Chapitre II
Sur la relation la plus générale qui existe entre vin nombre quelconque de fonctions elliptiques.
Après avoir établi dans le chapitre précédent les propriétés fondamentales des fonctions elliptiques, nous allons maintenant en faire d'applications au problème général, que nous nous sommes proposé. Nous ferons voir qu'on pourra en ramener la solution à celle de quelques autres plus simples.
Sur la forme dont l'intégrale d'une différentielle quelconque algébrique est susceptible,
en supposant cette intégrale exprimable par des fonctions algébriques,
logarithmiqties et elliptiques.
Soient a'j, .r^, x^,...x^ un nombre quelconque de variables, liées entre elles par des équations algébriques dont le nombre est moindre que celui des variables. Soient y^, y^,...y^^ des fonctions algébriques quelconques de ces variables et supposons que la différentielle
y^.dx^-{-y^.dx^-\-...-\-y^.(Ix^ soit complète et que son intégrale soit exprimable à l'aide de fonctions algébriques, logarithmiques et elliptiques, en sorte que l'on ait:
= u 4- A^ Uvy r^ -\- A^ log-?'^ -{- .. .-\- A., \ogz\
+ 'S •/'. (f,) + ^', ''•, (/J + ••• + «,. V'..(a où A^, A,^, . . . A.,, (t^, «.,, . . . ((„ sont des quantités constantes, ti, v^, v^,...i\, t^, t„,. ..t„ des fonetions uUjvbr'iques des variables x^, ar^,...;r„, et if» , i/' , t^'j, . . . V'n des fonctions elliptiques quelconques des trois espèces avec des modules et des paramètres quelconques. Désignons respectivement par c , c^,...c„ les modules de ces fonctions, et faisons pour abréger:
en sorte qu'on ait en général ;
où 9' est une fonction rationnelle de x'^' de l'une des trois formes:
selon que if'„.ar est une fonction de la première de la seconde ou de la troisième espèce. Nous pourrons même supposer que 9' soit une fonction rationnelle quelconque de x.
On pourra regarder un certain nombre des quantités x^, x , . . . .r„ comme variables indépendantes. Supposons que les m premières
X ^ , X^ , .Tj , . . . X„
le soient: dans ce cas toutes les quantités:
61) .r„.+i, x^^^,...x^, t^, t^,...t,„ 71, v^, v^,...v^\ y^, y^,...yy. seront des fonctions algébriques de x^ , .i-.^ , . . . x„,.
Cela posé, imaginons une fonction algébrique 0 telle qu'on puisse exprimer toutes les fonctions :
62) K, v^, v„,...z\; t^, t,^,...f^, Aj(^ J, A.^(# J, . . . A„(t„) rationnellement en
Il existera une infinité de fonctions 9 qui jouiront de cette propriété. Une telle fonction sera p. ex. la somme de toutes les fonctions (62), multipliées cbacune par un coefficient indéterminé et constant. Cela est facile de démontrer par la théorie des équations algébriques. La quantité 9, étant une fonction algébrique des variables .r , x^,..., pourra donc satisfaire à une équation algébrique, dans laquelle tous les coefficiens sont des fonctions ratiomielles de
X , X , . . . Or au lieu de supposer ces coefflciens rationnels en ar^, a-.^, . . ., nous les supposerons rationnels en
6i) x^, x^, .Tj, . . . .r^, y^, y.^, y^, . ■ ■ y^.
Cette supposition admise, on simplifiera beaucoup le raisonnement. Soit donc
l'équation en 0, désignons son degré par à et supposons, ce qui est permis, qu'il soit impossible, que la fonction 9 puisse être racine d'une autre équation de la même forme, mais dont le degré est moindre que d.
Imaginons maintenant qu'on différentie l'équation (o7) par rapport aux variables indépendantes x^, x^,... x.^. Il est facile de voir, que la différentielle qu'on trouve sera de la forme
66) Pi-(^^i-{-p.2- f^^i + • • • + ;^m • dx^ = 0,
où p , p, . . . p„, seront des fonctions rationnelles des quantités
X^, X^, . . . X„,, ^"m+l , • • • 'î'iJi,, 2^^ , 2^2 ' * ■ ^M- ' "' *'l ' ^'î ' ^3^ • ' • ^ti ^l5 ^2» • • • ^3» • • • *»:> ^i(^i)j Ki^l)^ • • • ^"i*")-
Donc en introduisant la fonction G; j»^, 2^.2,> • • 'Pm deviendront des fonctions rationnelles de
67) ^, x^, x^,...x^„y^, y,^,...7jy..
