Tome second. 3a

Pag 55. L'expression de l(J^, «) (ligne 10) se trouve en remarquant

équation qui résulte de la substitution de y pour y". Pag. 46. Ayant p = -^^ ^ «» trouve

dp e» ____! \ = » î ,

et de là

De même

rfV i(/?±z!) = i^ ^^ = » 4- 3/>'' -f 2/>^

donc 2/>' = -/>-3;>^+-g-; or /- = —;,- -|- ;

donc en substituant en réduisant

et ainsi de suite.

Pag. 47. On trouvera en général

d^"-p __ r(2ffl + l) , 2, jN„. f!^t''"*.dt.sinvt

Pag. 48. Il faut se rappeler que ^o,»= 1-

Pag. 49. La substitution de (f{2x) pour f/.(:r) donne

1 /^ X , ^ /'A fit 9(2j;+2V-1)-cd(2x-2</-1) ^V(2^)= C +/cf (2^)./.r - ^<fi2.T) + ^fj-^^^r-^ ■ 2/-1 '

Or ^(y(2a:) = 0 et f(f{x)dx = 0 pour x =■. ^ ; donc

/.,\ rf< (p(g + 2<v/-l) — (p(g-2^v/-l)

c=ya-2j^^,^ 27:zi

En substituant cette valeur de C et ayant égard à la formule

/*" (f{2x)(lx = \ f^ f^f^^^

on trouvera le résultat de l'auteur.

Paq. St. On trouvera P = "^^ — yyj y Qr d'après l'hypothèse fu

ne s'évanouit pas, lorsque vy^O; donc Preste finie pour cette valeur de li'y.

Pag. S2. Faisant 2n{a — «i) -j- 2«i(« — «„)... -f- 27?„.,(rt — «„) = 2v(( -{- tv^n^ • • • + 2»m«m, on en tire

v„^ — ?im-ij donc en ajoutant

Pag. SS. p='. = A^. r^liÉf^.

On a R = 2J ( ^''^ " — ^ ){x-ay-';

or

, ui.ffi'^^'^a u. ^ r(|JL + l + ^-) t i

r([jL + i) ~~ r(:j. + i) "f * T{k) •'^t^+*-*'

On tire de là

Tirir-I' (7^ ■n"+i+*)-«.«-A,"+*).,w-.)|^]-

11 est clair qu'en faisant

les termes de R qui contiennent .r" sont compris dans les suivants

F(n) . (x— «)"4-F(h+1) . (x— fi)"+^+F(«4-2) . (a:— «)"+*...+F(w+ï9) . (j,-— «)"+''... Il s'agit maintenant parmi ces fonctions de séparer celles qui sont multipliées par a^'x".

Or la somme des fonctions multipliées par a?" est

F(n)+in+i) ■ F(ni-l).{-a) + i^ilK^ . F(«+2).(-«f . . . + rcI^lXll) " ^('*+^)-(- «)" • • ' Maintenant on a

Donc faisant pour abréger

on verra que la somme des fonctions multipliées par «""a?" sera la suivante

•^ r(w+i).r(;j+i) '-^ ~^' /'T^ ' Or

On conclut de là, en remarquant que r{x -)- 1) = xr{x), que le coefficient de arx" est celui-ci:

r(K+i) "'+"-^t''' ("+/'+2)r(;'+i)r(m-;j+i) r(«+i) "'''"+"+* oP(«+i>+i)r(;>+i).r(m^+i)'^ ^

En développant on aura

* 7''' (w+f»+l)r(p+l).r(/«/;+l) r(m+l) V «+1 l'w+2 ' 1.2 '«+3 '"— n+m+iJ'

Or

Multipliant par dx et prenant l'intégrale depuis a;- = 0 jusqu'à :r = 1, on aura

Par conséquent.

y ( ^)'' — - ^ / ' a;" Q a:")'" rfa^ •

oP (M+p+l)r(;;+l).r(»i-;>+l) r(m+l) ^0 '^ » '

mais f\r'il-:rr.d. = r(>^+^) H^;^^) .

Donc i t:l>^ ^>±1) : (ô)

Mettant ici « + 1 à la place de //, il vient

En vertu des formules. (/>) et (r), l'expression («) deviendra

qui par suite est la valeur de A„^„ comme le dit l'auteur.

