Tome second. f
^\ôU-{- Àôv + X'^v' + A"(5r" + ...) = 0 où U=f{x, y, z etc. etc.)
Maintenant on peut considérer x, y, z etc. comme des variables indépendantes à cause des quantités indéterminées ^., A', l" etc.
Or en substituant pour f3Z7 sa valeur; \-t~)^^~\~ (-^)%+etc. pour^î^et f — ^ j . 6x -{- („*'-) •% + ••• etc. pour ôv' etc. on obtiendra:
-j- etc. etc. etc.
-\- etc. etc. etc.
Soit pour abréger
^x =: f'{x) 4- A Q^ + etc. , ç.(^.r) = fi^:) + A (-^|^^) + etc.
Vl/ = /'(Z/) + A (]p + etc. , ^{Jy) = f'iJy) + A (-^) + etc.
etc.
et l'on aura ^ôx .(pix) + ^ày(p{y) +..+ ^àJx . (f{Jx) + :SôJy . (f\Jy) + . . + :^dJ''x . (f{J''x) + ^dJhj(f{.J''y) + . . = 0.
Pour développer ces intégrales je nie servirai de la formule suivante :
:SF{x) Jp — p. F{x — Jx) — ^p . JF{x— Jx) dont on peut prouver la justesse en en prenant la différence finie. En faisant F{x) = (p{Jx) et p = ôx^ on aura :
:^(p(Jx) dJx = âx . (p(^J{x — Jx)) — 2^âx. Jif(J(x — Jx)). En faisant F{x) = (f{J-x) et p:= dJx, on aura :
^(p{J^x) dJ'^x — Jôx . ff{J\x — Jx)) — SJdx . J(p{J-{x — Jx)) ; or SJdx.J(f(J%x-Jx))=ùx . J(p(J''{x-2Jx + J^x))-:sâx . J\f{J\x- ^Jx+J^'x)), donc
On obtiendra de la même manière en faisant F{.v)=:(f{J^.r) et p:=J^â.r,
2ç(A3j-)A35j:=A25,r.ç[A3(x-Aj-)]-A5j.A(p[A3(jr-2Ax+A2.r)]+5j-.A29[A3(j-3Aa-+3A2j-A'j:)]
— :S5j. A3o[A3(jr— 3AX+3A2J-— A^j)].
2ç(A'*j)A-»6j=A36j.9[A-*(x-Ajr)]-A25.r.Aç[A*(x-2Ax+A2x)]+A8j:.A=ç[A*(j:-3Ax+3A2x-A3x)] — 5x.A3ç[A-'(x— 4Ax+6A2x — 4A3x+A-*x)]+i:5x.A-*9[A*(x— 4Ax+CA2x — 4A3x+A4x)]. De la nu'nie manière on trouvera par rapport à y,
29(A7,).A5î,=8^ . 9[A(j/ - A^)] -:^8i, . A9[A(t,- A3,)] :S9(A"-i/).A25i,=AS!/.9[A2(;,-A5)]-5^A9[A2(^— 2A3/+A2^)]+2?ii,A2o(A2(j-2Aîr + Aîi,)] :S9(A3^).A='ôi,=A-^6i,9[A3(^-A?,)]-AS!/.A9[A3(3,-2Ai,+A2^)]+5î/A29[A3(3,3A^ + 3A2i,-A'^)]
En général on trouvera de la même manière:
29(A''i/)A"8i/=A"-'âir.9[A"(z/-A^)]-A''-28j,.A9[A"(j/-2A^+A2^)]+A"-'8?,.A29[A"(i,-3A^+3A2^-A3i,)] — A"-48j,A'g[A"(j, — 4At/+6A2i/— 4A^^ + A<f,)]+ . . .
...+ èy . J-^ ^[j^{y-nJif+!^Jhj- <'^-^)i'^') z/^y + ...q=»^"-V+^"y)]
D'une manière semblable on développera les intégrales par rapport aux varial)les restantes.
En substituant maintenant les intégrales ainsi développées, et rassemblant les termes multipliés respectivement par dx, Jôx, J'^dx . . . ày, Jôy, zï'^dy ... etc. on obtiendra la formule suivante:
2(8l/+\8t)+X'8«' + A"&i"'+ . . .) = + 28x.(9(x) — A9[A(x — Ax)]+A29[A2(x — 2Ax+A2x)]— A39[A3(x— 3Ax+3A2x— A3x)] + etc.)
+ 28^. (9(?/)- A9[A(t,-A7,)] + A2ç[A2(^-2A3/ + A2</)]-A39[A3(!,-3Ai,+3A-^i, -A='^)]+etc.)
