y^:-' " '^JT^ZI

Cela posé, il s'agit de satisfaire de la manière la plus générale à l'équation:

\ =zu-\-A^ \o^i\ -\- A^ logy^ -{-... -\- A^ log^;,. En vertu du théorème VI. on peut supposer que îi, v^, v^, . . . v^ soient de la forme p -j- qXr, où p et q sont rationnels en x.

Nous supposons, ce qui est permis, qu'il soit impossible de trouver une relation semblable, qui ne contenait toutes les fonctions:

Nous supposons encore qu'aucun des paramètres ct^, a^,...a„ ne soit égal à

+ 1 ou à -| : car dans le cas contraire on pourrait, comme on sait, réduire

la fonction correspondante de la troisième espèce aux fonctions n.r et is^x.

Cela posé, désignons le premier membre de l'équation (92) par fx et le second par u -\-2Aiogv. On aura donc

95) %x = Il -\- ^A log V.

Il est clair, que cette équation aura lieu encore si le radical Ax change de signe. Donc en désignant par u' et v' les valeurs correspondantes de u et r, on aura:

— fx = «' -)- 2.A log v'.

Cela donne

2^'x =11 — it' -\- 2A log f ^7 Y

Mettons ici — a; au lieu de -\- x, on pourra supposer que A.r reste invariable; la fonction xpx changera de signe et par conséquent on aura, en désignant par 11", u'", v", V'" les valeurs correspondantes de n, u', v, v':

— 2il'x = u" — ?<"'•-}- ^A log (-^^ . De là on tire:

ipx = i: {it — n' — ^<" -|- «'") + |2 J log (4^) •

Soit

V = p -\- qx -^ (jj' -\- f/'x)Ax, où p, q, p\ q' sont des fonctions paires, on aura:

V' = 2* -\- qx — {p' -\- q'x)Ax,

v" =p — q.v -{- (p' — q'x)Ax,

v'" =p — qx — {p' — q'x)Ax, donc

V.V'" =p^ — qH" — (/y2 q>-^a:-)l''x + 2x(pq' — qp')Ax, v'.v" =zp^ — q^x"- — (//^ — <^'V)A-^ — 2.r(/>|/' — qp')Ax, par conséquent on aura:

v . V'" fx + qj j: . Ajt

v'.v" fs — (pjT.Aj: '

OÙ fx et <fX seront des fonctions entières, dont Tune est paire et l'autre impaire. Nous supposerons, ce qui est permis, quelles n'ont pas de diviseur commun.

La partie algébrique 1 {u. — h' -\- «'" — u") est évidemment de la forme r.tkX, où r est une fonction impaire de x. En écrivant A au lieu de ^A, l'expression de i/vr prendra la forme suivante:

94) ^.r = rAx + 2^ \og(If±^^^\ .

Quant aux coefliciens A^, A__^,...A^, nous pourrons supposer, qu'il soit impossible d'avoir entre eux une relation de cette forme:

où wij, m^,,..m^ sont des nombres entiers. En effet, si cette équation avait lieu, on aurait:

2^1og.^l. |j^log(^) + J^log(^ + ... + J.>g(^^

c'est-à-dire :

^A log ?' = ^i', . log v\ + .'/'., . log ?'',^ -}-... + A'., , log ?.'',, ,

011 le second inenibre contient un nombre moindre de logaritlimes que le premier. On pourra donc répéter cette réduction jusqu'à ce qu'une équation telle que (9">) est impossible. Cela posé, il faut prendre la dillérentielle des deux membres et comparer entre elles les fonctions algébriques qui en résultent.

Considérons dabord la partie logaritbmique du second membre de la formule (94). Soit poui" abréger:

on aura, en différentiant, un résultat de la forme : 97) <o= ^'•'^•^

OÙ V est une fonction paire et entière de x, savoir:

98) v=2.{fx.(p'x — çx.f:r)\-a:— 2fx . (y.r . ((1 -f-r'')^— 2c^r'). En faisant:

99) ^,r = {fxr-ic,xn\x)\

on pourra aussi mettre r sous cette forme:

1 00)) ecpx = 2f'x .U—fx. ^'x,

équation facile à vérifier.