Cela posé, l'équation (66) donnera séparément
et il est clair que si ces équations sont satisfaites, l'équation proposée (o7) le sera également. Maintenant les équations (68) sont autant d'équations en Ô de la même forme que V=0, ou pourront aisément être réduites à cette forme; mais suivant l'bypothèse 1^= 0 est une équation irréductible en 6, donc il suit d'un théorème connu, que toutes les équations (68) seront encore satisfaites, en mettant au lieu de 0 une quelconque des racines de l'équation V=0. Donc l'équation (57) aura lieu quelle que soit la valeur de 9, pourvu qu'elle satisfasse à V=Q.
Désignons par
69) 9^, 9.,,... 95 les racines de l'équation ^ = 0 et pai"
les valeurs correspondantes des fonctions w, v„, f„,. L'équation (37), en substituant dans le second membre les expressions des quantités m, v^, v.,,
fj, fj, . . ., donnera A(/j), AC^J, ... en fonctions rationnelles de 0, x^, x^, . . . a:^, Vu Vil ■ ■•.'/u.'t sul)stifuant ensnite au lieu de 0 successivement les (î valeurs ô^, Ô2,...0^<î, l'équation (o7) donnera, dis-je, ô équations semblables qui, ajoutées ensemble, conduiront à celle-ci:
7 1) I -{-A, .(log «'\+log r"j+...+log v[^ 1)4-...+ J,.(logï",+log ,^+...-|-log r.p^)
Le second membre de cette équation pourra encore être réduit à une forme beaucoup plus simple. Considérons d'abord sa partie algébrique
72) ' //' + If" + . . . + "^^^ = U.
Cette fonction est exprimée rationiieîlement en
mais elle est en même temps symétrique par rapport à Ôj, ô^j j • • ^8> donc en vertu d'un tliéorènie connu des fonctions symétriques et rationnelles, on pourra exprimer la fonction U rationnellement en
'«*) ^n ^25 • • • ^(i) yi) yi-> • ■ • Vv-
et par les coefliciens de l'équation V=0; mais ceux-ci sont eux-mêmes des fonctions rationnelles des quantités (75), donc la fonction U le sera également. Soit maintenant
74) log F» = log v\ + log ^'-^ + . . . + log ?' J») ,
on aura
V — r' v" . V (^^ donc la fonction V„, est aussi une fonction rationnelle des quantités (75. G9) et symétrique par rapport à 9,, 62,...0s: donc on démontrera de la même manière, que V„ pourra s'exprimer rationnellement par les quantités (75) seules.
Il reste à considérer la partie elliptique de l'équation (71): or d après les
formules du cbapitre précédent, on pourra toujours faire
^„, i t/„(/'„) + ti „.(/" J + • • . + ^'MJ^^ )
'''>' j= M'^{TJ) -\-p + B, log q, + B, log </,+ ... + B, log q,
où toutes les quantités
sont des fonctions rationnelles des fonctions
/'», r„, . . . tj^\ ^„{l^n^ Xn{t\), • ■ ^^{tJ^^)^,
or celles-ci sont des fonctions rationnelles des quantités (69. 75), et il est
clair- qu'elles seront symétrûiiies par rapport à ôj, ejj.-.eg, «lonc enfin on pourra exprimer les fonctions (70) rationnelleinent par les quantités .rj, x^, • . • x^; yi, y^i • • • y^,.-
En vertu de ce que nous venons de voir, on pourra donc mettre le second membre de l'équation (71) sous la forme:
r-}- A' log (j ' -j- A" log (/'+... + A"') \og q (*>
Donc nous Sommes pai'venus à ce théorème général:
Théorème IL Si une intégrale quelconque de la forme
fiyxd^i -\- yz<i^^ + • • • + yv.f^^r^.\
où y,, y^, ...y^ sont des fonctions algébriques de x^, x^,...x^, liées entre elles par un nombre quelconque d'équations aJyéhriques, peut être exprimée par des fonctions algébriques, logarithmiques et elliptiques de sorte qu'on ait: J{y^dx^ + y^f^x^ + • • • + y^fl^v) = " + ^^1 ïog^'i + A log ''2 + • • ■ + A log v^
OÙ Aj^, A^, . . . Cil, «2, . . . sont des constantes; ?/, t\, t\,...t^, t^, . . . des fonctions ulyéhriques de x^, oc^, . . . et 1/',, 1/2, .. . des fonctions elliptiques quelconques; on pourra toujours exprimer cette intégrale de la manière suivante: à ./{y, . dx, +y^ . dx^ 4- . . . +yj, . dx^)= r + A' log ,0' + A" log ?" + ... + ^<*>log ?<*)
+ «i-^'i(5i) + «2 •^'•iCQ.i) + • • • + «n.i/'„(U d étant un nombre entier; u^, c(^,...a„ les mêmes que dans l'équation (î>7);
A', A", . . . des constantes, et
des fonctions rationnelles des quantités:
.Tj, .r^,...A-j,;y,, y,^,...y^.