+ 28a. (9(3) — A9[A(: — A:)] + A29[A2(3 — 2A3 + A^s)] — A39[A3(s — 3A3+3A23 — A33)]+etc.)
+ 8x.(9[A(x— Ax)]— A9[A2(x— 2Ax+A2x)] + A^9[A3(x— 3Ax+3A2x— A'x)] — etc.)
+ 8^.(9[A(i,-Aî,)]-A9[A-^(i/-2A;/ + A2y)]^A29[A3(i,-3Ay+3A2i/-A3^)]-etc.)
+ 83 . (9[A(3 — As)] — A9[A2(3 — 2A3 + A^ï)]^ A29[A3(3 — 3A3 +3^23— A'3)]— etc.)
+ etc.
+ A5j.(<?[A2(j:— Ajt)]— û<p[A3(x— 2Ax+A2j)]+A2(p[û'«(j'— 3zlr+3A2j:— n^x)]— etc.) + A8^.(ç[A2(î^— Aj;)]— Aç[A3(3,— 2Aî/+A2j,)]+A2cp[A'*(^— 3A^+3A2i^— A3^)] — etc.) + A83.(9[A2(3— As)]— Aç[A3(3— 2A3+A23)]+A2ç[A'*(=— 3A3+3A23— A3=)]— etc.) + etc.
+ A26x.(9[A3(j^— Aj:)]— Aç[A-*(j-— 2Aj:+A2j-)]+A2ç[A5(x— 3Ax+3A2x— A3j-)]— etc.) + A^y. (ç[A3(3^— A^)]— Aç[A'*(^— 2Aî/+A2^)]+A2cp[A6(j^— 3A^+3A2^— A^i/)] — etc.) +A253.(9[A3(3— As)]— Aç[A4(s— 2A3+A23)]+A29[A5(s— 3A3+3A23— A^a)] — etc.) + etc. etc.
Maintenant il sera facile de trouver les conditions du maximum ou du minimum. Or si l'expression précédente est égale à zéro, il faut, puisque les variations ôx, èy et dz sont tout-à-fait indépendantes, que les coefficiens de ces quantités sous le signe d'intégration soient égales à zéro. On aura donc autant d'équations que de ([uantités variables, et en éliminant /, /.', ).", etc. les équations restantes détermineront les relations entre x, y, z, etc. Désignons la partie restante de F expression par — P, soient x', y', z' etc. x", y", z" etc. les valeurs de .r, y, z, etc. qui répondent aux limites, et soient P' et P" les valeurs correspondantes de P, on aura
Cette équation servira à la détermination des limites. S'il y a des équations de condition pour les limites, on doit par leur moyen éliminer autant des variations ôx', èy', etc. èx", ây", etc. que l'on pourra, et égaler ensuite à zéro les coefficiens des restantes; ou bien on pourra multiplier cbacune des équations de condition par un coefficient indéterminé, et l'ajouter ensuite à l'équation P" — P' = 0; on pourra doue considérer toutes les variations comme indépendantes, et égaler leur coefficiens à zéro. Les équations ainsi formées serviront à déterminer les quantités constantes qui entreront dans les relations entre x, y, z, etc.
En égalant à zéro les coefficiens des variations sous le signe d'intégration, on obtiendra les équations suivantes :
['0=i:9(x)— A9[A(a:— Aj-)] + A29[A2(x 2Ax+A2x)]-A39[A3(x— 3Ax+3A2x— A3x)] + etc.
lo=9(^)-A9[A(^— Ai/)]+A2ç[A2(^2A^+A2^)]-A39[A3(2,-3A^ + 3A2^-ASi/)] + ctc.
|0=9(3)— A9[A(s — A3)] + A29[A2(3— 2A3+A'is)]— A39[A3(3 — 3A3 + 3A25— A33)]+etc. etc.
qui par conséquent déterminent les relations nécessaires entre x, y, 7, etc. ponr que l'intégrale de la fonction proposée soit un maximum ou un minimum.
Scolie. On peut de ces équations tirer les équations de condition pour l'existence du maximum ou du minimum d'une intégrale ordinaire; on n'a pour cela qu'à changer ^' en f et J en d. Les équations (A) deviendront donc:
0 = c,(y)-â.^{dy) + d\{d--y) -d^^(d^y) + ...
0 = 9(;) —d.c^{dz) + rf29(rfis) — f/3(p(rf3=) + . . .
etc.
qui sont les équations connues.
Je vais maintenant montrer l'application de la théorie précédente à quelques exemples.
