VIL

Développement de» fonction» ça, /a, Fa en sériée et en produit» infini:

En faisant dans les formules du paragraphe précédent P=-£^> on ob" tiendra des expressions des fonctions <pa, fa, Fa, qui, à cause du nombre indéterminé », peuvent être variées d'une infinité de manières.

Parmi toutes les formules qu'on obtiendra ainsi, celles qui résultent de la supposition de n infini, sont les plus remarquables. Alors les fonctions 9, f, F disparaîtront des valeurs de. fa, fa, Fa, et on obtiendra pour ces fonctions des îs algébriques, mais composées d'une infinité de termes. Pour avoir

ces expressions, il faut faire dans les formules (126), 130) fi — et en-

suite chercher la limite du second membre de ces équations pour des valeurs toujours croissantes de «. Pour abréger, soit » une quantité dont la limite est zéro pour des valeurs toujours croissantes de «. Cela posé, considérons successivement les trois formules (126).

En faisant dans la première des formules (126) fi = , et remarquant que

+2mZu{*i(m,!i)+<i(— n,,— /,)-j-o(w, /i)+Q(— w,/i)),

il est clair qu'on peut mettre la formule dont il s'agit, sous la forme:

où l'on a fait pour abréger,

Maintenant, en remarquant que

où Am et sont des quantités finies, la partie de l'équation (132) jusqu'au membre qui a le signe — , prendra la forme:

or la limite de cette quantité est évidemment zéro; donc, en prenant la limite de la formule (132), on aura:

<pa = — - lim. k m2 v(«— «»» n—n) ee i i ^

+ ^ lim. %J: {-ir».*ltn—m,n-H)t ee i if*

on bien:

134) ç« = -i lim. jpj^-l)-^ . ^(«,f)

-f- £ lim. (-î^.tr.K^).

11 suffit de connaître l'une de ces limites, car on aura l'autre e seulement le signe de L Cherchons la limite de

Pour cela, il faut essayer de mettre la quantité précédente sous la forme

on P est indépendant de n, et v une quantité qui a zéro pour limite; la quantité P sera précisément la limite dont il s'agit

Considérons d'abord l'expression:

Soit

135) <K»,,i) — aM(M+i)o+(yi+i)a0i ' et faisons

136) yp(m, fl)-*(m, ,,)= . /?„ ,

on aura

137) ^(-l^.^K^-^-iy.O^,^) = to.ï^-iy.

Cela posé, je dis que le second membre de cette équation est une tité de la forme .

D'après (12), (1.1) on aura

donc en faisant f =-a+i et t = «JSiig^^ et ^ A==9ï) on a:

i *(wï)-»(èr)

2»rl

on a:

9*( ) 9* GiT+l) / « \ ^ ■

et par conséquent:

donc /i) — — . ( -f- çj—jî).

+ 2.-fx» V2h+1 c*.;iK'

Donc la valeur de deviendra

Cela posé, il y a deux ras à considérer, savoir xi a zéro pour limite o

«) Si a zéro pour limite, on aura:

^(ïn+l )— (l**!)» + (2n+l)* '

• (^)- Vt'-M-^r)] ' tf'+M^)] =. + ^

où But Cp, D ont des limites finies: donc eu substituant:

139) B„ = Au* . 6% <totl)a

a» , Da*

or soit que *^ soit fini ou infini, il est clair que cette quantité convergera toujours vers une quantité finie pour des valeurs toujours croissantes d« ». Donc on aura

140) Rfl = rfÀ + v/J,

où r,* est une quantité finie indépendante de n.

b) Si M ■ a pour limite une quantité finie, il est clair, qu'en nommant cette limite d^, on aura:

Cela posé, considérons l'expression ( — 1\"--t= — ^r=-- On a

U2) ^(i),.^=li lïr.[y?0/?l + //a -//, + ... . . . +(-i)*-*.nll+{-iy(Rv-ii,+l+R^-R*, . . . +(-1)—'./^,)].

Supposons d'abord que ait pour limite une quantité finie, quelle que soit la valeur de fi. Alors en remarquant que

*Wi = à fit

on aura Ru — R^ = vxfl — v'u+l ,

lion c

f^-v- ï&j^psn» «—:+•:—!+• "+"M-^M)+ÎS5îr.

où A = n ou n — 1, selon que n est pair ou impair. La quantité B a toujours pour limite une quantité finie, savoir Z? = 0, si » est pair, et B=Ra l, si n est impair.