Pag. ë6. — étant une fonction rationnelle, est résoluble en termes de

la forme Ax" et — ^ ; donc /^^ dx est exprimable par des fonctions de

la torme Cxv-, — et m\o^{x — (i) r= loi>(.r — fV)""; donc

-lf)X

^ g-f^-'^ ^--[ex'^+i>(x-?)-'] ^--[l,.g(x-S)"]^

Si le dearé de fx est moindre que celui de cpx, on a C=0; si (fx n'a pas de facteurs égaux on a /> = 0: donc dans ce. cas /> = 0, i?''=l,

-=^=: r-H i^ -\ -^-■••■> OU m^=i^-— pour a; == (5„; donc

»«„ = — ' — ^^ . Un voit par la qu il n est pas une suite neces-

saire de l'équation y.fx -\- (jx . ^^ = 0, que les quantités m, m.,... soient

positives et moindres que l'unité. Mais on peut toujours déterminer les fonctions fxeXcfx de manière que cette condition soit remplie. Et, lorsque p=0, il est nécessaire que cette condition soit remplie, si l'on veut que la fonction rpx . q>x s'évanouisse pour les mêmes valeurs de x qu'il faut donner à a, lorsque

- — doit s'évanouir. En effet, lorsque /; = 0, on a

■{px.(px=z (x — dy-'^ix — (ij'—'i . .

d'oii l'on voit qu'il est impossible que ces deux fonctions s'évanouissent pour les mêmes valeurs de x et de a à moins que les quantités m, m^, . . . ne soient positives et moindres que lunité.

Paff. 39. Ayant s^J^ = s'^ -\- {.v — a)fi, si l'on fait s^^ = y{x), on aura en faisant x = a, -/(a) = s'^,.

(« — d)- .(« — fVJ-i...,

Pag. 60. Dans l'équation

qui est l'intégrale complète de l'équation (1), les quantités y^, y.,,...^„. sont des valeurs particulières de y qui satisfont à l'équation (1), et t-j, c^, . . . c„ des constantes arbitraires. (Voy. Lacroix traité du cale, diflf. etc. T. II p. 3^5 et suiv.).

On voit que y'^ est la même fonction de a que y^ l'est de x, en comparant les équations (I) et (î>) et en remarquant que s'^ est la même fonction de a que *|j^ l'est de x.

Pag. 62. On a x=^vy-\-s.^t.^.

dx

donc

Si ds^ 1 I s.^

X — a dx X — a {x — a)'^ '

Jx—ay

et par conséquent

Pag. 65. j^=0 et j.-^ = 0 pour x^ x^et x^=:Xq rend ^^ = 0, Pq = 0, ^j r=: 0 et <7q = 0.

/^z-f- y. -r^ ^Jçydx -\- Jrydx. En mettant dans cette équation pour /?

sa valeur — f/ et x \>onv Jrydx on a

Pff<7. es. — /(« — -^) —fyydx + X.

/'««y. 66. Voyez le mémoire XV p. 288 et le mémoire XX p. 52i du premier tome. Le dernier des deux mémoires cités n'est qu'un extrait abrégé de ce mémoire XI.

Pag. 67. Les quantités li, li^, /»*,... étant des Ibnctions symétriques des racines de l'équation * = 0 sont des fonctions rationnelles des coefficiens de cette équation.

Pag. 72. Lorsque ?«=!, c'est-:i-dire y r= , on a J'ydxz= log{.v — «)

= t/vr. Donc log(x, — «) + log(.r, «) + ... + log(a„ — a) = -/{P'^a + P['^da, + P/»-^V/«„i), où

— . f/log(.r, — ft) (^2 —(()... {x„ — a) :

J dt

du,' ^

Pfig. 75. De Téquation ydx:=

'X.{da+s.da^+s'^ .da^ + . . . + x^~^ -'/«ii-i)

qui donne

on tire aist'nient en faisant « = ^^ et * = (f.x :

P Soit maintenant xx='- Y + Yi-^ + ^4-^'' + • • • + />•*'' = ^ /V*^^ "" ^^ri^ en

substituant

Or l'équation (28) pag. 76 fait voir que, si le degré de « est moindre que celui de «j, dij s'évanouit et par suite i) se réduit à une constante.

Daus l'équation

x^+^ + o^i . a!^ + . . + ax + (5 = 0, la quantité ( — 1)h-+*.(5 est égale au produit des racines.

Pag. 76. iMr. Cauchy dans son cours d'analyse de l'école roy. polyt. p. 92 a donné une démonstration élémentaire des deux formules (28) et (29).

Pag. 77. Le titre du mémoire XII est ajouté par l'éditeur, car dans le caliier de lauteur il se trouve sans titre. Ce mémoire contient une extension de la théorie dont l'auteur a fait usage dans le mémoire VU.

Pag. 80. y''=^J^z'", c'est-à-dire {€"■'> -{- a^)" = :^A^{e'"' -^ a)'", donc (e"'' 4- «J-.A" = ^A„(e"^ -f «)"• .fr, donc d]"(fx = :^A„d"'(f:i:

Pag. 82. {x + «)"' = a." + -^ «(.r + ^)^-' -\- etc. Voilà la formule

donnée par l'auteur dans le mémoire V T. I p. 51. On voit ici le chemin direct qui a conduit l'auteur à cette formule.

Pag. 83. Lorsque x est compris entre les limites tt et — .t on a (voy. T. I p. 90)

-f- r=: sin .r — ^ sin 2x -\- ^ sin 3.r — ...

En prenant la dérivée de chaque terme du second membre de cette équation on obtient la série

cos .r — cos 2x -|- cos 3.r — cos 4.v -f~ . . .

Or cette série étant divergente pour toute valeur de .r, elle n'a pas de somme, et par conséquent elle n'est pas égale à la dérivée du premier membre de l'équation, donc l'équation

^ =^ cos(«y;) — cos(2«i') + cos(3«/') — ... n'est pas juste, ce que l'auteur a reconnu plus tard. Voyez pag. 268 de ce volume.

D.âqix ■=\pv.fv =J'fr.f{v^t)df =J'D .â^cpx.dt.

Pag. 86. Pour la valeur de '^ ^"^^ voyez pag. 84.

Pag. 88. L'intégrale /'" ' '"f z=: ^ (\ — e'") voy. Legendre exerc. d. cale. int. T. I p. 560, et liutégrale

^ tdt .sinat ji

est la formule (2) pag. 558 de l'ouvrage cité en y faisant m= 1.

Pag. 91. La formule ~ ■ —^ = j ^ (cos (p)" . cos n(p . d<p est démontrée

pag. 88.

Pag. 97. Faisant d^=fi, Y^^fo., (^=^3, « = ^4? l'équation («) donne, lorsque q:(p) = 0, et en écrivant m — /? + 3 au lieu de p:

De cette équation et des expressions de /'(/« — 4), f(m — 5), f{>n — 6) et f(m — 7) on verra sans peine que dans l'expression développée de f{m — p), f se trouvera dans le dénominateur de chaque terme dans une certaine puissance, que, si p a les valeurs iq, Aq + 1, Aq -\- 2, Aq -\- 3, l'exposant de s aura toutes les valeurs entières comprises respectivement entre les limites q -{- l et Aq — 2, q -\- 1 et Aq — 1, </ + 1 et Aq, «7 + 1 et 4</ + 1- ^"'t n + 3 l'exposant de * , il s'ensuit que pour toute valeur de p, n aura toutes les valeurs

entières depuis le plus grand nombre entier compris dans -^ 2 jusqu'à p — 5.

Soit par exemple p = 8, n aura les valeurs, 0, 1, 2, 3, donc n -f- 3 les valeurs 3, 4, 5, 6.

Lorsque » = 0, on aura M") = k qui aura les valeurs 2, 3, 4, 5. Lorsque « = 1, les deux quantités k et M') auront les valeurs suivantes

k kW

Lorsque w = 2, les trois quantités k, k^^^, k(^^ auront les valeurs suivantes

A- A"C') kW

Lorsque n ■= 3, les quatre quantités k, ^(*), k('^), k(^> auront respectivement les valeurs 2, 3, 4, 5.

Connaissant ces valeurs de n et de k, M*) etc. on pourra immédiatement former lexpression de f{m — 8), qui, comme on voit, doit être composée de 13 termes.

Paff. 103. Dans l'expression (k) n aura toutes les valeurs entières depuis le plus grand nombre entier compris dans ^^-— 2 jusqu'à p — 3.

Paff. 108. Pour trouver les relations qui doivent exister entre les quantités ?(0), (f{i), (p{2) pour que l'expression

soit réductible à des intégrales de la forme /-- ^ , la supposition la plus

générale serait de faire