1. Parmi tous les polygones dont les cotes sont donnés en grandeur et en nonihre, trouver celui dont l'aire est un maximum. Supposons que Taxe des abscisses coïncide avec l'un des côtes du polygone et que X et y soient les coordonnées, l'expression de Taire sera donc ^{i/-\-^Ji/)Jx. On a par conséquent f{x, y, Jx, Jy)r=^{y-\-^Jy')Jx. La condition que tous les côtes sont donnés en grandeur est exprimée par T équation àV {Jy'^-\- Jx'^)^=Q^=iàv. On aura donc
Les équations (A) deviendront donc:
Q = ^{X)-J^^{J{X — JX)), 0 = ^{y) — J.f{j{y-hj))
OU en mettant x-\-Jx au lieu de x et y-\-Jy au lieu de y, 0 = 7(.r + -^.r) — .y./Ur). Q^niy + Jy) —-M-Jy); or (f{x-\-Jx):^0, (f(y-\-Jy)=J{x-\-Jx) etc. donc
0= — jfy-l-^Ji,4-X . ^ ) eiO = J(x-\-Jx)—j(lJx-\->. . ——^ — -Y
En intégrant ces deux équations on aui'a,
y-\-^Jy + ).. ,,,y^,,,, =r, x + ^Jx- A '^ —
c et c' étant les constantes arbitraires dues à l'intégration; et lorsqu'on élimine ;., or yJy-J^^Jy^ = ^J{y^) et xJx-]-^Jx'^=^J{x% douc
multipliant cette équation par 2 et intégrant, on obtiendra,
et en changeant les constantes arbitraires
équation du cercle, d'où il suit, que parmi tous les polygones avec les mêmes côtes, celui qui est inscrit dans le cercle, renferme la plus grande aire.
Quant à l'équation aux limites, P" — P' = 0, on voit que les limites étant fixes, on a dx' = àx" = ày' ^= ôy" = 0 ; donc cette équation est satisfaite.
2. Trouver la forme (pie prend un polygone pesant dont la pesanteur est uniforme, et dont les côtés sont donnés. On sait par la statique que lorsqu'un système auquel la pesenteur est la seule force agissante, est en équilibre, son centre de gravité sera le plus bas possible. Donc si y' est la distance de ce point à une ligne horizontale, on a ôy' = 0. Soit la ligne des abscisses une ligne horizontale dans le plan du polygone, et soient x et y les coordonnées. Or la pesanteur du polygone étant uniforme, le centre de gravité de chaque côté sera situé dans son milieu, donc les coordonnées de ces centres de gravité seront .r -\- \Jx et y + ^Jy, et leur masse = -i/'.y = l^(.i/a:'+z/^^) en remarquant que les masses sont proportionnelles aux côtes.
On aura donc
ou puisque :^{Jx''-^Jy^) est donnée, d^(y-\-:^^y)Y{zJx''-\-Jif) = 0.
donc
f(x, y, àx, ày) z={y+ J- ày) /(Ax* + ày"^), v = /(Ax^ + Ay^) ;
et par suite
,i.)=m+>. (^)=o, .(^.)= iS±M^+:.^, ■
Les équations, 0 = (f{x-\-Jx) — J(p{Jx) et 0 = ffiy-\-Jy) — J(p{Jy) Ativiendront donc
^((2/+yi/+'^)fi) = 0 et Jis+Js)-j(^Js-\-{y+'^Jy-^r^O^£~)=0 d'où l'on tire en intégrant
et en éliniiuaut A, s-\-XJs — —^~=^c\
Si les deux extrémités du poly<îone sont fixes, l'écjuatiou aux limites est satisfitite. Lorsque c et c' sont connus, rien n'est plus faeil que de construire
le polysone: car ^^ étant la tangente de l'ani^le compris entre le côté s et la Aj-
ligne horizontale, et s et Js étant donnés dans chaque cas particulier, on connait les côtés et les angles qu'ils forment avec une droite donnée et par conséquent il est lacile de construire le polygone. Les constantes c et r' dépendent d(;s coordonnées des extrémités, et des côtés du polygone, et on pourra sans dilficulté les trouver; mais comme cela est un peu prolixe, et qu'il n'appartient pas proprement ici, je ne m'y arrêterai pas.
ScoUe. Le point essentiel dans l'application des étpiations générales trouvées plus haut, est l'expression des équations de condition. Cela n'a pas de difficulté lorsque la condition est exprimée directement par une équation p. ex. q{.r,y,2) = Q; car il ne s'agit donc que de varier cette équation, multiplier cette variation par un coefficient indéterminé, et l'ajouter à l'expression sous le signe d' intéairation. Si au contraire une certaine relation entre les quantités variahles n'est pas constante, mais donnée dans chacpie cas particulier, il faut égaler à zéro les variations des quantités qui dans ce cas se changent pour tout accroissement fini Jx, Jy, etc. et de cette manière la condition sera exprimée par une équation. Si p. ex. il s'agit d'un polygone, dont les coordonnées des sommets ont pour chaque cas particulier une certaine relation entre elles, exprimée par l'équation ({(x,y,z, etc. w) = 0, où a est une (juantité, donnée pour chaque sommet, il faut de cette équation tirer «=F(;r, y,?, etc.) et faire ensuite J« = 0 = r5F(.r, y, c:, etc.). Si la condition était que l'intégrale d'une certaine fonction était donnée entre des limites déterminées, on pourrait faire usage de la méthode suivante: {Lagramje).
