JJ.O

(wtO + (JLOI4-*)*

tt«

(mo+nai + 0*

Par une analyse toute semblable à la précédente, mais plus simple, on trouvera de

175) llm.77,

(ixai + i)'

Maintenant rien n'est plus facile que de trouver les valeurs de <pat /a, Fa. Considérons d'abord la première formule (130). On a:

donc :

lî!2 x nnli- ^ 1

Cela posé, si l'on fait £ = et qu'on suppose n infini, il viendra, en faisant usage des formules (172), (173), (174), et remarquant que la limite de

175) »—.5.(i-5S0.5,(1+ra^)

V ll~ [(«-Du+V-DaO» ) 1 l1- [(.-i).-Viw)) Les deux formules (150») donneront de la même manière, en faisant /î = j^j, et remarquant, que f(0) = 1, F(0) = 1 :

176) fu = njhj *~ «-^*>« + l»^l.|| '"CCn-^-uo.? |(

( ^~ H»-4)» + (u.-l)oi]»* l1[(m-è)0-(pi-4)oij«j)

( *1- [(«-i^di-èM]»""1 [(»-â)o+(n-iw" On peut aussi donner une forme réelle aux expressions précédentes

178) f.-..Çl(1 + ^)?-(1-S&)

f , <a+"»t>)' (a-mu)» ( (m-4)'o»)«

V 77 77 0*-*)'°' (tt-4)'o» ) (py-D'nM

Ces transformations s'opèrent aisément au moyen de la formule: V (a + M)>A (a—bi)*/ \ ~ a + bi A *~ a— «A o+AiA a—hi)

«»+** o«+*« v t aa~ *• y )*

Dans ce qui précède nous sommes parvenus à deux espèces d'expressions des fonctions qpa, /*«, Fa: les unes donnent ces fonctions décomposées en fractions partielles, dont la totalité forme des séries infinies doubles, les autres donnent ces mêmes fonctions décomposées en un nombre infini de facteurs, dont chacun est à son tour composé d une infinité de facteurs.

Or on peut beaucoup simplifier les formules précédentes an moyen des fonctions exponentielles et circulaires. Cest ce que nous allons voir par ce oui suit.

Considérons d'abord les équations (178), (179), (180). En vertu des formules connues, on a:

donc

^ = ^(l-^);eosy = ^(l-(^);

En vertu de cette formule il est clair que les expressions de ?<*, fa> Fa peuvent être mises sous la forme:

■inf a — • )

.Ii.(a+«1,)^.,-.sin(a wt))^;.co.»(»«»-i)o^-f (mt-if )

xn< ^ ? ? c « » .

1 f c««[a+(»-4)o] 1 .eo«[a— '»in«wo- « (a+ m») (a-mu) . 2- i* \

/•« = 7T fl )

X 77. (ungCcc^-i^ /.u»«[«(*-4)„] i ,-.cot.(»-i)«^. gt(r(^)'uO-

Fa= cos(a Ji).JZ„

cos(a+mo)— t*.co*(a— rnci)— j.coi*(m — J)t> — •*