Cela posé, décomposons la fonction entière ^x en facteurs de la forme (.r- — «')"■, et faisons en conséquence:

101 ) ( f\lf — i(fxy-.{^xy' = {x-— o;)-. (.r- — al)"^ . . . (.r«fl^)> = Oar. L'équation (100) fait voir que si ^x a le facteur (x- — a*)"*, v aura nécessairement celui (or* — a")"'^-. donc la fonction fractionnaire — pourra être décomposée de la manière suivante:

OÙ ^ est la partie entière, /?\, fj'^,---"''^ des constantes. D'abord je dis que ^ est une constante. En effet l'expression (98) de v fait voir que le degré de cette fonction ne pourra jamais surpasser celui de ^x. Pour trouver les coefficiens p\, ^'„,..., soit ^V l'un quelconque entre eux, correspondant au facteur (g- — x'^Y de ôx. On aura:

(S' = -î '- pour X = a,

mais si l'on fait

on aura en vertu de (100):

donc en faisant x = a:

cpa

Or on a

donc:

fa-\- (pa.Aa = 0, et par suite:

/?'= — Zma.Aa, On a donc:

103) —=k ^"^i^t^"i 2m^g^Aga ^%V^ .

En multipliant par ■ — on aura la valeur de dij. La formule (94) donnera donc,

en différentiant:

S-L-fir^ -f- Jph.- + J^M? + . . . + "'^\ = ^ . A"-.r — r((l + c')x — 2c\v')

1 ^ /^ 2OT,g,Aa, 2wgggAga \

J- À (h 27n'i«'jAa'i '2ni' ^a\L^a' ^ \

+ etc.

En substituant une fonction rationnelle quelconque de x au lieu de ?•, on voit sans peine qu'il sera impossible de satisfaire à cette équation, à moins que r ne soit égale à zéro. En se rapellant que nous avons supposé qu'il soit impossible de trouver une relation entre un nombre moindre des fonctions /7'«,, Wa^, . . . /7'or„ et ayant égard à l'impossibilité d'une équation de la forme (93), on verra aisément que tous les coefficiens:

doivent se réduire à zéro excepté un seul. Soit donc

-(4a = ^3=.. J^::=0 et ^, = 1,

on aura:

2?n..«..Ae.

donc:

/*>' = ^"l » (■^0 = 0, ('i = ff, , f(,^ = ff,. , . . .

Cela posé, la formule générale (Oî) preudia la forme:

iOi) p\o.r — -"'■•'^' ^,^^^2,n,Aa, ^"'' ^«- /?>«„

= , //-r + y-r.AxN

' V/r— çj.Aj-/ ' ' OÙ les paramètres «^, «„,..•«„ doivent satisfaire :i l'équation

l'une des fonctions fx, qx étant paire et l'autre impaire.

Telle est donc la relation la plus générale entre des fonctions rapportées au même module et à la même variable.

Il est remarquable que la fonction de la seconde espèce n'entre point dans cette relation.

Quant à la quantité constante ,? qui multiplie la fonction de la première espèce X3X, elle pourra sous certaines conditions se réduire à zéro.

L'équation (lOo) qui donne les relations nécessaires entre les paramètres «1? «2j---«n est précisément de la même forme que celle que nous avons considéré dans le chapitre I. En regardant u^, a^, . . . a,, comme des variables, elle donnera en vertu du théorème I.:

j»H,/Z«, + ,„ /Ta, + . . . + ;h„/7«„ = C— — log p+9«-^«) 106) ; 1 1^ 2 2^ -r " « 2A« ' V/a — ça.Aû/'

\)n^TSu^ -\- m^TSu^ -j- . . . -)- ?«„C5«„ = C

Les paramètres a^, cc^, . . . «,. satisfont donc à l'équation différentielle:

^ Aai " Aa ~ ■ ■ ■'" Aa.

Pour avoir toutes les fonctions de la troisième espèce qui seront réductibles indéfiniment à la première espèce, il faut faire w = 1. En posant a^-=u, ?Mj = m, on a:

108) n'a = -^ o.r- -^ . log (f±±9l^) .

Pour trouver dans ce cas le paramètre «, on aura l'équation: 109 (/.rf — {(fxfil — x') (1 — cV) = (.r*— «*)■",

ce qui fait dépendre « d'une équation qui généralement est du degré m^. Le cas le plus simple est celui où m = 2. On aura dans ce cas :

(f-v = — V— i, fx = ax; donc:

donc a pourra avoir les deux valeurs —, i. Les valeurs correspondantes de a sont 1 , 1-| . On aura:

où l'on pourra varier le signe de c.

