Chapitre V

Théorie générale de la transformation des fonctions elliptiques par rapport au module.

A l'aide des théorèmes que nous avons établis dans les chapitres précédents, nous pourrons maintenant donner la solution de ce problème:

"Etant proposée ttne fonction elliptique avec un module quelconque, exprimer cette fonction de la manière la plus générale en d'autres fonctions."

Condition générait pour la transformation. Soit proposé une intégrale de la forme:

/r.ds

on demande, s'il est possible d'exprimer cette intégrale par des fonctions algébriques, logarithmiques et des fonctions elliptiques, dont les modules sont r,, c9,...cm, eu sorte qu'on ait:

fl£- = Âx .v>1xl + A^% + . . . + 4.V-*-+ V%

où Ax , A% . . . Am sont des constantes, , xt...xm des fonctions algébriques de x, et V une fonction algébrique et logarithmique; ^ , y,. ...ym désignent des fonctions elliptiques ayant respectivement r , rt, . . cm pour modules. Cela posé, cette équation donnera en vertu de (86):

où

yi» yt> y.» - y-»

et également

Mi **9t &-g.

~Â7~' ~ST* IF"' ÂT"

sont des fonctions rationnelles de x.

Si l'on suppose, ce qui est permis, qu'il soit impossible d'exprimer

/rds A*

par un nombre moindre des fonctions y,» V'«>--- V'-> il est clair, qu'aucune des quantités y, , y„ . . . y. ne pourra être constante.

On doit donc avoir séparément, en vertu du théorème démontré dans le premier paragraphe du chapitré précédent:

«foi . «** «fo, x «** dS~ , «**

A ,y , Ax Ajj/^ Ax A.y. A*

où ft, ft, . . . f» sont des constantes. Cela donne en intégrant,

sauf une constante qu'il faut ajouter à chacune de ces équations. On pourra donc énoncer ce théorème:

Théorème XIII. Une relation quelconque entre deB fonctions elliptiques, ayant c , pour modules, ne pourra subsister à moins qu'on n'ait entre

les fonctions correspondantes de la première espèce, cette relation:

206) c) = 1. «(y, , cs) = 1 .o(y„ = . . . = I . o (y., <r„),

où f„ sont des constantes et yt, y„ ...y. des fonctions ration-

nelles de la variable x.

On pourra donc encore satisfaire aux équations suivantes :

»(■*, > c) = «' • o(*> tf,)> o(.r,,r) = é".o(.r,r,),

Q(*.,r) ==*<->. afor.), où ar,, x,,.. .x. sont des fonctions rationnelles de x; ou bien, si l'on désigne par c et & les modules de deux quelconques des fonctions entre lesquelles on a une relation, on pourra toujours satisfaire à l'équation:

208) xa(x'>c') — e.is(x,c)

en supposant x1 fonction rationnelle de x, ou x fonction rationnelle en x". Cette équation donne

ono\ ds' ds

Soit maintenant x> une fonction rationnelle de x ; si r* désigne une fonction rationnelle qaélconque de on pourra transformer r» en une fonction pareille de x. En la désignant par r, on aura donc r =r. Donc en multipliant l'équation différentielle ci-dessus par V, on aura, en intégrant:

Quelle que soit la fonction rationnelle r, on pourra toujours, comme on sait, exprimer

7mrdx A(r,c)

par des fonctions elliptiques des trois espèces avec le module c. On aura donc ce théorème:

Théorème XIV. Si une fonction elliptique quelconque yx, ayant C pour module, peut être exprimée par d'autres fonctions avec les modules c, , c„ . . . cmi on pourra toujours exprimer la même fonction yx par des fonctions elliptiques avec le même module c, c étant un quelconque des modules c,, c9,...cm> et cela de la manière suivante:

où y et r sont des fonctions rationnelles de x.