Maintenant ou sait, qu'une somme telle que •

peut être mise sous la forme t>, t> ayant zéro pour limite. Donc eu substituant:

v(n« Rp - .

or, A étant égal à » ou à » — 1, et B fini, la limite de sera aéro,

Supposons maintenant que ■ m - a zéro pour limite, J\ot%

a également zéro pour limite, à moins qu'en même temps *V n'ait pour limite

une quantité finie. Soit dans ce cas y le nombre entier immédiatement inférieur à Vn, et considérons la somme

r, + . . . + <- îr-T^,.

En supposant que /t est un des nombres 0, 1, y, il est clair, que

>fV = (m+*)"+,(£+i)?.!. a zéro pour limite ; donc, selon ce qu'on a vu, Ru sera une quantité finie, et par conséquent

où R est également une quantité finie.

Considérons maintenant la somme

(- \Y{R. - Ry+i + Ry+i • • • + (— HT" ^-0-

Si a Pour limite une quantité différente de séro, on a, comme on a vu:

Ru — = ^ji—j^+i ; si au contraire ■ l a pour limite zéro, on a:

Rf = rft-)rv]ty ( or, si en même tems fi>V», il est clair qu'en vertu de la valeur de R^

or il est clair que B^ et Cf,, tous deux, ont pour limites des quantités indépendantes de ju, donc en nommant ces limites B et C, on aura :

R/i = B-C+vft, et par suite, aussi dans ce cas,

Rf, — Rf,+l = — t>„+i.

Donc comme dans le cas où *M-r- aurait une limite différente de séro

pour toutes les valeurs de /», on démontrera que

«»,+■■■+(- vr"**)—^-

in combinant les équations ci-dessus, on en tirera or a zero Poar ••mite, donc

> (~ 1>U* W+V^^TT' Donc cette formule a toujours lieu, et par conséquent la formule (137) deviendra:

iU) ^(-W^^)-l;(-l>-.0(i»,/i)==^T.

Cela posé, il s'agit de mettre S? f— l)»9(m,^) sous la forme P -f " Or c'est ce qu'on peut faire comme il suit. On a;

(iy-iyeo»,/!) = £ (— i>"0(*»,,<) — i c-iy^m,/,) et

(Z^— 1)«.0(ot,/i)=(— l^-o^+lJ+OK»^)- . . . etc.).

Or d'après une formule connue on a:

où A, B . . . sont des nombres ; or

v ' a«-[(»+i)o+(«+J)oi]»'

De là H suit, que

,K»,-,K„+1, + ... = -,^+5=ïLr.

Donc en vertu des équations (143)

^(-i)«o(«,/o = £j-iy • Q0M -h ,

et par conséquent

146) = ly-^.o^) + ^ •

Ayant transformé de cette sorte la quantité £ (— iy.#n,/0» on. tire de l'équation (1*6): °"

147) £ Jè (-l)-+"V(«i,/') = S-l)".p. + 2f. ~r, en faisant

148) e.sr^-iy.

yi P. P0-fP,+P9...r.-i «P JP

o"2ji+1 2b+1 2n+l 2'

v ayant zéro pour limite. Donc l'équation (147) donnera, en faisant n infini:

149) lim. 2? ï (-1)-+". V(«,^) = h— 1)".?-.

De même, si l'on fait, pour abréger:

!«.(»»,/') =aa£(m+4)tt(lt+4)01].»

[(>'»= i;<— îy.e.K/o,

on aura

151) lim. Z'.X (-l)-^. V'iK/*) = Xi-i)'.^

Ayant trouvé ces deux quantités dont l'expression de tpa est composée, on aura en substituant:

ou bien, en remettant les valeurs de ç'„ et (>,

« * ~ ^ ' (a*-[(».+i)o-(|x+i)oi]* ~~ a»-[(w+i)«"K|i-4)oO» )

Maintenant

a»-[(*+*)«±<|i+*W ^ «*«H*)«±(|i+*)tf '

donc

a*— [(«M-J)o-([t+i)aO« a'-Km+^o+di+iJo»]»

. (2jj.+1)ai (2}i+l)gi

*•" îa^r(^4)0]«+ (ij.+|)*o* [a+(m+i)o]*+ (ji+i)«o« '

donc l'expression de <pu deviendra sous une forme réelle:

155) <pa =

1 v / n- v r n« ( Qv-*ï» ^

w*T-1 *1> ' ' V[*-(«+4)i]»+(ji+è)«o» [«(«tiW'+di+DV^

c'est-à-dire, on aura:

