f 3" — 4" + etc

où n est un nombre entier positif? Enfin mes yeux se sont dessillés dune manière frappante, car à l'exception des cas les i)lus simples, par exemple les séries "-éométriques, il ne se trouve dans les mathématiques presque aucune série infinie dont la sonune est déterminée d'une manière rigoureuse, c'est-à-dire, la partie la plus essentielle des mathématiques est sans fondement. Pour la plus grande partie les résultats sont justes, il est vrai, mais c'est là une chose bien étrano-e. Je m'occupe à en chercher la raison, problème très intéressant. Je ne crois que tu pourras me proposer qu'un très petit nombre de problèmes ou de théorèmes contenant des séries infinies, à la déntonstration desquels je ne pourrais faire des objections bien fondées. Fais cela, et je te répondrai. Pas

même la formule biuôme n'est eucore rigoureusement démontrée, .l'ai trouvé qu'on a

pour toutes les valeurs de ?«, lorsque x est moindre que l'unité. Lorsque x est égal à-f- 1, l:i même formule a lieu, mais seulement si m est plus grand que — 1, et lorsque .r est égal à — 1, la formule n'a lieu que pour des valeurs positives de m. Pour toutes les autres valeurs de a: et de m, la série l-\-mx -f- etc. est divergente. Le théorème de Tai/lor, hase de tout le calcul infinité simal, n'est pas mieux fondé. Je n'en ai trouvé qu'une seule démonstration rigoureuse, et celle-ci est de Mr. Cauchy dans son Résinné des leçoux sur le calcul infinitésimal, où il a démontré qu'on aura

tant que la série est convergente; mais on l'emploie à l'ordinaire sans façon dans tous les cas. Pour montrer par uu exemple général (sif venia verbo) comment on raisonne mal, et combien il faut être sur ses gardes, je choisirai le suivant. Soit .

"o + «1 + "z + «3 + etc. une série infinie quelconque, tu sais qu'une manière très ordinaire pour en trouver la somme c'est de chercher la somme de celle-ci

et faire ensuite x = 1 dans le résultat. Cela est bien juste, mais il me semble qu'on ne doit pas l'admettre sans démonstration ; car quoiqu'on ait démontré que

ifx = r/„ -f a,x -\- a.^x-' + . . . pour toutes les valeurs de x qui sont inférieures à l'unité, il ne s'ensuit pas que la même chose ait lieu pour x égal à 1. 11 serait bien possible que la série «<, -|- a^x -f- a^x"^ + • • • s'approchât d'une quantité toute différente de ''^o + ^i + '^2+ • --j lorsque x s'approche indéfiniment de l'unité. C'est ce qui est clair dans le cas général où la série est dirergente; car alors elle n'a pas de somme. J'ai démontré que ce procédé est juste lorsque la série est convergente. L'exemple suivant montre comment on peut se tromper. On peut démontrer rigoureusement qu'on aura pour toutes les valeurs de x inférieures à n ^= sin X — ^ sin 2j? -}- i sin Sx — etc.

li semble qu'on en pourrait conclure que la même formule aurait lieu pour ar = 7r; mais cela donnerait

-'^- = sin TT — ^ siu 2n: + ^ sin 3n — etc. = 0,

résultat absurde. On peut trouver une infinité de pareils exemples.

La théorie des séries infinies en général est jusquà présent très mal l'ondée. On applique aux séries infinies toutes les opérations, comme si elles étaient finies; mais cela est-il bien permis? je crois que non. Où est il démontré qu'on obtient la différentielle d'une série infinie en en prenant la différentielle de chaque terme? Rien n'est plus facile que de donner des exemples où cela n'est pas juste; par exemple

— =z sin X — A sin 2x -^ \ sin 5x — etc.

