Tome second. 3o
mais en vertu de l'équation (w) on peut chasser les deux dernières intégrales du second membre de cette équation, et par là, comme il est aisé de voir, les
deux quantités et disparaîtront aussi.
Pag. 115. Lorsque /t =2,n-^ A et m = n -\- 2, on aura N = ax'"'+* + bx'"'+^ + ■.., — = (2w + 4)oa:*»+» + (2n 4- 3)f>x'"'+-' + . . .
dx
P = Ax"-^ 4- Bx"+'- + ..., ^={n +2)J.r"+i + (» + 1)^^" + • • •
donc
P. -^ = {2n-]-4)aAx^"+' + (2n-\-A)aBx^'^ +
Donc le degré de M est dans ce cas 3?ï + 4 — w = 2/* + ^ = /^, et le degré de=0.
Pag. 12S. Les deux expressions de f" de la page 124 deviendront en y faisant i= 1 et V = i" = — 1 et en réduisant:
(p-p"){p'-p")-f" ^ ^y, — (p+ p')p" — p"^ + Ap"a — 2«%
(p—p"')(p'—p"')-f" __ , (^ | pijpm ^,«2 | 4„,«^ 2^2
La différence de ces deux équations donne
iP + P'— P" — P'") •71=/'+^^'+ P" + P'" — 4«'
d'où l'on tire
\ii — «'"
L'équation If'f" tV = — i^ka (p. 123) donne /"' = ^ J^'' ; donc
/., p + p' +p" + p'" + 4ka
Soit pour abréger p-\-p' — //' — p'" = x, p -\- p' -{- p" -\- p'" = K o" »«'"»
(X 4fl)2 x2
; donc 1/(1 +A-) = /■" z=
, et de
2v/(l + i) ' ' V- ' /— 2/(1 + *) ' donc 2{f' H- Srt/"") = — 2V{{p + P' — 2a) (/>" + p"' — 2o)) = -1^ • Si dans l'équation
on fait X = a, on a
Pa^. 126. On a en général
arc t^.(Pi-) = ^±—lo^(lL±Pi}^^) .
''Vç, / 2/-1 'V9,-;,jv/-l>"
faisant donc p^=z}^R q^=iP\/^ — 1, on aura
* t VR \ 1 I /■P+VR\
SCi»-?')/-! ' donc AAogi „ "*" n )^ arc. tg. { -jr^^^^ — -).
Pag. 150. Lorsque dans l'équation
iS j: — a X — a' x — a" x — a"
on multiplie les deux membres par le produit {x — a){x — a')(x — a")..., on obtient en faisant x = a
t = fi(a — a') (a — a") {a — a"') . . .
Pag. 151. La valeur de A se trouve en faisant x infini dans l'équation
N '\ dx qs J
et en remarquant que //"-i* = 2n -\- 4.
Pag. 152. La première formule de cette page est la même chose que la formule (28) pag. 76.
Pag. 155. On a
' \ a.^a a'<]ta' ' a'^a' ' a"'<])a"' / f
__ iy/(oa) I t'y" {ça') , »V(9«') , i"'v'(ça"') i
a.^a a'.àa' ' a"<ba" ' a"''ha"' )
cil ipa = {a — «') (a — a') (a — «'"), va' ={a' — a) (a' — a") (a' — a'") etc.
Si dans la formule
+ iA„+A,a:,+A,xi . . . + ^n-.rr^)(-J"-;f;-";\-^;7;-\)
qui se tire aisément de la formule d'interpolation de Lagrange, on compare entre eux les termes constants des deux membres, on aura
On voit par là que
a'a"a<" , aa"a"i , ««'«'" . aa'a" .
Donc en multipliant les deux membres de l'équation («) ci-dessus par aa'a"a"', ou obtiendra l'expression de f.
