Tome second. O-i

Un autre problème qui m'occupe beaucoup, c'est la sommation de la série ces m.r -\- m . (•os(w — 2).r + -^"'~^^ • cos(m — 4)jr + . . . Lorsque m est un nombre' entier positif, la somme de cette série est, comme on sait, (2 cos .r)", mais lorsque m n'est pas un nombre entier, cela n'a plus lieu, à moins que .r ne soit moindre que ^^ . Il n'y a pas de problrnie qui ait plus occupé les matliématicieus, dans les derniers temps, que celui-là. Poisson Poiusot, Plana, Crelle et un immense nombre d'autres ont cherché à le résoudre, et Poinsot est le premier qui ait trouvé une somme juste, mais son raisonnement n'est point rigoureux, et personne n'en est encore venu à bout. J'ai été assez heureux |)0ur le démontrer rigoureusement.

J'ai trouve

cos mx + 7«.cos(?« — 2).r -J- . . . = (2 + 2 cos 2.r)^cos mkn

sin mx + m . sin(w — 2).r + . . . = (2 + 2 sin 2.r)^ sin >hâ-,t. m est une (piantité comprise entre les limites — 1 et -|- oo. A" est un entier, et X une quantité comprise entre les limites (k — ^.t et {h -\- \)ji. Lorsque m est compris entre — 1 et — oo, les deux séries sont divergentes, et par conséquent elles n'ont pas de somme. Les séries divergentes sont en général quelque chose de bien fatal, et c'est une honte qu'on se soit avisé d'y fonder aucune démonstration. On peut démontrer tout ce qu'on veut en les employant, et ce sont elles qui ont fait tant de malheurs et qui ont enfanté tant de paradoxes. Peut-on imaginer rien de plus horrible que de débiter