En différentiant on obtient

^ = cos .X- — cos 2x -j- cos 3.r — etc. résultat tout faux, car cette série est divergente

La même chose a lieu par rapport à la multiplication et à la division des séries infinies. J'ai commencé à examiner les règles les plus importantes qui (à présent) sont ordinairement approuvées à cet égard, et à montrer en quels cas elles sont justes ou non. Cela va assez bien et m'intéresse infiniment.

Paris le 24 octobre lfS26.

Comme il me tarde d'avoir de tes nouvelles! tu ne saurais t'en faire idée. Ainsi donc ne va pas me tromper dans mon attente, fais moi parvenir quelques lignes consolatrices dans j'isolement où je me trouve, car, à te dire vrai, cette capitale la plus bruyante du continent me fait pour le moment l'effet d'un désert. Je ne connais presque personne, c'est que tout le monde va s'établir à la campagne, pendant la belle saison; ainsi ce monde n'est pas visible. Jusqu'à présent je n'ai fait connaissance qu'avec Mrs. Legendre, Cauchy et Hachette, et quelques mathématiciens moins célèbres quoique fort habiles, Mr. Sai(/ey rédacteur du bulletin des sciences, et Mr. LejenneDirichlet, Prussien qui vint me voir l'autre jour me croyant son compatriote. Il est mathématicien bien sagace. Il a prouvé avec Mr. Legendre l'impossibilité de résoudre eu nombres entiers l'équation x^ -{- t/* = î* et d'autres choses fort intéressantes. Mr. Legendre est un homme fort complaisant et prévenant, mais malheureusement fort vieux.

Mr. Cttuchy est celui des inatliéinaticiens qui sait le mieux eomnient les niathématiques pour le moment doivent être traitées. Il y a des choses excellentes, mais sa manière ntamiuc de clarté. Je ne le compris presque point dabord, mais à présent je suis en train. H lait publier une suite de mémoires sous titre exercices de mn/Zintia/iques. Je les achète et je les lis assidûment. H en vient de paraître 9 livraisons à partir du commencement de cette année. Mr. Cain-hji est presque le seul qui s'occupe des mathématiques |Mires. Mrs. Poisson, Foiu'ier, Ampèi'e etc. etc. s'occupent presque exclusivement du magnétisme et d'autres objets physiques. Mr. Laplace n'écrit plus, je pense. Son dernier ouvrage fut un supplément de sa théorie des probabilités. Je l'ai souvent vu à l'institut. Il est de moyenne stature, mais frais et vigoureux. Mr. Lacroix est fort avancé en âge. Lundi ]iiochain Mr. Hachette va me présenter à plusieurs de ces messieurs.

Les Français sont beauconj» plus réservés avec les étrangers que les Allemands. Il est fort diflicile de gagner leur intimité, et je n'ose pousser mes prétentions jusque là: enfin tout commençant a bien de la peine à se faire remarquer ici. Je viens de linir un grand traité sur une certaine classe de fonctions transcendantes pour le présentera l'institut, ce qui aura lieu lundi prochain ). J'ose dire sans ostentation que c'est un traité dont on sera satisfait. Je suis curieux d'entendre l'opinion de l'institut là-dessus. Je ne manquerai pas de t'en faire part. J'en ai écrit plusieurs autres surtout pour le journal de Mr. Crelle, dont 3 livraisons ont paru. Un extrait de mon mémoire sur l'impossibilité de la résolution des équations algébriques a été inséré dans le bulletin de iMr. Feriissac. Je Tai écrit moi-même, et je continuerai d'écrire de semblables articles pour ce bulletin. C'est une tâche bien ennuyante quand on n'a pas soi-même écrit le traité, mais enfin, c'est pour Mr. Crelle, l'homme le plus honnête du monde. J'entietiens avec lui une correspondance soutenue "). Ce qui m'occupe pour le moment c'est la

*) Voy. T. I. p. 288.