Ce théorème a non seulement beaucoup d'importance dans la solution de notre
problème général, mais il est encore le fondement de tout ce qui concerne
l'application des fonctions algébriques, logarithmiques et elliptiques à la théorie
de l'intégration des formules différentielles algébriques. J'en ai tiré un grand
nombre de résultats nouveaux et généraux que je sousmettrai au jugement des
géomètres dans une autre occasion.
Comme corollaire de ce théorème il y a à remarquer le suivant:
Théorème III. Si une intégrale de la forme
peut être exprimée par une fonction alîjc'brique et lo2:aritlimiqne de la forme
// -f- J, lojr i\ + Jj log i\^ -\- ...-{- A., loî /\, on pourra toujours supposer que //, i\, t\, ■ • ■ i\ soient des fonctions rationnelles de .ij, .f, , . . . jji, î/j, y., , • • -y^- Si donc on a l'intcgrale fydx, où y est liée à x par une équation aljïél)rique quelconque, on pourra supposer que ''j f^i ) *'a ^^^' soieut des fonctions rationnelles de 1/ et x*).
Application du théorème du paragraphe précédent à la relation générale qui existe entre des fonctions algébriques, logarithmiques et elliptiques.
On peut tirer ininiédiatenient du théorème général démontré dans le paragraphe précédent, plusieurs propositions importantes, relatives à la théorie des fonctions elliptiques.
Soit 77) «^.ii;j(arJ+«2.i^,(a:J+...+«^.i^'^(.r^)=«+.-i^log?>j+JJogr.^+...+^,logi%, une relation quelconque entre les fonctions elliptiques
dont les modules sont respectivement c^ , c^ , . . . c^. Si pour abréger on fait -j-]/((l — jr^)(l — r^„.r^))=A„.^, le premier membre sera la même chose que
où 7'j , ?•.,,... ?'jjL seront respectivement des fonctions rationnelles de x^, .r^, . . . x^. Donc en vertu du théorème III. on pourra énoncer le suivant:
Théorème IV. Si l'équation (77) a lieu en supposant que //, t\, ?',,...?'„ soient des fonctions algébriques des quantités x^, x^,...x^: on pourra toujours, sans diminuer la généralité, supposer, que u, r^, v^,...i\, soient exprimées rationnellement
en OTj , x,,,...x^, Aj.Tj , A.,.r., , . . . A^.r^. En écrivant l'équation générale (77) de cette manière:
«7 ^AjJTj
*) J'ai fondé sur ce théorème une nouvelle théorie de l'intégration des formules différentielles alïébriques, que je n'ai p>i encore publier jusqu'à présent. Cette théorie franchit beaucoup les résultats connus, et son but est d'opérer toutes les réductions possibles des intégrales des formules algébriques, à l'aide des fonctions algébriques et logarithmiques. On parvient par là à réduire au plus petit nombre possible les intégrales qui représentent sous une forme finie toutes les intégrale d'une même classe.
^^) yi-v^ + -Â;^ + --- + -x:rr>'
on aura en vertu du théorème II. le suivant:
Théorème V. Si l'équation (77) a lieu, on en pourra toujours tirer une autre de la forme:
79) c5~«,i/'i^,4-<î«2^^a:^ + "- + <^«».V'».^m+«-H-iif...+iOi+... + a,xW™ = r-\-A' log Q' 4- A" log ()" + ... + ^"'^ log q"'\ ô étant un nombre entier et les quantités
des fonctions rationnelles de
On aura encore comme corollaire:
Théorème VI. Si une relation (juelconque entre les fonctions elliptiques i/'j^^j, '^)^x^, . . .\p^x^^ des trois espèces a la forme exprimée par l'équation (77), on en tirera une autre de la forme:
80) d«™.î^'mar=— «j.i/^^ej — «^.1^2^.^— ...— «„i.if'„.,9„i
-\-r-{-A'\ogQ'-\-A''\ogQ'> -f- . . . + ^(*>log()W, d étant un nombre entier et toutes les quantités
Gj, AjO,, e,, A,9„,...?-, Q', ç",...
des fonctions rationnelles de la variable x et du radical correspondant ^^x. Toutes ces fonctions pourront donc se mettre sous la forme:
p + q.^„,x, où p et q sont des fonctions 7'ationnelles de x seul.
