Chapitre IV

De l'cquation (i—if){i — c'"-i/^)—r''{l—x-){l—c^x% Considérons maintenant le problème (A), savoir de satisfaire de la manière la plus générale à l'équation :

y et r étant des fonctions rationnelles de x. La méthode qui s'offre d'abord de résoudre ce problème est celle des coefficiens indéterminés, mais cette méthode ne paraît guère applicable, si le degré de la fonction i/ est un peu élevé; au moins son application serait très pénible. Je vais présenter une autre plus simple et qui est, ce me semble, importante dans la théorie des fonctions elliptiques.

Réduction du problème à celui de satisfaire à l' équation:

dy dx

A(if,c) A(j:,c)

On voit d'abord que si l'équation dont il s'agit a lieu, on doit avoir nécessairement

s \ dj: /'

où 6 est constant

Il est facile de voir que les deux facteurs 1 — y"^, 1 — C'y'^ ne peuvent s'évanouir en même temps, car dans ce cas on aurait c'^ = 1, et ce cas à été excepté. On doit donc avoir séparément:

1 19) 1 —y' = 7'\.Q,i — C'Y = ri . ç'

où r et i\ sont des fonctions rationnelles dont le produit est égal à r. Egalement on aura

Or, dift'érentiant les deux équations (119), ou en tirera: \—2y.di/=r^. (/•^(/(j + 2? rfrj,

^ ( —^r'hj.dy = 7-., . {rjç + 2?'r/r.^).

Mais il est clair que y ne pourra avoir aucun facteur commun, ni avec r^ ni avec ?•.,, donc il faut que le numérateur de la fraction rationnelle -j' soit divisible par r et par r^ : mais ces deux fonctions ne pourront s'évanouir en même temps, donc on doit avoir:

' fl-r ^ ■■^

OÙ V est une fonction rationnelle de x\ qui ne devient pas infini en attribuant

entières de x sans diviseur commun, on aura évidemment:

à X une valeur qui donne r = 0. Soit y = i-, où p et q sont deux fonctions

122) ^donc:

^ ' \dx/ dx '

Cela fait voir que tt est une fonction entière. Or je dis que v se réduira à une constante. Désignons par m et n les degrés des fonctions p et q, et par 1.1 et V ceux de 9 et v. Cela posé, il y a trois cas.

Cas I. m > v.

Dans ce cas l'équation

fait voir que

mais comme on a

ou trouve

dx

(.1 -\- V ^ m -\- il — 1, V < 2m — ." — 1,

c'est-à-dire, puisque 2m — fi=2:

v<l, donc:

et par conséquent v constant.

Cas II. n>m.

On aura de la même manière:

4« = 2ju -f 4, 2« — fi = 2, v<2n — fx — \, v<l, v=iO, donc aussi dans ce cas v sera égal à une constante.

Cas III. n = m.

Dans ce cas il peut arriver que le degré de l'une des fonctions

q—Vy 1 + p^ q—c'p, q + c'p

soit moindre que n = m. Soit donc par exemple

q—p = cf, où le degré de (p, que nous désignerons par m — k, ne pourra surpasser »/.

On aura en vertu de (123):

4m — ^ = 2/t + 4, d'où

2m — /ii = 2-\-^k,

maintenant si l'on substitue la valeur de q =p -\- (p, on aura:

dx dx

donc:

^i -\- v= m. -\- m — h — 1 = 2m — h — 1, si A- > 0, et

H -\- v^^m -\-m — k — 2 = 2m — k — 2, si A- = 0.

Dans le premier cas on a

et dans le second

v = 2m — IX — k — 2^0.

Le degré de la fonction entière v est donc dans tous les cas égal à zéro, et par conséquent v se réduit à une constante. Eu la désignant par ^, on aura :

124) t.rz=^£.

Cela posé, l'équation

donnera celle-ci.

dy s . dx

et le problème est ramené par là à celui de satisfaire de la manière la plus

générale à cette équation en supposant y rationnel en :i-. En intégrant, on aura:

126) 0(^,0 = *.o(av) + C.

En comparant ce résultat à celui que nous avons démontré dans le chapitre II. on aura ce théorème :

Théorème \1II. ''Si l'on a une relation quelconque entre un nombre quel- «^onque de fonctions elliptiques, et qu'on désigne par c le module de lune tlelles prise à volonté, il se trouvera parmi les autres fonctions au moins une, dont le module est c', et qui est telle, qu'on ait entre les fonctions de la première espèce, correspondantes respectivement aux modules c' et c, cette relation très simple.

^{y, C) = f M{x, c) + C, où y est une fonction rationnelle de ;r et f une quantité constante."

Ce théorème est de la plus grande importance dans la théorie des fonctions elliptiques.

Il s'agit maintenant de trouver toutes les valeurs de y et des modules c' et c propres à satisfaire à l'équation (12o). Si la fonction y contient des puissances de .r supérieures à la première, elle jouira d'une certaine propriété, qui conduira à son expression générale, en supposant connue la solution complète dans le cas où y ne contient que la première puissance de x. C'est pourquoi nous donnerons d'abord la solution dans ce cas.

Solut ion du problème dans le cas de y

En substituant cette valeur de y dans l'équation:

rien n'est plus facile, que de trouver toutes les solutions possibles. Je ne ferai que les transcrire:

ex