r^^ 4.0. -r . . • -r ^^(^,|j^,js

l + B^^.x'^ + Bi^.s* + ... + Bl^-,.s^'i')' On aura par exemple:

2j-Aj: 3 — 4(1+c2)j:2 + 6c2j-* — c*j

n est facile de voir que les coefficiens A^^, A,^, . . . A^, A\, . . . B^, B^, . . . B]^, B'^,. .. seront des fonctions entières de c"^. On a toujours A„ = 2/^1 — 1,B„ = 2/« et Al = Bl = 0. La fonction x.,,^ est, comme on voit, irrationnelle; or on peut facilement trouver une fonction rationnelle y qui satisfasse à l'équation

du ^ dx

-f~ = 2jii.---- A^ Ax

Une fonction de cette sorte est la suivante:

car on a en vertu (37):

et y est rationnelle, puisque les fonctions A^an et ^r*^ le sont. On verra aisément que cette fonction 1/ aura la forme:

Pour fi=î, on aura:

Nous verrons dans la suite, comment les fonctions x^^ et y peuvent être décomposées en facteurs et en fractions partielles.

Nous ferons voir aussi que les équations précédentes sont toujours résolubles algch-iquement par rapport à x, en sorte qu'on puisse exprimer x en x^ à l'aide de radicaux.