Voilà le théorème qui nous conduira, conmie nous le verrons plus bas, à la solution de notre problème.
Si l'on suppose toutes les variables x^, x^, . . . Xy égales entre elles et à X, et les fonctions '^^, i/i^ , . . . i/'jj^ ayant le même module, que nous désignerons par c, le premier membre de l'équation (77) sera la même chose que
/rdx -r^> OÙ r est une fonction rationnelle de x; donc en vertu du théorème II.
on pourra énoncer le suivant.
Théorème VIT. Si enti'c les fonctions xsx, rs^^x•, II^x, TI^x, . . IT^x, où 77j, 11^, . . . H^ dési<j,nent des fonctions de la troisième espèce, avec des paranièfips quolconqwes, mais avec le même niodnle r qu'ont les deux fonctions de la première et de la seconde espèce xsx et cî^x, il existe une relation quelconque de la forme:
laxsx+ a^xs^x + « , /Z^a; + ujl.^x + . • • + «^/Z^a;
on pourra toujours supposer que les quantités
u, v^,i\,...v^ soient de la forme p -\- q\x, où p et q sont des fonctions rationnelles de x seul. Ce théorème est encore d'une grande importance dans la théorie des fonctions elliptiques. Nous en développerons dans le chapitre IV. des conséquences importantes pour notre objet.
Réduction du problème général.
Reprenons la formule du théorème VI. En la différentiant, le résultat
sera de la forme:
P-\-Q\^xz=0
où p et ^ sont des fonctions rationnelles de x; donc on aura séparément P=0, Q = Q, donc encore P — Q.^^x=zO, c. à. d. la formule (80) aura lieu en faisant varier le signe du radical ^^x. Or en désignant par O'j, ô'^, O'j etc. les valeurs correspondantes de Oi, Gj,---, cela donne
— du,,, . i/'„.r = — 2f< . V'O' + V, où pour abréger nous avons mis le signe de sommation 2; ?'' étant la partie algébrique et logarithmique. En retranchant cette équation de (80), on trouvera
82) 2âa„ . if^x = 2f<(V'e' — t,"Ô) + v — V.
Cela posé, désignons par c le module de la fonction \p et par A.r la fonction +V^((1 — a.*)(l — c^x"^)); ou aura, selon ce qu'on a vu dans le chapitre 1.(35):
i/,'9' — if 0 = \\y — il",
en faisant
e'AO— 0A9'
v" étant une expression algébrique et logarithmique. Soient maintenant
0 = ?) + çAma-, A9 = »• + (>A,„x,
où p, q, r, Q sont des fonctions rationnelles de x. En changeant le signe du radical A«ar, on aura les valeurs de 9' et A9', savoir
^< =p — (7A„.r, A9' = r — çA™.r.
En substituant ces valeurs dans l'expression de y, il est clair que cette fonction prendra la forme:
où t est rationnel en x. En vertu de la formule (34) on voit que Ay sera aussi rationnel en x.
Si maintenant on fait
OÙ e est constant, on aura encore:
■vy = V- + t>'\ donc:
if'Ô' — \p^ = -ipz -\- t\.
Or je dis qu'on pourra faire ensorte que z soit une fonction rationnelle de x. En effet il sulTit pour cela, d'attribuer à la constante e une valeur qui fait Ae=0. Soit par exemple e^l, on aura
84) z = — ^ — et de là ^z = /'~\ .y,
mais y"^ et A^, comme nous venons de voir, sont des fonctions rationnelles de X , donc z le sera également.
La formule (82) prendra donc la forme suivante: 8o) 2(5'«„ . \\\,x = 2a\p'z -\- V,
où V est une fonction algébrique et logarithmique, qui en vertu du théorème II. pourra se mettre sous la forme:
H -\- A^ log ^'l -\-A^\o^ v.^ + . . .
toutes les quantités v, v^,v^,... étant de la forme p + q-^m^-
En développant le second membre de l'équation (8Î>), on aura aussi la formule:
+ «„.+i . t;',„+i^„,+, 4- . . . + c(^,.^p^^z^^ + V, où en vertu des deux équations (8i, 83) toutes les quantités
sont des fonctions rationnelles de la variables x. Cette formule est donc une suite nécessaire de la formule générale (77). Il faut faire attention que d est
un nombre entier et que les eoeftleiens «j, «.,, . . «,j^ sont précisément les mêmes dans les deux formules. C'est une remarque essentielle.