En multipliant la première des équations qui déterminent f, /"(*), /"W, par -^, la seconde par -^ etc. et ajoutant ensuite, on aura
/.(2J /a\/(çe) | ?'eV(Ç«') 1 ("aWid^a") , i'"g"V((pa'")
' (|)a "" 4)0^ ' ifo^^ ' ilia'" '
mais en vertu de l'équation (9) on a
„ m"V(<p«) I ?"«"'/(<?«') 1 «"a"'v/(ç«") I «"'a"'v/(cpa"')
4)« '" (jj"' 4"*" ^«"'
La différence des deux dernières équations en j' substituant les valeurs de \pa, ipa', -ipa!', rf'a"' donne l'expression de /"W.
Pag. 156. Ayant
P = y(R + C{x — a)%z — af) =f-\-fWx + /"(^VS
B=z{x — p) {x — p') {x — p") (x — p"'), on aura en faisant .r = ^;, p', p", p'",
f-{-f(^)p +/"(V =i{p —a){p —a')YC fJ^ fWp> 4- fCVp''' = i> (p' a) {p' — a')VC /•-f f(i)p<' -f fC^)p»^ =i"{p'> — a) (p" — a')y'C f + fWp"' -f /■(2)/>"'« = £'"(/>'" — a) {p<" — «')l/C.
En éliminant /', f^^^ et /"(*) de ces équations et réduisant, on aura i{p-a)(ji-a-) , i-{p'-a)ip'-a') . i"{p"-a){p"-a') , i"'{p"'-a){p"'-a')
{p-p')(j>-p''){p-p"') ip'-p)(p'-p"){p'-P"') (P"-p)iP"-p')(p''-P"') {p"'-p)(p'"-p)(p'"-p") Faisant ici i = i' = 1 et i" = i" = — 1 on a la formule de l'auteur, exprimant la relation entre a et a'. Ou verra aisément qne des quatre quantités I, V, i", i'", il faut prendre deux ^ 1 et les deux autres = — 1, car toute autre supjiosition rend f, /"(*) et fC^) infinis.
Poff. 14S. En faisant y=0 et « = 1 après avoir différentié l'expression \^{(fi/) cinq fois de suite on aura
cW =l2cc — 6iid — 3'/ + I j'(5' — If (5% f(^> = — 30 «(5 30,?/ H- \- {id'' + *^ y^,'i — ^^ Y^^ -f U)^5 j5 Pag. 146. Substituant dans les deux équations
f.(i).cW 2cW.fW = 0,
2cW . c(«) — 5cW . c<-*) = 0 les valeurs de d^\ <■(*), etc. faisant [i = — « et réduisant, on trouvera 2ad -f 2ay + ^«.î^ -f ^ y^â + i/f)' — ^\ (5* = 0,
ad' — Afcy + y'— aâ' — ^-/à' - A^'^* + ^%^" = «• On voit aisément que ces deux équations sont satisfaites en faisant (V ^^ 2 et y=-3.
Pag. 147. Des trois équations Q = P'Q', P = ^{P'^R' + Q'^'R-), R ■=! R'R" on tire successivement
P + Qv'R ^P"^R'+ Q'JR") + PqW^R'R")
p—q^/R ~ ^^p-^R' + q'^-R") — P'qw{R'R")'
P + qVR ( P'yR' + Q'\/R"y__ ( P'R' + gVi?Y . P — q^R \ P' ■^/ R' — Qy/ R» ) KP'R'—q'v'R^ '
, , cp+qvR\ a\ fP'R' + qwR\
•^""^ ^»g(p-Q//?)^ ^^<PR'-qWR) ■
Pag. 149. La seconde méthode est la même que celle qui est employée
dans le mémoire VI tome I pag. 33.