*) Voici un passage de la première lettre que notre auteur m'adressa de Berlin: "Je viens de faire" dit-iJ "une connaissance pre'ciense, celle de Mr. Crelle. Qu'il est aimable ce monsieur. Tu ne saurais jamais te faire idée du charme de sa conversation, prévenant sans afficher cette politesse hérisse'e et accablante dont bien des gens honnêtes d'ailleurs se font mérite. Enfin c'est fhomme qu'il me faut, l'homme sans façon; j'en use avec lui comme avec toi ou d'autres de mes plus intimes amis. Il s'applique aux mathématiques avec beaucoup d'assiduité, ce qui Ini fait d'autant plus d'honneur qu'occupant une cliarge publique il n'a que peu de loisir. Depuis quelques

théorie des équations algébriques, mon thème favori, et me voilà déjà assez avancé pour trouver le moyen de résoudre le problème général que voici : Déterm'mer la forme de tontes les équations algébriques qui sont résolubles algébriquement. Jeu ai trouvé un grand nombre du 5'"*^ B""* et 7"'" degré qu'on n'a pas flairé jusqu'à présent. J'ai en même temps la solution la plus directe des équations des 4 premiers degrés, avec la preuve la plus évidente pourquoi celles-ci sont les seules résolubles et non pas les autres. Quant à l'équation du 5°" degré j'ai trouvé que quand une telle équation est résoluble algébriquement, il faut que la racine ait la forme suivante:

x=z A-\- pR + YH' + l^H" + yii", où R, R', R", R" sont les 4 racines d'une équation du 4°"' degré et qui sont exprimables par des racines carrées seules. Pour les expressions et les signes ce problème m'a présenté bien des difficultés. Du reste, la théorie des quantités imaginaires, qui laisse beaucoup à désirer, le calcul intégral, et surtout la théorie des séries infinies, qui est fort mal basée, me donnent assez de besogne. Cependant je ne puis m'attendre à en voir un résultat satisfaisant avant d'être installé chez moi à mon aise, si cela se réalise jamais. Je regrette d'avoir fixé deux ans pour mes voyages, un et demi en aurait suffisamment rempli le but. Le mal du pays me gagne de plus en plus, et d'ici en avant mon séjour ici ou partout ailleurs ne m'ofl're pas tant d'avantages que l'on serait porté à croire. Je suis maintenant au fait de tout ce que les mathématiques pures offrent de plus ou de moins essentiel, et il me tarde de pouvoir sacrifier exclusivement mon temps à rédiger ce que j'ai recuelli. Il me reste taut de choses à réiiger, mais tant que je serai en pays étranger, tout cela va assez mal. Ah «nie j'envie le sort de iMr. Keilhau par rapport à sa place de l'université. Ma i-osition n'est pas assurée, il est vrai, mais je ne suis pas alarmé non plus; si la fortune m'abandonne d'une part elle me sourira peut-être de l'autre.

années il fait piiblifi' des livres de matlie'iuatiqiies que je trouve èlre très bien e'crits. J'eu possède un grand nombre, dont il m"a fait cadeau, savoir une traduction des oeuvres mathématiques île Lagrange avec des notes excellentes, Théorie der analytischen Facultatcn (Cet ouvrage se trouve à la bibliothèque de l'université de Christiania, si tu ne l'as pas lu il faut absolument que tu le fasse i c'est un ouvrage supérieur à ditférents égards surtout par rapport h la méthode.) Lehrbuch der Arithraetik und Algebra, Lehrbuch der Géométrie 3 vol. En outre j'ai fait l'acquisition de son "Darstellung der

l'aiis le*) ilecembio 1826.