A laide de la formule (8(») on pourra maintenant réduire la formule çjénérale (77) à une autre plus simple; En etl'et, en éliminant la fonetion t/ „,.t- entre ces deux équations, on trouvera une équation de la même forme que la proposée, mais qui contiendra un nombre moindre de fonctions elliptiques. Faisons m = // et mettons .r^ pour .r dans la formule (80). On aura :
En éliminant la fonction v'V-^V entre les deux équations il viendra:
87) «^(2ryv\^.-Vi^J+f^,(2rhr.,.f^— l^,rJ + ... + f;^.(2J^^^..r^,-VV-.^Vl)==•^'• ]Mais 2() étant un nombre entier, on pourra, en vertu de ce que nous avons vu
dans le cbapitre précédent, trouver des fonctions algébriques x' , x' , . . . x'i
telles que
2dii^x^ — v^c, = v,.f', + y^
etc, donc lu formule (87) donnera celle-ci:
88) hi^^'i^'i + ''•2'^"2*^'2 + • • • + «(.-iVV-i-rV-1 = ^ \u'-{-A\ \ogr\-{-A'^ logy'^ | . . . | A\.\ogv\..
Cette équation a précisément la même forme que l'équation proposée; seulement elle ne contient la fonction v,,^. On pourra la traiter de la même manière et en cbasser une des fonctions, par exem|)le vy-i- En continuant ainsi, ou parviendra enfin à une équation qui ne contiendra que des fonctions algébriques et logaritbmiques, et qui ne présentera plus de ditïïculté. On voit donc que le problème général pourra être réduit à celui-ci :
Satisfaire de la manière la plus générale à l'équation
89) ^ '''■*' = '^i '^' 1^ i + '''2 '''ly-^ + • • • + /^'..V'..y-.
( +«+-^,log/,'j-(-JJog^;., + ...+J,logî>„ oii v, ifij, T/',, . . . i/„ désignent des fonctions elliptiques des trois espèces, et en supposant que
soient des fonctions rationnelles de x; et que \ y , A.g. , ■ ■ . A„^„ soient de la forme p . Ax, oii p est rationnelle en x, et A.r le radical dans la fonction fx. Soient
^Jli= l'y •^•'■' KH. = P.2. ■ '^•^■' • • • ■^".'/" = l>" ■ ■^•''-
Supposons que ces équations soient satisfaites, et soit
où e^, ^j^x, . . . 6„ar seront toujours des fonctions rationnelles suivant la nature des fonctions i/», ip^, . . . ijJn, on aura:
'^^.ym—j ^^ dx ~I^'
or . "^^ . — |t est une fonction rationnelle de x, donc l'intéîïrale du second p^ dx . "
membre pourra être réduite à la forme:
^'my., = ?• + Axsx -\- A^xs^x + A'H'ix, a') + ^"/7'(.r, a") + . . .,
où ?• est une expression algébrique et logaritliniique. En transformant toutes
les fonctions tpx, '^^y^, ■yp^y^i'-' de cette manière, l'équation (87) prendra
cette forme:
^x-{-a^vi^x-\-a^n{x,a^)-^a^n{x,a^) + . . . + a^n{x,a^)
H -|-^^log?;j + ^.^log?;^ + ...
En vertu de ce que nous venons de voir il est clair que la solution du problème
(89) pourra être réduite à celle des suivants:
Prohl'eme A. Trouver tous les cas possibles où l'on peut satisfaire à l'équation :
en supposant y et p fonctions rationnelles de l'indéterminée x, et c et f' étant des constantes.
Problème B. L'équation (91) étant satisfaite, réduire les trois fonctions:
^iy,c% Oo(y, C), n{y, c\ a) à la forme:
r + Axsx + A^xs^x + A'n{x, a') -f- A"n{x, a") + . . •
où r est une expression algébrique et logarithmique.
Problème C. Trouver la relation la plus générale entre les fonctions qui ont le même module et la même variable, c'est-à-dire: trouver les conditions nécessaires et suffisantes pour exprimer une fonction de la forme:
«c3.r+«^,cîo.r + «//'(.r, «J-f «^/7'(.r, «J + . . ., par des fonctions algébriques et des logarithmes.
La solution complète de ces trois problèmes sera l'objet principal de nos recherches ultérieures. Nous allons commencer par le dernier qui est le plus simple.