En désignant par la lettre S le degré d'une fonction, ou a ôQ^ < i)Qr,
donc àQ\<è{QQ^r), et par suite d{Q\-\- 2QQ^r) = à{QQ^r); or l'équation
Q\ + 2QQ,r-Q's=\, donne
à{Q\ + 2QQ,r) = 2èQ + às;
donc è{QQ,r) = '"^Q + àQ, + dr = 2ÔQ + as ;
c'est-à-dire ?i -{• ôQ^ -\- 2 = 2n -\- 1 ;
et de là ôQ^ = n — l.
Pag. iSO. L'équation Q\ + SLQQ.u + Qs{2vQ, — Q) = \ donne à{Q\ + ^QQrU):=è{QQ^s), en remarquent que Q^=z Q — 2vQ^ ;
donc ÔQ + èQ, + du = ÔQ + ÔQ^ + ds ;
c'est-à-dire n -\-n — 1 = w -f- àQ^ -\- 1,
et par là ?i — 2 = âQ^.
On a 'ÎKlPi^J^^ClP.iP.'O;
donc 1+w— l + (5|P3 = w— 1+w — 2 = 2» — 3;
donc ôQs = w — 3.
Paff. 1S4. Ayant ?•„ = o:^ 4" '''^ + ^"^ ®^ *m = '^m + PmX, on doit avoir Vm = (^m+ar) . — , en remarquant que ?•„ = y^„*„ -|- ?/„.
/*a^. ifiO. Soit par exemple m = 4 et |P4=:const. = 1, on aura
Q,= ^ (.r + ff,)Q, + 1, T'a
Q =l{x + ff)Q, + Q,;
donc en substituant
Vi Vi Vz Pi Pi
p Pi Pï Pi p Pi
f Pz Pî Pi
Or Q = e-}- eWx + ^W^* -f- e' ^'>x^ + «?W a;*.
En comparant entre elles ces deux expressions de Q, on en tire immédiatement
p Pi Pt Pi '
L'expression de .r -f- ^\ ^oy. pag. 140.
Paff. 161. A = -(2^^^:^ - 2^ , lorsque . = 1 (voy. pag. 141).
Pag. 166. Si dans l'équation 1 =(**+<•)(« — p'/ + ;'/- — c'/^ + /*), (pag. 165) on met — /au lieu de /, on en tirera
Si dans le no. 4o on écrit / pour a on aura
et f-^^ = î fJf^ 1 X,,.(P^QVR\.
donc /'—^^ = ^ . /-'^-^ 1 .10.. (P^Q^R) .
Dans cette formule on a // = 2// + 4 en vertu de l'équation (I) pag. 127, en remarquant que ?« = 1.
Ayant A: + / = -i- , on a -^ = Ah' = — A' = — ■
Pag. 170. On a
L'équation (*) donne, en prenant l'intégrale depuis a^r jusqu'à a = eu et multipliant ensuite par V^(/'w):
L'équation (C) donne de même
En faisant x=l(ù et a = w' dans la troisième équation de dessous pag. l(jî>, on aura
Mettant ici au lieu du premier membre sa valeur ci-dessus il viendra
V(nA-f;^^^ + »1''(/-"0=V^(A.)./"-!^^i^+-l/(A.)+etc.
donc „,,/(^„,,„K(/-»)=»/(A-)./--i^i^-r(/-»')./"^^&+e.c.
Pu(). 180. Pour l'expression de //(r) et de y7(— 1 + |/(1 — c*)) voyez Legendre exerc. de cale. int. T. I pag. 69 et pag. 75.
Paq. 181. — = -^ étant une fonction impaire, il faut que l'une des
•^ çx P
fonctions Q et F soit paire et l'autre impaire.
Si Q est une fonction paire, P une fonction impaire et // + /«' = 2v on a ()[P- -]- Q^R) = 4»', à signifiant le degré de la fonction. Donc dP ne peut surpasser 2p, et comme âP est impair, ôP = 2v — 1 au plus ; donc 2ôQ + 4 = 4:v et par là ôQ = 2i' — 2. Or ÔP— dQ>0; donc dP > 2i^ — 2, et par suite âP = 2;' — 1. Si ,/» + u' = 2^■+ 1, on a a(P"' + Q'^R)=Ap-{-2; donc 2(5ip-|- 4=rr ou < 4j' -j- 2: donc dQ=o\i<2t> — 1; et comme âQ est pair, ()Q=2i' — 2 au plus. Il faut donc que 2âP ^ Ai> -\- 2; donc ôP = 2f -\- 1.
