AVERTISSEMENT

l^es mémoires contenus dans ce second volume n'ont pas été publiés auparavant excepté les no'. VU, XVII et XVIII qui ont été insérés dans le journal 'Magaziu for Naturvidenskaberne" pour 1825 et 1823^ et les no'. XXIII et XXIV qui se trouvent dans le journal de Mr. Crelle tome S^'"^ et 6^"*. Quelques-uns des résultats des mémoires LY et X sont contenus dans uu mémoire que l'auteur a fait publier dans le journal "Det konijelio-e norske VidenskaLersselskabs Skrifter". Troudhjem 1827. Les six premiers no', et les no'. XVII jusqu'à XXI ont été écrits par l'auteur en norvégien, le no. XXII en allemand, et les autres en français. Les deu.v premiers mémoires ne contiennent, comme on voit, que des résultats connus avant notre auteur, mais il est à remarquer qu'il les a écrits immédiatement api'ès avoir lu pour la première fois le calcul des fonctions de Lagrange et sans connaissance préalable de V application de la métJiode des variations aux intégrales finies. Tous les mémoires contenus dans ce volume ont été écrits avant que notre auteur commençât ses voyages, excepté les mémoires XV, XVI et XXII, dont malheureusement le premier n'est pas tei^miné. Parmi les extraits des lettres à Mr. Crelle insérés dans le 5^"^ volume de son journal, il s'en trouve deux

qui ne contiennent que des choses , comprises dans le mémoij'es XII et XXI du premier volume; c'est pourquoi on les a passés ici sous silence. Bien qu'on ait désiré avoir pu consigner dans cette édition le mémoire présenté par l'auteur à l'instittit de France vers la fin de l'année 1826 (voy. T. I pag. 288), tous les efforts pour obtenir une copie de ce mémoire ont été infrtictueux jusqu'à présent.

B. IIOLMBOE.

Sur les maximums et minimums des intégrales aux différences.

'n peut, comme on sait, trouver les conditions pour que l'intégrale d'une différentielle donnée soit un maximum ou un mininnim entre des limites déterminées. Je vais dans ce mémoire montrer comment on peut déduire de semblables équations de condition pour des maximums ou minimums des intégrales aux différences.

Considérons une fonction f{x, y, z, etc. Jx, Jy, Jz, . . J'''x, J'^y, //''■z . . .) de plusieurs variables et de leurs différences finies. Son intégrale est ^f{x, y, z etc. Jx, Jy, Jz etc.), et si cette intégrale doit être un maximum ou un minimum entre certaines limites, il s'ensuit que sa variation doit être égale à zéro. On aura donc,

d^f(x, y, z . . . Jx, Jy, Jz . . . etc.) = 0 ou bien ^^f{^, y-, * • • • ^•*^» Jy, Jz • ■ • etc.) = 0.

En effectuant la v<iriation on obtiendra: :^{f\x).ôx + f\y).dy+f\z).dz...-^nJx)JJx+nJy).dJy+nJz).dJz + ...)^0. Avant d'aller plus loin il faut considérer si entre les variables et leurs différences il y a des équations de condition tant de telles qui ont lieu pour toute l'intégrale que de telles qui n'ont lieu que pour les limites.

Le procédé le plus direct serait d'éliminer de ces équations de condition autant de variations qu'il y a d'équations, et les substituer ensuite dans l'équation précédente; mais cette élimination étant souvent très pénible ou même împratiquable, je me servirai de la méthode employée par Lagrange dans le calcul des fonctions. La voici: on multiplie la variation de toute équation de condition par une quantité indéterminée, qui est en général une fonction de x, y et z et on ajoute le produit à l'expression sous le signe d'intégration. Soit donc dv = 0, ôv' = 0, âv" = 0, etc. les variations de ces équations de condition et /., /.' /." etc. des quantités indéterminées, et l'on aura: