur, p k t, x k r. Pour rendre la chose sensible , il n'y aurait qu'à renverser la figure.

D'ailleurs, si dans la première figure la ligne qui coupe perpendiculairement les deux parallèles fait sur chacune deux angles droits; dans la seconde , la ligne qui les coupe obliquement fait sur chacune deux angles qui, pris ensemble, sont égaux à deux droits. Car l'obliquité de la ligne F G, qui fait ^, par exemple, inégale à/?, ne peut altérer la valeur que ces deux angles ont ensemble. En effet, pour apercevoir l'identité de la valeur des deux angles de la seconde figure à la valeur des deux angles de la première, il suffit de considérer que dans l'une et dans l'autre les deux angles ont également pour mesure une demi-circonférence de cercle.

p est dpnc égal à deux droits, moins q : de même t est égal à deux droits moins u. Or, u est égal à q. Donc/? et ^ sont égaux chacun à la même quantité; donc ils sont égaux l'un à l'autre.

FG, dans la partie supérieure à la ligne AB,

est inclinée sur le côté B ; et clans la partie inférieure, elle est inclinée sur le côté A. Or, supposer que ces deux lignes sont droites, c'est supposer que l'inclinaison est la même au-dessous, comme au-dessus de la ligne AB : car, si elle n'était pas la même , l'une des deux lignes ne serait pas droite.

Mais dire que l'inclinaison est au-dessous, vers le côté A, la même qu'au-dessus vers le côté B, c'est dire que F G fait, avec le côté A, un angle égal à celui qu'elle fait avec le côté B, et que r est égal à q. On prouvera de la même manière que p est égal ks, t kj, u à x. Ces angles sont opposés au sommet : donc les angles opposés au sommet sont égaux.

En effet il est évident que r est égal à deux droits moins/?, et que q est égal à deux droits moins p. Ils sont donc chacun égaux à deux droits moins la même quantité. Ils sont donc égaux l'un à l'autre.

Or, dire que r est égal à ^, qui lui est opposé au sommet, c'est dire qu'il est égal à tout angle auquel q est égal lui-même. Mais nous avons vu que q est égal à u. Donc r est égal à u. Par la mê|j[ie raison , s est égal k t, p kf, q k œ. C'est ce qu'on exprime en disant que les angles alternes sont égaux.

Soit à présent F G parallèle k d e. Vous voyez ng ideux angles alternes dans a et d, et deux autres

a6 DE l'art

dans c et e; a est donc égal à û^, et c à ^. Of les angles «, b^ c, sont égaux à deux angles droits. Donc dy by e, sont égaux à deux angles droits. Donc les trois angles du triangle sont égaux à deux angles droits.

Les deux exemples que j'ai apportés dans ce chapitre sont plus que suffisans pour faire concevoir que l'évidence de raison consiste uniquement dans l'identité. Je les ai d'ailleurs choisis, comme je vous en ai averti , parce que ce sont deux vérités qui nous conduiront à d'autres.