De la même manière on détermine le degré de Q et de P, lorsque Q est une fonction impaire et P une fonction paire.
Pag. 191. "Lagrange a fait voir qu'on peut ramener la résolution d'une équation du degré à celle de équations respectivement des de-
grés à l'aide d'une équation du degré ." Ainsi avec les i lacunes
marquées cet endroit se trouve dans le cahier de l'auteur. Lagrange a démontré que la résolution de toute équation du degré m, si m est un nombre premier, peut être réduite à la résolution de deux équations respectivement des degrés m — 1 et 1 . 2 . 3 . . . (/« — 2). Si au contraire m est un nombre composé égal à np, n étant premier, la résolution de l'équation du degré m peut être ramenée à la résolution de w équations du degré p, et à une équation du degré n — 1 dont les coefficiens dépendent d'une équation du degré
'■'^■^ ■■"' Voyez Lagrange traité de la résolution des équations
numériques, note XIII pag. 24o, et mémoires de l'académie de Berlin, année
1771 pag. 158.
Pag. 194. Le produit y^-y\-y\- • -y^^''^^ étant fonction symétrique des racines de l'équation
sera fonction rationnelle de li^\ et le produit y\-y".i- ■ -yi^''^^ étant fonction symétrique des racines de l'équation
fflii,-' -^ t„(^.-* 4- . . . 4- œ^ + co -f- 1 = 0, sera fonction rationnelle des coefQciens de cette équation et par suite indépendant de 0).
Pag. 197. L'équation ]/^, ■= — *^ est impossible, car en vertu de l'hypothèse il est impossible d'exprimer l'un des radicaux rationnellement en les autres. Voy. pag. 194.
Le théorème II est une conséquence des écpiations {(i). En effet la sub-
stitution de l'expression p^,-\- Pi-V yi -{-■■■ pour y dans l'équation (p{y, m)z=.Q, donnera un résultat de la forme (a) où t^^, t^, t^ etc. sont exprimés rationnellement en y^; donc ces quantités restent invariables par la subtitution de
toy^i, w'y^i etc. pour yj, en remarquant que y^ = Vy^v = y^y^O
= WyY') =etc.
Paff. 198. Le théorème III est démontré T. I pag. la et 16. De ce théorème il suit immédiatement que^ si deux équations irréductibles du même degré ont une racine commune, ils sont nécessairement identiques.
Pag. 202. Si dans l'équation (o) on n'avait pas 1^=0, t^=0...t^^j^=0, 2 on aurait *!^ égal à une fonction rationnelle de s, s^, p^, p\, p^, p'^etc. et par
là z^ égal à une fonction rationnelle des mêmes quantités. Cela posé, les quantités s', p\^ p\. . . ou peuvent s'exprimer rationnellement en s, Pi,p^--- ou
non. Dans le premier cas on aurait *!* rationnel en s, p^, p^. . ., ce qui est contre l'hypothèse, et dans le second, l'équation irréductible, à laquelle doit satisfaire z^, serait d'un degré dont l'exposant serait un nombre composé, savoir le produit de /t et de l'exposant extérieur /j^ qui se trouve dans l'expression de z^ en s, s^, p^, p\, p^, p\ etc. Mais cela étant de même contre l'hj-pothèse, on en conclut que ^^ = 0, t^-=0 . . . t^^^ = 0. Ces équations ayant lieu, il est clair que l'équation (a) sera satisfaite si au lieu de
sv- on y met os^^, w**!^ . . . co!^~^*!^.