Si m = 3, on aura dans le cas f.v impair:

fx = x^ -\- ax, (fx = b, donc:

(.r" + axf — i-(l — x-") (1 — c"-x"-) = {x"" — ay. De là on tire:

«" = b, «» + au + iA« = 0, 2« — c-i"- =3 — 3«% a* + (1 -f- f^)6^ = 3«*, donc en éliminant a et h, on trouvera:

c == ^ (c^a* — 3u% Aa = l(l-rV).

Si donc u est une racine de cette équation, on aura:

ira=f ^ ^k.r,x — l,. "■ .logp^+K^'°^--3a^)^+a^-A^)

Généralement la quantité « sera pour un rw quelconque racine de l'une des deux équations:

où x„ est la fonction de x que nous avons considéré dans le §. i. du chapitre I., et qui est telle qu'on ait

dx^ dx

et en même temps x„ = 0 pour x^=0.

Il y a encore à remarquer, que si l'on désigne par u une racine de arm=0, —

en sera une de l'équation ;r,„ = i. Pour prouver que « satisfait à une des équations (HO), il suffit de remarquer qu'on a (39):

111) r — q\\xf = {x-^ — u'y{x-- — cr,„),

où «m (lésijiiu' la nu'iiic fonction de «, qne x,„ l'est d<? x En multipliant les deux équations (lOÎ). 111) niouihre par membre, il viendra:

111') (pfx ± q^xùrxf — ipcpx ± qfJn^xr = {x' - crf-ix"- — a\). Or on tire des mêmes équations:

/>"-(/>)' - q'{cp•^n^^^f = (■*-^- — «')"'•/?,

où n est une fonction entière. De là on voit que l'une des deux fonctions

pfx -\- qcpx.^-x, pfx — qcfX.A'^x sera divisible par (.r"' — «")"'; donc en divisant l'équation (111') par (x"^ — «*)'^'", le résultat sera de la forme:

r'^ — ?"(A.r)^ = x'^ — f<^„ , où l'une des fonctions r et q sera paire et l'autre impaire. On doit donc avoir d'abord (> = 0, et ensuite r^ = x'- — «*,„, et de là «,„ = 0, ou «„, = i. Réciproquement si l'une de ces équations a lieu, il est clair par la forme de (111) qu'on pourra satisfaire à l'équation (109). 11 y a à remarquer que dans le cas que nous considérons, (i ne pourra jamais être zéro. Donc il n'existe pas de fonction de la troisième espèce, exprimable par des fonctions algébriques et logaritlimiques.

Le cas particulier le plus remarquable de la fonnule générale (104) est celui, où wr=:3 et m^z=m, =ztn^= 1. Dans ce cas, en faisant fi^ = a, A'/j = — A;, on aura:

112) ^ . n'a, + ^.n'a„ = ^n'a + p\o.r— ' log p + ?^^-^\

OÙ

\f\ [f'''^^ *^' ~^~ ^'^'^ ^'^' ^ ^' C'isorte que

"^^ \{x'-^axf—b''{l—x'){i-e\v"-) = (x^- — a"-){x-' — aDix' — a;), d'où l'on tire, comme dans le paragrapbe 5. du cbapitre I.: aiAao + aj^»!

J Aa a* + a ^

V a a.aj.aa ' ^

Les deux paramètres a^, «., sont donc arbitraires.

Comme cas particulier on remarquera celui où «, est infini. On aura dans ce cas

— tCL,

On pourra donc réduire l'une à l'autre deux fonctions, dont les paramètres sont respectivement «, — . La formule correspondante pour effectuer cette réduction est:

115) /Z'« + /Z'(l)=o.r+t.-^.logr-^^^Lt^^y

Pour trouver toutes les fonctions réductibles l'une à l'autre, il suffit de faire dans la formule (lOi) w=2. Cela donne

116) „,, .'^/7.„.+„. ^ /Z..,.=,,...- 1 loï (f±^),

où les paramètres «^ et «^ sont liés entre eux par l'équation:

117) {fx)'' — ((fxy\{l — a.-")(l — c"-x^) = (x^ — alr' (.r^«^)«= et cela donnera une seule équation entre «^ et a^.