154) <pa= £ (â0 — -j- ât — ât + . . . + (—i)»ôm — . . .) 1 3

[a-(«»H)o]*+^ [«(m+i)0]»+?J [ot(w+i)o].+!^!

l<5»= SZi +

Si l'on commence la recherche de la limite de la fonction 2JBA—tym»,>v('*>p) par celle de £(—l)my(m,(i) an lien de celle de

S{ — iy*tp(»i,/i), comme uous l'avons fait, on trouvera au lieu de la formule

(153) la suivante

156) <pa =

c'est-à-dire

157) <p« = J(fo-3,1 + 5,t-7f8 + ...+(-ir.(£M+l)^—..)

- 50'o-3<',+ 5t',-7*'s+ • • • +(— lV(2i«+l)'V— 0»

où

!f 1 1 j 1 (a-T)l+(,ji+i)îo* («— ^y+M)1-' (— Yy+o^*)"»1 i .j +.

(« + 1 y+(ii+è)»Q« (« + ^y +(ii+è)»«» (a + çy+^+i)*»*

Cherchons maintenant l'expression de fa, au moyen de la deuxième des

formules (126). En y faisaot p = ^L- et ayant égard à la formule (131), on aura:

igitizeo Dy

suppposant maintenant n infini, et remarquant qu'alors la limite de la

devient égale à zéro, on aura:

159) fa = lim. WÈJ: (-1)'. V'(«— m, »-/<)

-J- lim. (-WZ^-ir^n-n*, n-p), où l'on a fait pour abréger:

»""> = RT Kî±^!') + KJi=i^)]-

Maintenant on a:

i = - te., (i+ 5-«—> fcrX4S=±4^f=K£fia!>

Donc on aura, en substituant et mettant m et /i respectivement au lien de

^ ^tl)[9.(-^)-9.c-^;ir"")]

On aura la valeur de /')> en changeant seulement le signe de ». En

ft /,„ (2w4-1)m— (2(t->-ï)oi

et cherchant ensuite la limite de la fonction

de la même manière que précédemment, on trouvera:

lim. 2JÈ (-1)-. , («, ,,)= 1.1' (i.(-ir.6(m, ,,))

oor eorvo '

donc en substituant dans (1S9), èt remettant les valeurs de 6 (»«,//) et O^m,/*), on a:

l v jp / i\m( (gm+l)o+(2n+l)gi ■ (2m+1)u— (»(ji+1)pi \

e ' © " Va*— [(m+*)o+(HL+4)oOa ^ a»— [(m+i)u— A

La quantité renfermée entre les crochets peut aussi se mettre sous la forme :

2[a— (m+{)o] l[tt+(m+j)<j]

[«-(m+iHMM)^» [a^m+4H«+(^+J)«o«'

donc aussi:

On aura de la même manière:

JL T ($ f— IV i v /n« (»(t+l)a \

« ' 7"0 ' " [*-(m+4)0]»+(pL+4)*o«^ ~CK > ' [a-K«n4)o]*+(l^-4)*°* ' "

Venons maintenant aux formules (130). Pour trouver la valeur du second membre, après avoir fait 0=^L-, et supposé n infini, nous allons d'abord chercher la limite de l'expression suivante:

163) t=nn

* s / mu + |uj» + £ \ 9 V 2«TÏ /

où k et l sont deux quantités indépendantes de », n», //.

En prenant le logarithme, et faisant pour abréger:

164) tfi(»*,p)=log,

,2 / nii> + uni + / \ 1 V 2»+l /

on aura:

163) iog; = i;mi;.v(«M-

Considérons d'abord l'expression Sh^(m,ft). Soit

166) eK/O^iogT fr"»*H*+»>«|,

— e(m,/j) = log

(wo+li.oi+0*

(nu + p,at + /)*

9 \ 2»+l / («nu+ noi'+ Ô*

1 (no + |ioi+l)* l 9 V2*+l/

Gela posé, je dis qnc le second membre de cette équation est poar toute valeur de m et /t de la forme

V>("h t»)—H»,p) — (fa'i)» •

Pour démontrer cela, il faut distinguer deux cas, si la limite de est une quantité différente de zéro, et si elle est égale h zéro.

a) Dans le premier cas on aura, en nommant a la limite dont il s'agit:

,/nt|Mrfti^~ (2»+l)Va (S«+1)J»

