VI

Bxpmsion* dàerw, de* fonction, *{n$), /{nft, F(nft.

En faisant usage des formules connues, qui donnent les valeurs des coefficiens d'une équation algébrique en fonction des racines, on peut tirer plusieurs expressions des fonctions <p(n(3), f(nfi), F(n^) des formules du paragraphe

Je vais considérer les plus remarquables.

Pour abréger les formules, je me servirai des notations suivantes. Je

1) Par £ y(m) la somme, et par JJ v(wt) le produit de toutes les

k k tités de la forme qu'on obtiendra, en donnant à m tontes les valeurs entières, depuis * jusqu'à kt les limites * et A* y comprises.

2) Par £2 y(m,p) la somme, et par JJ JIuVi?*>p) Ie produit de tou-

k y* k" rP

tes les quantités de la forme t^(nt,p), qu'où obtiendra, en donnant à m toutes les valeurs entières de k à le, et a fi les valeurs entières de v à *' en y comprenant toujours les limites.

D'après cela il est clair, qu'on aura:

119) l.,ip(m) = vr(*) + V(A+l) + ...^n

120) ïlmV>(m)= . ip(A-f-l) • • •

121) £m£M^f) = JÉffaA + • • • +£„**>^

122) hjnMmt^hMk,») . JZiKA+M

Cela posé, considérons les équations

Noos avons vu que est une fonction rationnelle de x du degré

(Sn-r-l)* et de la forme x.y(x*). De même P't^+t et P*tm+t sont des fonctions de cette même forme, la première de y et la seconde de z. Enfin QtM.x est une fonction qui, exprimée indistinctement en x, y on z, sera du degré (2n-J-l)* — 1, et contiendra seulement des puissances paires. Donc on aura

Pt^ =A.x<~+»> + ... + *.*,

PW, = ^-y-+l)' + ... + *'.y,

Qtn+t = c . ^-+^ + . . . + z>, q^x = c . + . . . + D,t

En substituant ces valeurs dans (125), il viendra (A . ^fc+1>' + . . . + B . x) = ç>(2n-f- 1),*.(C . ^*-+,>'-' + ... + /)), M' . y**0' + ■ • • + . y) = f{in + . {C . y~+'>'-» + . . . | (J». + . . . + fl-. *) =F(2«+ l)^.(C" . ^«h-D--» + . . . + />•).

Dans la première de ces équations ^ est le coefficient du premier terme, — <f(în+\)(i.C celui dn second et — o>(2»-f !)/?..© le dernier terme. Donc

9>(2»-f-l)j? est égal à la somme et ±JL ç(2n-f 1),? égal au produit des racines de l'équation dont il s'agit, équation qui est la même que celle-ci: 124) rff + iXte^iL.

Donc en remarquant que A, C et D (et en général tous les coefflciens) sont indépendants de on voit que çi(2»-f-l)£ est (d'un coefficient constant près) égal à la somme et au produit de toutes les racines de l'équation (124).

De la même manière on voit que /*(2»+l)£ et F(2»+l)/? sont respectivement égaux an produit ou à la somme des racines des équations

ayant attention de multiplier le résultat par un coefficient constant, choisi les racines des équations (125) d'après le No. 11. sont re-

,=(-ir./-(*+i=r.+ i£ï4

oà les limites de m et p sont — » et -j-w.

Donc en vertu de ce qu'on vient de voir, et en faisant usage des notations adoptées, on aura les formules suivantes:

f (in -f- W = Jt . S„ S (- 1)- -f (/? + -=^P> |F(2» + l)/î = ^.|.|/4(-l>«F(/î + i!^);

/■ (2» -f = b: nm n^f(p + ^^r1)

Pour déterminer les quantités constantes A, A', A*, B, B\ B*, il faudra donner à (t une valeur particulière. Ainsi en faisant dans les trois premières

formules = ® t, après avoir divisé les deux membres par y/J, il viendra, en remarquant que <p (-J + |..) = £ : ^ <p(*»+1)3

Soit £ = ~-t- -| » + a, on a:

9 ((2»M-l)a+«o+>re»+ y + y ') ♦(«T*T')

*,((*i+l)a+iH>+iwf+-£ + ^f)

Ces expressions de .4, ><• deviendront de la forme g, en faisant 0=0, donc on trouvera d'après les règles connues:

D'après cela les trois premières formules deviendront:

F(2» + D/î = (^.|^(-iy.JF(/» + ^ï).

Pour avoir la valeur des constantes Bt B9, je remarque, qu'on aura: 127) n^Mn^^^Oynji^O^— «,0).J2 MO^VO,—?)

X JlmTlMm,fi) . \p(—m,—fi) . IIJIy(m,—fi) . y(— mji). i i r î i r

En appliquant cette transformation aux formules (12*»), divisant la première par q>0, la seconde par fft et la troisième par Fft, faisant ensuite dans la première /? = 0, dans la seconde fi = et dans la troisième /? = y i, et remarquant que =2« + l, pour/J=0, que /^UÊ. = (- 1)- (*, + 1), pour /?= et que = (—1)" (g» + l), pour 0 = -|i, on trouvera:

xnLV(î+^0./-(î+=gFO.

|<a.+i) (-!)•= *./ï.f» (fi + £5r).n^6< + ^) x (|* + sg-). f (• I +

En tirant de ces équations les valeurs de B, B', B', et les substituant ite dans les formules transformées, il viendra:

(giH-ix-w-g, t — ? n..

„/o mu — uof\

|JLGH

xnmh.

On peut donner à ces formules des formes pins simples, en faisant usage des formules suivantes:

<p(g+tt)9<P-«)

^(frHQ.-Pfê— tt)

qu'on vérifiera aisément au moyen des formules (13), (16), (18).

Eu vertu de ces formules il est clair qu'on peut mettre les équations (129) sous la forme:

xnn —

9*P t / f»t>+ (îtai \ 9 V /

(în+lK-i)-/-^-

xnn

/« mu+paA

7 Va 2*+i /

mu — [aoi \

/ a . «lu-uaA

' /u a mu— (in. \

Ces formules donnent, comme on Voit, les valeurs do q>(2n~\-i)fl, /"(2»-J-l)|î et F(2n-\-\)§t exprimées respectivement en fonctions rationnelles de <p(l, ffl et Fp sons la forme de produits.

Nous donnerons encore les valeurs de f(2n-\~l)fi, F(in-{-i)fi sous une autre forme, qui sera utile dans la suite.

On a f*P = 1 — c*ç V> «Jonc

1 /'P — c»(<P*ft-<t>,a) , e*ç*a.

or en vertu de (16) on a:

donc

Oa trouvera de même:

En vertu de ces formules, et en faisant fi = 0, pour déterminer le factenr constant, il est clair qu'on peut écrire les expression de f{2n -f- 1),?, #l(2n+l)/?, comme suit:

f(2n+l)p=fil.Um-