SI

Kétolution de l'équation jr = <{»*.

L'équation algébrique y = yx, où yx est une fonction rationnelle quelconque de x, satisfaisant à une équation différentielle de la forme (205), jouira de la propriété remarquable d'être résoluble par rapport à x à l'aide de radicaux. Cela est facile de démontrer en ayant égard à la forme des racines de cette équation. D'abord si le degré /* est un nombre composé =».»,.»,...»,, on pourra faire comme nous venons de voir dans le § 7:

y — v»(yv)> y h — v*-i(y*-ù - y* — Vi(yi\ yt — v(x),

où y„, V désignent des fonctions rationnelles respectivement des

degrés n^, n, ces derniers nombres étant premiers. On aura donc la valeur de * en y à l'aide de la résolution de v -f 1 équations des degrés », »„...», respectivement Donc il suffit de résoudre l'équation y = yx dans le cas où le degré fi est un nombre premier. Si /* = 2, on aura l'expresBion de x par les règles connues. Si n est impair, les racines de l'équation y = yx seront les 2/i-f-l quantités suivantes:

x, ex, e*x . . . e^x.

Cela posé, soit â une racine imaginaire de l'équation et faisons

v = x -f- . Ox -+- <J*.ô*x -f- . . . + è^W+x, i)> — x -f-d.O^x -f-(J".0«»l-,x+ . . • + <J**.0x.

En substituant pour les quantités 9~x leurs valeurs: et remarquant que

6«, sbe. + e.Ls

il est clair qu'on aura:

»— />-J-?Ax, V=p— q&x> où /> et y sont des fonctions rationnelles de x. Cela fait voir que •» . t*1 et | sont des fonctions rationnelles de x ; or je dis qu'on pourra exprimer ces quantités en fonctions rationnelles de y. En effet il est clair en vertu de la forme de v et W, que si l'on fait

v.V = <px, v***1 + v>*v+l = /x,

les deux fonctions tf>x et fx ne changeront pas de valeur en mettant pour x les V + 1 quantités:

xt Ox, . . . $**x.

Donc on aura:

v* = ii^TÏ + + + =

fx = ïJT^Ï (/■*+/"•* + ••• + f***) = Ces expressions des quantités v.if, v***1 -\- v'2**1 sont des fonctions rationnelles et symétriques des racines de l'équation y=.yx; donc on pourra les exprimer rationnellement par les coefficiens de cette équation, c'est-à-dire en y.

Faisons donc:

v.rf — s

* et t seront des fonctions rationnelles de y. On en tire

— Ttï+Wx ')]•

On connaît donc la fonction v. Maintenant si l'on désigne par v0> vlt va, . . .

les valeurs de v qui répondent respectivement aux racines 1, à, d*t <)*,... <J*«* de l'équation (J*^*1 = i, on aura sur le champ:

qui est l'expression générale des racines.

On aura par tà une classe très étendue d'équations algébriques de tous les degrés, résolubles algébriquement Nous n'entrerons pas ici dans des détails sur ce sujet, mais nous renvoyons nos lecteurs à la seconde partie de ce mémoire, où nous en donneront des développements étendus et remarquables à des belles propriétés des fonctions elliptiques qu'on en peut tirer.

On pourra encore remarquer comme cas particulier l'équation:

où arH désigne la fonction rationnelle de x du degré /<*, qui satisfera à l'équation :

^ — f' às '

On en pourra toujours tirer la valeur de x en y à l'aide des radicaux. Si ft est un nombre impair, on pourra donner aux racines cette forme très simple:

* = l.(«.y + (/>\+?xty)H-(/»,-f ftAyV1 + • • • + (jvm + 9^h

où j»,, pa, /»,... sont des fonctions entières impaires de y du degré /« et ?t> y»» 9»" • des fonctions paires de y du degré — 3. pm et ym seront déterminés par l'équation

/»».-9»-(l-y*)(l-cy) = (y»-e».K où em est une constante, savoir une racine de l'équation 4^ = 0.