9 V în+l / .

j 9* (âw+î) > a« ■ v

/■ytiattH"1 (2«+l)»Vll"t'(2l»+l)»•

On a de même

j a* a a» . ft* ■ »

(mo+|io/+*)« (iroli)«(m<J+tua,'+*)' +

1 tt' = i + »'

(iw + |um+ /)* + ' (2n + 1)*'

Ed substituant ces valeurs, l'expression de — ô(m,/<) prendra la forme:

les quantités v, 7ft vlf Vï ayant toutes aéro pour limite. On a donc:

log (l — (2>,+1)4) = etcet par conséquent:

9 v — (2„+i)« — ï&ïiji —

tr»f g A tt* 4-4' g4 t

* Vîn + l/- " (2n+l)« ' *(2* + I)*~"'

„ / mu >u.qi>A-\ , . ,x„ (nio-t uqm k)*

9* {-~in+T-) (mo + ^k)^-{i^)T±

Si maintenant ma+iiai ne va pas indéGnimeot en augmentant avec n, on

9* (în+l )

% (mo+iMi+t \ (mo+uxf.+/)* ~ (&•+!)» '

9 V 2«+l / doue dans ce cas:

Zï' et C* ayant des limites finies, on bien:

VK — 8(m, fj) = ,

la limite de 0 étant également nne quantité finie.

Si au contraire la quantité ma + /ioi augmente indéfiniment avec a, on a:

9* (îs+t)

(mu + ^0,+ *)« (l 2H + 1~) ]

(*HO+ U.CW+*)»

précédente sera de la forme:

or les quantités * . , m"+>"a''"1"* 0nt zéro pour limite; donc la quantité

* mu+(ioi-t-A 2» + l r ^

1 ^ (2«TÏ)i ' »

ayant une quantité finie pour limite. En changeant k en /, et désignant la valeur correspondante de A' par A"l, la valeur de y(m,fj) — ô(»ty«) deviendra:

VK»)-O(^) = log ^ = -^ï)^ + (2«+ï)«"

l (*»+iy» ')

Maintenant la limite de A" est la même que celle de A; or il est clair que cette dernière limite est indépendante de k> m, n (elle est en effet égale au coefficient de o4 dans le développement de ç*a). Donc on aura:

et en changeant k en /

d'où A' — A\=v — v' — v. Donc A' — A*x a zéro pour limite, et par conséquent on a:

Donc nous avons démontre, qu'en faisant

la limite de Amift sera égale à zéro toutes les fois que ma -j- fttsi augmente indéfiniment avec n, et qu'elle sera égale à une quantité finie dans le cas contraire.

Cela posé, considérons la quantité

En substituant la valeur de y{m,ft), il vieudra:

Soit y le plus grand nombre entier, contenu dans Y n, on peut faire :

2ïftAmtfl = Amil +^.it -\-... + Am, +-'»-,»•+»+ . . . -|- ^-,«'

Or, d'après la nature des quantités AMifl, la somme contenue dans la première ligne sera égale à v.Am, et la seconde égale â A'm(n — v), où Am est une quantité finie et A'm une quantité, qui a zéro pour limite, donc:

ZpA-.f = *-Am+(n—v)A>m= (2« -f 1) . Hm ,

où

Donc la quantité Bm n zéro pour limite, en remarquant que v ne surpasse pas Yn.

Par là l'expression de £uy(m,(4) se change en:

Pour avoir la limite de 27 *(»»>/')> j'écri*

Or on peut trouver la valeur de 27 8(m,ju-f-n) comme suit On a:

6(«,„+„) = log ['-i^H^kA

De là on tire:

— *rzz:i

\lmo+(\t+n}ai+l]* [mo+(n+n)o/+*]»|

+ etc.

où

etc.

Or on sait que la limite de

etc.,

et par conséquent, en substituant:

etc.

donc on aura:

La limite de cette expression de j'b(x)dx est zéro pour une valeur quelconque de x. De même on trouvera que la limite de Jo\(x)dx est zéro, donc:

donc aussi, on faisant ^ = co:

u un .

i^m^)^!^^-^, et

170) i^K^^^OK^ + j^,

vm ayant zéro pour limite. De là on tire

Eu prenant la limite des deux membres et remarquant que

v r-__ pt4-pt+- • -p- r ~ 2n + l 2n+l '

on aura:

171) lim. ÈJï^iwhp) =

En remettant les valeurs de yfoju) et et passant des logarithmes aux

nombres, on en tire:

172) K*.nmnA