Soit u la fonction dont l'intégrale est donnée entre les limites données. Je fais 8=1^:11, et la condition sera ès'—ès"^Q puisque la différence s' — *" est donnée. On a donc Js = n,ou Js — ii=0; voilà donc I' équation de condition qui a lieu pour toute l'étendue de l'intégrale, on n'a donc qu'à multiplier la variation de cette équation par un coefficient indéterminé, et l'ajouter à la quantité sous le signe d'intégration, qui devient par là
âU-\- ?. {Jàs — au) 4- Vàv' + etc. donc dv = à{M — w)
et ,,(*) = /•'(*) + ;.(|^)+ etc. = 0, y(z/*) = /-'(z^*) + A (^)+etc. = A
car on peut considérer s comme une nouvelle variable. L'équatiou (A) devient donc par rapport à s
(p{s) — J(p(-J{s — Js)J = 0, c'est-à-dire J},=0, donc A est une constante. L'équation aux limites ne change pas, car ôs' — âs"=0.
Par rapport aux autres variables on obtiendra
q){a:)=f'{.r) — a (-v^j +A' (-^) + etc. en faisant A = «;
et de même pour les autres variables.
Or on obtiendrait les mêmes valeurs en mettant U — au au lieu de U. On tire de là la règle suivante:
Lorsque l'intégrale d'une fonction U entre des limites données doit être un maximum ou un minimum, et l'intégrale d' une autre fonction u entre les mêmes limites doit avoir une valeur donnée, on n'a qu'à chercher le maximum ou le minimum de l'intégrale U — an, où a est une quantité constante.
On voit de la même manière que si l'on a plusieurs fonctions u, u', u", etc. dont les intégrales ont des valeurs déterminées, il faut seulement chercher le maximum ou le minimum de l'intégrale U — au — a'u' — «"«" — etc. où a, a\ a" etc. sont des quantités constantes.
Sitr les conditious nécessaires pour que l'intégrale finie d'une fonction
de plusieurs l'ariables et de leurs différences soit intégrable lorsque les
variables sont indépendantes l'une de V autre, ou en d'autres termes pour
qu'une telle fonctioji soit une différence complète.
Se
►oit U la fonction donnée qui doit être une différence complète, et ^U son intégrale.
Or si ^?7 est l'intégrale d'une différence complète àSV le sera de même ; car si on a ^U= V, on aura SSU^èV.AyvLUi donc U=f{z,7/,z. . ^x, Jg, Jz . . . J^'x; J% J^z . .) on aura d'après le mémoire précédent
^ÔU=:^âx.P-^^ây.Q-}.^âz.R -{-...-}- a où P=f'{x) — Jf'(J{x—Jx))-\-JY'iJ%cc—2Jx-\-J'-x)) — etc.
Q =f '(>/)- ~fr(% - M + ^JViy - 24/ + -^'y)) - etc.
etc.
et « est la partie hors du signe d'intégration.
Or dx, èy, ôz étant tout-à-fait indépendantes, il s'ensuit que ^ôx.P, ^ây.Q, Sdz.R, etc. ne sauraient être intégrables à moins que l'on n'ait Pr=0, (^=0, R=0, etc. De là on tire le théorème suivant:
Pour qu'une fonction de plusieurs variables et de leur différences finies, f{x, y, z . . . Jx, Jy, Jz . . .) soit une différence complète, il faut qu'on ait les équations de condition suivantes: 0=/'(j)— 4/-'[zi(x— ^x)]+A2/'[^-(-r— 2Aj:+A2j)] — A3/'[A3(j— SAjt+SA^x— A3j-)]+etc.\ 0=/'(?)-A/[^(ï/-^^)]+ûV"['^-(^— 2A7,+A2^)]-A3/'[Ani^-3A^+3A"-î/— A3^)]+etc.(^g^ 0=/'(3)— A/'[A(î— A3)]+A2/'['^-(= — 2^2 + ^-==)]— ■Û'/'[^H=— 3^=+3A23— A33)]+etc.| etc. /
Ces équations sont donc les mêmes que celles qui ont lieu lorsque SU est un maximum ou un minimum entre des limites données. Les équations (B)