Tu m'apprends que tu as In les deux premiers cahiers du journal de Mr. Crelle. Les mémoires que j'y ai fait insérer, à l'exception de celui des équations, ne valent pas iirand'chose, mais cela viendra, je (eu assure. J'espère que tu seras satisfait d'un mémoire sur une intéiirale qui se trouve dans le troisième cahier ); mais celui qui me donne la plus grande satisfaction, c'est un mémoire actuellement sous presse pour le i""" cahier sur la simple série

f I I tlUm 1) .) 1 : ., „ ,. 5.1 ., .,

I -\- m.r-\- — '- x -j-... ). J ose dire que cest la première démonstration

rigoureuse de la formule binôme dans tous les cas possibles, comme aussi d'un grand nombre d'autres formules, connues, il est vrai, mais très mal basées. J'ai écrit un grand mémoire sur les fonctions elliptiques qui rc^nferme des choses assez curieuses et qui ne manquera pas, je m'en flatte, de fixer l'attention du monde littéraire. Entre antres choses il traite de la division de l'arc de la lemniscate. Ah, qu'il est magnifique! tu verras. Jai trouvé qu'avec le compas et la règle on peut diviser la lemniscate en 2" -|- 1 parties égales, lois(|ue ce nombre 2" -j- 1 est premier. La division dépend d'une é((ua(ion du degré (2" -j- 1)'^ — 1; mais j'en ai trouvé la solution complète à l'aide des racines carrées. Cela m'a fait pénétrer en même temps le mystère qui a enveloppé la théorie de Mr. Gnuss sur la division de la circonférence du cercle. Je vois clair comme le jour, comment il y est parvenu. Voilà des fruits de mes recherches dans la théorie des équations algébriques. Tu ne saurais jamais t'imaginer combien j'y ai trouvé de théorèmes magnifiques, par exemple si une équation P = 0, dont le degré est /m; fi et i' étant des nombres premiers entre eux, est résoluble par des radicaux, ou P sera déconij)osable en // facteurs du degré r, dont les coefficiens dépendent d'une seule équation du degré //, ou bien en v facteurs du degré //, dont les coefficiens dépendent d'une seule équation du degré i.

Reclinuiis: mit veraiidei-liclieii Griissen ", comme je vais faire i'aequisition de plusieurs autres trailt's qu'il a fait i)ublier. Tou^s les^ lundis je passe la soirée chez Mr. Crelle, et chaque vendredi à l'iu-ure du midi nous allons à la promenade ensemble pendant (|uelques heures, et alors nous nous lançons dans les mathématiques aussi rapidement que le permet mou or^jane encore peu tudesque." *) Cette lettre est sans date.

**) Le mémoire VI T. I de cette édition. ♦♦»)Le méra. VII T. I d. c. éd.

Berlin le 4 mars 1H27.

Il y a un mois environ que je t'ai fait parvenir avec IMr. P. le 5™* cahier du journal de Mr. Crelle et un peu plus de la moitié du 4""^ qui sort de la presse. Que penses-tu de mon mémoire qui s'y trouve inséré*). J'ai taché d'être tellement rio;oureux qu'il sera impossible d'y faire aucune objection fondée. . . . Dans la théorie des équations je me suis proposé de résoudre le problème suivant, qui renferme tous les autres: Trouver toutes les équations d'un degré déterminé qui sont résolubles alffébriquement. Cela m'a valu une foule de théorèmes bien intéressants. 3Iais voici le mémoire qui l'emporte sur tous les autres: Théorie des fonctions transcendantes en général et celle des fonctions elliptiques en particulier; mais différons de t'en faire part jusqu'à mon retour. Enfin j'ai fait un grand nombre de découvertes Encore si j'en eusse rassemblé les parties dipersées qui flottent encore eu se heurtant dans ma tète, où pour la plus grande partie elles restent encore enfermées. Il est impossible de penser à rien avant mon retour. [Mais alors mes pensées trotteront comme une haridelle de fiacre, mais avec plaisir s'entend. Il me tard maintenant d'être installé chez moi, comme je ne vois pas de grand profit à prolonger mon séjour ici. Chez soi on se fait souvent des illusions sur l'étranger. Ce monde est assez fade et insipide en général: mais après tout, il y a de l'honnêteté et de la bonhomie.

*) Le mémoire VII d. c. e'd.